Мгновенный центр скоростей (МЦС)

1. Лекция 4 (продолжение 4.3)

Мгновенный центр скоростей (МЦС) – При движении плоской фигуры в каждый момент времени существует точка, жестко
связанная с плоской фигурой, скорость которой в этот момент равна нулю.
Пусть известна скорость одной из точек фигуры и угловая скорость вокруг этой точки:
vPA
Запишем векторное соотношение для скорости некоторой точки P согласно теоремы о сложении скоростей:
vP vA rAP vA vPA. Зададим значение скорости этой точки P равной нулю: vP 0.
P
A
vA
vA
Тогда получаем:
vPA rAP vA . Т.е. вращательная скорость искомой точки должна быть равна по
модулю скорости точки A, параллельна этой скорости и направлена
в противоположную сторону.
Это позволяет найти положение МЦС (точки P), а именно: МЦС должен находиться на перпендикуляре к
скорости точки A, отложенном в сторону угловой скорости, на расстоянии:
AP
vA
.
Если положение МЦС найдено, скорость любой точки плоской фигуры может быть легко определена посредством выбора полюса в
МСЦ . В этом случае векторное выражение теоремы о сложении скоростей вырождается в известную зависимость скорости от
расстояния до центра вращения:
v B v P rPB v BP ;
(v P 0);
v B BP ;
vC v P rPC vCP ;
(v P 0);
vC CP;
Другими словами, можно утверждать, что в любой момент времени тело
не совершает никакого другого движения,
кроме как вращательного движения вокруг МЦС.
P
B
vB
C
vC
12

2. Лекция 5

Примеры использования МЦС для определения скоростей точек плоской фигуры – Поскольку при движении плоской фигуры в
каждый момент времени существует точка (МЦС), жестко связанная с плоской фигурой, скорость которой в этот момент равна нулю, то при
определении скоростей эту точку и следует выбирать в качестве полюса, играющего роль центра вращения в данный момент времени.
Ниже рассмотрим процедуру определения скоростей на примерах:
Дано: vA, ω ,положения точек A, B, C.
Дано: vA, положения точек A, B, C,проскальзывание отсутствует. 2
1
Найти: vB, vC
Найти: vB, vC
1) МЦС находится на перпендикуляре к вектору vA
1) МЦС находится на перпендикуляре к вектору vA
vB
vB
2) Определяем расстояние до МЦС:
(нет проскальзывания и точка с нулевой скоростью
v
AP A .
B
совпадает с точкой контакта колеса и неподвижной
A
B
A
vA
поверхностью качения).
vA
v
Расстояние AP откладываем в сторону дуговой
C
2) Определяем угловую скорость: A .
стрелки угловой скорости. Дуговую стрелку
C
AP
vC угловой скорости изображаем вокруг МЦС.
vC
P
P
Дуговая стрелка угловой скорости направлена
в сторону вектора линейной скорости vA.
3) Соединяем точки B и C с МЦС и определяем скорости этих точек:
v B BP ;
vC CP.
3) Соединяем точки B и C с МЦС и определяем скорости этих точек:
Векторы линейных скоростей vB и vC направлены
в сторону дуговой стрелки угловой скорости.
v B BP ;
vC CP.
Векторы линейных скоростей vB и vC направлены
в сторону дуговой стрелки угловой скорости.
Дано: vA, vB, положения точек A, B, C.
Дано: vA, траектория точки B, положения точек A, B, C.
4
Найти: vC
Найти: vC,
1)
МЦС находится на пересечении перпендикуляров
1)
МЦС находится на пересечении перпендикуляров
vA
к
векторам
v
,v
,
к
вектору
vA и касательной к траектории точки B.
A
B
A
v
B
A A
vA
vB
B
vA
2) Определяем угловую скорость:
2) Определяем угловую скорость:
.
3
vB
C
P
vC
AP
Дуговая стрелка угловой скорости направлена
в сторону векторов линейных скоростей vA ,vB.
3) Соединяем точку C с МЦС и определяем скорость
P
этой точки:
v CP.
C
Вектор линейной скорости vC направлен
в сторону дуговой стрелки угловой скорости.
BP
C
AP
.
vC Дуговая стрелка угловой скорости направлена
в сторону векторов линейной скорости vA .
3) Соединяем точку C с МЦС и определяем скорость
этой точки:
v CP.
C
Вектор линейной скорости vC направлен
в сторону дуговой стрелки угловой скорости.
13

3. Лекция 5 (продолжение 5.2)

