Курс лекций по теоретической механике

1. Курс лекций по теоретической механике

Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ)
Кафедра теоретической механики
Научно-технический центр транспортных технологий
Бондаренко А.Н.
Курс лекций по
теоретической
механике
Кинематика
Электронный учебный курс написан на основе лекций, читавшихся автором для студентов,
обучавшихся по специальностям СЖД, ПГС и СДМ в НИИЖТе и МИИТе (1974-2006 гг.). Учебный
материал соответствует календарным планам в объеме трех семестров.
Для полной реализации анимационных эффектов при презентации необходимо использовать средство просмотра
Power Point не ниже, чем встроенный в Microsoft Office операционной системы Windows-ХР Professional.
Запуск презентации – F5, навигация – Enter, навигационные клавиши, щелчок мыши, кнопки.
Завершение – Esc.
Замечания и предложения можно послать по e-mail: [email protected] .
Москва - 2007

2. Содержание

Лекция 1. Кинематика точки. Способы задания движения. Уравнения движения. Траектория. Закон
движения точки. Связь между тремя способами задания движения. Скорость точки.
Лекция 2. Ускорение точки. Равнопеременное движение точки. Классификация движения точки.
Пример решения задач на определение кинематических характеристик движения точки. Кинематика
твердого тела. Виды движений. Поступательное движение.
Лекция 3. Вращательное движение. Угловая скорость и угловое ускорение. Равнопеременное
вращение. Скорость и ускорение точки тела при вращательном движении. Скорость и ускорение точки
вращающегося тела как векторные произведения. Формула Эйлера. Преобразование вращений.
Лекция 4. Плоскопараллельное движение твердого тела. Разложение плоского движения на
поступательное и вращательное движения. Уравнения движения. Теорема о сложении скоростей.
Следствия из теоремы. Мгновенный центр скоростей (МЦС).
Лекция 5. Примеры использования МЦС для определения скоростей. Теорема о сложении ускорений.
Мгновенный центр ускорений (МЦУ). Примеры использования теоремы о сложении ускорений и МЦУ
для определения ускорений
Лекция 6. Сферическое движение твердого тела. Теорема Эйлера. Угловая скорость и угловое
ускорение. Скорость и ускорение точки тела во сферическом движении. Общий случай движения.
Скорость точки свободного тела. Независимость векторов угловой скорости и углового ускорения от
выбора полюса. ускорение точки свободного тела.
Лекция 7. Сложное движение точки. Теорема о сложении ускорений точки при сложном движении.
Теорема о сложении ускорений при сложном движении точки. Ускорение Кориолиса. Причины
возникновения ускорения Кориолиса.
Лекция 8. Сложное движение твердого тела. Сложение поступательных движений. Сложение
вращательных движений. Сложение поступательного и вращательного движений. Общий случай
составного движения тела. Кинематические инварианты.
Рекомендуемая литература
1. Яблонский А.А. Курс теоретической механики. Ч.1. М.: Высшая школа. 1977 г. 368 с.
2. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. М.: Наука. 1986 г. 416 с.
3. Сборник заданий для курсовых работ /Под ред. А.А. Яблонского. М.:Высшая школа. 1985 г. 366 с.
4. Бондаренко А.Н. “Теоретическая механика в примерах и задачах. Кинематика” (электронное пособие
www.miit.ru/institut/ipss/faculties/trm/main.htm ), 2004 г.

