Классические неравенства в задачах

1.

1

2.

Исследование классических
неравенств в алгебре и
применение этих неравенств на
других примерах.
2

3.

• Краткое изложение творческой деятельности
ученых-математиков: Якоба Бернулли, Коши,
Гюйгенса и Буняковского
• Исследование способов решения классических
неравенств
•Применение популярных неравенств в задачах
3

4.

4

5.

5

6.

6

7.

Якоб Бернулли
1654-1705
ученый математик
7

8.

(1 x) 1 nx, где x 1
n
8

9.

Пример: Докажите неравенство
2 1 n
n
Решение: Достаточно представить 2=1+1
и применить неравенство Бернулли
2 (1 1) 1 n
n
n
9

10.

Огюстен Луи Коши – французский
Математик 21.08.1798г.-22.05.1857г.,
член Парижской Академии Наук(1816).
Коши принадлежит определение
определенного интеграла,
доказательство формулы НьютонаЛейбница.
10

11.

a1 a2 an n
a1a2 an
n
11

12.

Пример: Произведение положительных чисел
a1a2 an 1
Докажите, что
a1 a2 an n
Утверждение следует из неравенства Коши.
12

13.

Христиан Гюйгенс ван Зюйлихем
Голландский механик,
физик и математик
(14.04.1629г.-8.07.1695г.)
Научную деятельность
начал в 22 года, опубликовав
работу об определении для
дуги окружности, эллипса и
гиперболы.
13

14.

Для любых положительных чисел
x1 , x2 , xn
верно неравенство
1 x1 1 x2 1 xn 1 n
x1 , x2 , xn
n
14

15.

Пример.
Найдите наименьшее значение функции
(a tg 2 x)(b tg 2 )
y
,
a
o
,
b
0
,
x
0;
tg 2 x
2
Решение. Запишем функцию в виде, удобном
для применения неравенства Гюйгенса n 2
tg x
b
b
a a b
1
a 1
a 1
a
a
tg x
2
2
y
2
2
Следовательно, наименьшее значение функции равно
a a b и достигается при условии tg x b
2
2
a
т.е. при
tg 2 x
x arctg 4 ab
15

16.

Буняковский Виктор
Яковлевич – знаменитый
русский математик
(3.12.1804г.-30.11.1880г.)
читал лекции в Петербургском
университете, преимущественно
работал над теорией чисел и
теорией вероятностей.
16

17.

Для любых чисел
a1 , a2 , , an
и b1 , b2 , , bn выполняется неравенство
a
2
1
a22 ann b12 b22 bnn
a1b1 a2b2 anbn
17

18.

Пример.
1
1
1
Докажите, что если a b c 1, a , b , c , то
4
4
4
4a 1 4b 1 4c 1 21
Решение. Из неравенства получим
1 4a 1 1 4b 1 1 4c 1
1 1 1 4a 1 4b 1 4c 1
21
18

19.

-Неравенства принадлежат к числу тех
немногих понятий математики,
которые имеют многовековую
историю научного развития.
-Изучение неравенств позволяет полнее
раскрыть их научную и практическую
значимость
-Прикладная ценность знаний о неравенствах
заключается в том, что неравенства используются как средства сравнения, оценки, а также
19

20.

знания способов решения неравенств и доказательство
неравенств
-Классические неравенства используются и при решении
неравенств повышенной сложности
-Приведенные в работе классические неравенства Бернулли,
Коши, Гюйгенса и Коши - Буняковского, имеют важное
значение в теории неравенств и в своих приложениях в
математическом анализе, геометрии и алгебре.
-На этом работа по данной теме не заканчивается,
следующий вопрос, который вызывает интерес
«Неравенство Бернулли. Число e»
20