Примеры использования МЦС для определения скоростей точек плоской фигуры
5
B vB
Дано: vA, vB, vA║vB, положения точек A, B, C.
Найти: vC
1) МЦС находится на пересечении перпендикуляров
A
v A к векторам vA и vB. Эта точка находится в бесконечности.
C
2) Угловая скорость обращается в нуль (мгновенно
поступательное движение):
vC
Дано: vA, vB, vA║vB, положения точек A, B, C.
Найти: vC
6
vC
3) Скорость точки C равна геометрически скоростям точек
A и B:
v v v .
C
A
B
Дано: vоA,сложении
vB, vA║vB, ускорений
положения точек
A, B, C. любой точки
7 Теорема
– Ускорение
Найти: vC
плоской фигуры равна геометрической сумме ускорения полюса
1) МЦС
находится
на пересечении перпендикуляров
и ускорения этой точки
вокруг
полюса.
к
векторам
v
и
v
.
Эти перпендикуляры сливаются
v
A
B
A
vCСкорости
точек
A и B связаны между собой соотношением:
A
в одну линию.
v
v
A
P
vC CP.
v2)
v A vBA положение
v A rAB
.
B
Определяем
МЦС
AB
Дуговую стрелку угловой скорости изображаем
в сторону векторов линейных скоростей vA ,vB.
3) Соединяем точку C с МЦС и определяем скорость этой точки:
Вектор скорости точки C направлен параллельно векторам
скоростей точек A и B (в ту же сторону).
vB
B
C
v A vB
0.
1) МЦС находится на пересечении перпендикуляров
к векторам vA и vB. Эти перпендикуляры сливаются
в одну линию.
v
v
2) Определяем положение МЦС A B
AP BP
(проводим линию через концы
векторов vA и vB) и угловую
v vB
A
.
скорость:
vA
A
B
AP BP
(проводим
линию через
концы
CПродифференцируем
это соотношение
по времени:
P
v vB
векторов vA и vB) и угловую
A
.
d
v
d
v
d
v
d
B
B
A
AB
vB
скорость:
BA a A ( rAB ).
dt Дуговую
dt
dt
dt скорости изображаем
стрелку угловой
в сторону векторов
линейных скоростей
vA ,vB.
Второе слагаемое дифференцируем
как произведение
двух функций:
3) Соединяем
точку Cd
с МЦС и определяем
скорость этой точки:
dr
d
( rAB )
rAB AB rAB v BA .
Вектор линейнойdt
скорости vC направлен
dt
vC CP. dt
в сторону дуговой стрелки угловой скорости.
Получили сумму вращательного и осестремительного ускорений
рассматриваемой точки относительно полюса. Таким образом,
Пример
использования
МЦС при исследовании работы
ускорение
точки
плоской фигуры:
кривошипно-шатунного механизма – См. решение задачи М.16.28
вр
ос
“Теоретическая механика
и задачах.
Кинематика” (электронное
aB вaпримерах
A a BA a BA a A a BA .
пособие автора www.miit.ru/institut/ipss/faculties/trm/main.htm ),
Вектор линейной скорости vC направлен
в сторону дуговой стрелки угловой скорости.
Следствие – Концы векторов ускорений точек плоской
фигуры, лежащих на одной прямой, также лежат на одной
прямой и делят ее на отрезки, пропорциональные расстояниям
между точками.
Концы векторов ускорений точек aBA и aСA
aCA b
лежат на одной прямой Abc и делят ее на
aC отрезки пропорциональные расстояниям
между точками:
a BA a
a 2 4 AB,
BA
A
aCA 2 4 AC.
aB
C
B
aA
aA
aA
Концы векторов ускорений полюса A,
изображенных в точках B и C, лежат
также лежат на одной прямой.
Нетрудно доказать из подобия треугольников, что концы векторов
суммарных ускорений точек B и C также лежат на одной прямой,
и делят эту прямую на части, пропорциональные расстояниям
между точками.
14

4. Лекция 5 (продолжение 5.3)

Мгновенный центр ускорений (МЦУ) – При движении плоской фигуры в каждый момент времени существует точка, жестко
связанная с плоской фигурой, ускорение которого в этот момент равна нулю.
a PA
A
Пусть известно ускорение одной из точек фигуры, угловая скорость и угловое ускорение вокруг этой точки:
Q
aA
Запишем векторное соотношение для ускорения некоторой точки Q согласно теоремы о сложении ускорений:
aQ a A rAQ vQA a A a PA .
Тогда получаем:
aA
Угол между вектором полного ускорения точки
при вращении относительно центра равен:
aPA a A .
arctg
a Q 0.
Зададим значение ускорения этой точки Q равной нулю:
.
2
Т.е. ускорение искомой точки при вращении вокруг полюса должно
быть равно по модулю ускорению точки A, параллельно этому
ускорению и направлено в противоположную сторону.
a
A
Это позволяет найти положение МЦУ (точки Q), а именно: МЦУ должен находиться прямой, составляющей AQ
.
2
угол к вектору ускорения точки A, проведенной в сторону углового ускорения, на расстоянии:
4
Если положение МЦУ найдено, ускорение любой точки плоской фигуры может быть легко определено посредством выбора полюса в
МСУ . В этом случае векторное выражение теоремы о сложении ускорений вырождается в известную зависимость полного ускорения от
расстояния до центра вращения:
2
4
aB aQ rQB vBQ aBQ ;
(aQ 0);
aB BQ ;
aC aQ rQC vCQ aCQ ;
(aQ 0);
aC 2 4 CQ;
Таким образом, при определении ускорений точек плоской фигуры в данный момент времени
можно считать, что тело совершает вращательное движение вокруг МЦУ.
Внимание: На самом деле в данный момент тело вращается вокруг МЦС,
положение которого в общем случае не совпадает с положением МЦУ.
Примеры использования МЦУ для определения ускорений точек плоской фигуры
1
Дано: aA, , , положения точек A, B.
Найти: aB
arctg
1)
МЦУ
находится
на
прямой
,
составляющей
угол
2
к вектору ускорения точки A, проведенной в сторону
углового ускорения, на расстоянии:
aA
Q
AQ
.
2
4
A
2) Соединяем точку B с МЦУ
aA
aB и определяем ускорение этой точки:
B
a 2 4 QB.
B
Q
B
aB
aC
C
a
.
A
Если = 0 и 0, то = 0 и AQ 2 .
Ускорения всех точек
будут направлены в точку Q (МЦУ).
a
Если 0 и = 0, то = 90о и AQ A .
Ускорения всех точек
будут перпендикулярны отрезкам, соединяющим
точки с МЦУ, и направлены в сторону углового
ускорения.
15

5. Лекция 5 (продолжение 5.4)

Примеры использования МЦУ для определения ускорений точек плоской фигуры
Дано: aA, aB, положения точек A, B, C.
Использование МЦУ связано с геометрическим построениями и
Найти: aC
решениями косоугольных треугольников, что не совсем удобно
1) Запишем теорему о сложении ускорений
в общем случае. Можно решить эту задачу алгебраически
и найдем ускорение точки B во вращении вокруг
aA A
с помощью проекций:
полюса A:
a
a
a
.
1) Запишем теорему о сложении
B
A
BA
B
y
a
ускорений для точек B и A:
a
C
A
A
2) Определим угол между вектором aBA и прямой
C
вр
ос
B
AB и направление дуговой стрелки углового ускорения:
a BA
a B a A a BA
a BA
.
ос
ос
a
a
BA
CA
3) МЦУ находится на пересечении прямых, повернутых
aB
и изобразим компоненты ускорений:
C
на угол от векторов ускорений точек A и B в сторону
Q
вр 2) Спроецируем уравнение на
вр
aCA
дуговой стрелки углового ускорения:
a B a BA
координатные оси:
x
4) Соединяем точку C с МЦУ и определяем ускорение
этой точки из одного из соотношений:
вр
вр
ос
ос
a
aA
a
a Bx a Ax a BAx
a BAx
a Ax AB cos( a BA
, x) 2 AB cos( a BA
, x),
и направляем вектор ускорения под
B C .
вр
вр
ос
ос
AQ BQ CQ
углом к отрезку QC в сторону
a By a Ay a BAy
a BAy
a Ay AB cos( a BA
, y ) 2 AB cos( a BA
, y ).
дуговой стрелки углового ускорения.
3) Из этих уравнений можно найти угловые скорость и ускорение.
2
aA
4) Запишем теорему о сложении ускорений для точек С и A:
вр
и изобразим компоненты ускорений:
aC a A aCA
5) Спроецируем уравнение на
координатные оси:
ос
aCA
.
вр
вр
ос
ос
aCx aCx aCAx
aCAx
aCx AC cos( aCA
, x) 2 AC cos( aCA
, x),
вр
вр
ос
ос
aCy aCy aCAy
aCAy
aCy AC cos( aCA
, y ) 2 AC cos( aCA
, y ).
16