3. Лекция 1

Кинематика
Кинематика – раздел теоретической механики,
изучающий механическое движение без учета сил,
вызывающих это движение, состоит из двух отделов:
Кинематика точки
Кинематика твердого тела
Кинематика точки – изучает движение материальной точки, является базой для изучения движения точек твердого тела.
Задание движения точки – необходимо иметь возможность определения положения точки в пространстве в любой момент времени (уравнения,
геометрия механизма и известный закон движения ведущего звена).
Траектория движения точки – совокупность положений точки в пространстве при ее движении.
Три способа задания движения точки:
Векторный способ:
Координатный способ:
Естественный способ:
Задаются закон движения точки и траектория.
Задается величина и направление радиуса-вектора. Задаются координаты положения точки.
M
z
r r (t )
M
r
z
s
O1
x x (t );
y y (t );
z z (t ).
M
s s (t );
f ( x , y , z ) 0.
ds
r
O
O
k
j
x
i
y
x
Все три способа задания эквивалентны и связаны между собой:
1. Векторный и координатный – соотношением:
dz
z
z
O
y
x
x
y
y
dy dx
ds dx 2 dy 2 dz 2
2. Координатный и естественный – соотношением:
r (t ) x(t )i y(t ) j z (t )k
s(t ) x 2 y 2 z 2 dt
3. Для получения уравнения траектории движения необходимо из уравнений движения координатного способа исключить время, т.к. траектория
не зависит от времени:
Последние два уравнения представляют собой уравнения линейчатых поверхностей,
x x(t ) t t ( x);
Например:
y y (t ) y[t ( x)] y ( x);
z z (t ) z[t ( x)] z ( x).
x t t x
y R 2 t 2 R 2 x 2 или x 2 y 2 R 2 ;
z c.
линия пересечения которых и есть траектория движения точки.
y y ( x);
z z ( x).
Последние два уравнения представляют собой уравнения цилиндрической поверхности
радиуса R c образующей, параллельной оси z, и плоской поверхности, параллельной
координатной плоскости Oxy и смещенной по оси z на величину c. Линия пересечения
этих поверхностей (окружность радиуса R) - траектория движения точки.
1

4. Лекция 1 (продолжение – 1.2)

Скорость точки – величина, характеризующая быстроту изменения положения точки в пространстве.
Три способа задания движения точки определяют способы определения скорости точки:
Векторный способ: Сравним два положения точки в моменты времени t и t1= t + t:
t
r;
t1 t Δt r1 r Δr ;
M
v
Δr
r
M1 v
ср
O
dr
dt
- вектор средней скорости в интервале времени t,
направлен по направлению вектора перемещения (хорде MM1).
Предел отношения приращения функции
Δ r dr
к приращению приращения аргумента есть Δt lim 0
Δt dt
производная функции (по определению):
- вектор истинной скорости точки в момент времени t, направлен по касательной к траектории
(при приближении M1 к M хорда занимает положение касательной).
Устремим t 0 и перейдем к пределу:
v
r1
Δr
vср
Δt
Δt
lim 0
Δr
v
Δt
r (t ) x(t )i y(t ) j z (t )k
Координатный способ: Связь радиуса-вектора с координатами определяется выражением:
z
vz
Используем векторную форму определения скорости:
M
dr (t ) d
x(t )i y (t ) j z (t )k Компоненты
vy v
Проекции
v x x ;
dt
dt
(составляющие) v x x (t )i ;
скорости
vx
вектора
r
v y y ;
v y y (t ) j; на оси
dx
dy
dz
i
j
k
v
i
v
j
v
k
скорости:
x
y
z
координат:
z
O
dt
k
j
y
x
s M
Δs
O1
r
r1
O
v x 2 y 2 z 2 ;
x
cos( v , x) ;
v
y
cos( v , y ) .
v
Используем векторную форму определения скорости:
Естественный способ:
Δr
v z z .
v z z (t )k .
dt
y
x
i
dt
Представим радиус-вектор как сложную функцию: r (t ) r [ s (t )].
dr
Δr
Представим производную
lim 0
.
радиус-вектора как предел: ds Δs
Δs
v
M1
Величина производной
радиуса-вектора
по дуговой координате равна 1:
dr (t ) dr ds dr
s .
dt
ds dt ds
Вектор приращения радиуса-вектора направлен по хорде MM1
и в пределе занимает положение касательной.
При s 0 радиус кривизны 1 , угол
2 sin Δ2
dr
Δr
Δs lim 0
Δ lim 0
1. между радиусами кривизны 0, числитель ds
Δs
Δ
- основание равнобедренного треугольника,
Таким образом, производная радиуса-вектора по дуговой координате есть
единичный вектор, направленный по касательной к траектории.
Вектор скорости равен:
v
v s . Проекция скорости на касательную: v s .
При s 0 вектор скорости направлен в сторону увеличения дуговой
координаты, В противном случае – в обратную сторону.
знаменатель – длина круговой дуги радиуса .
Δr
Δ
1
Δs
2

5. Лекция 2

Ускорение точки – величина, характеризующая быстроту изменения скорости точки.
t
v;
Три способа задания движения точки определяют способы определения ускорения точки:
Векторный способ: Сравним скорости точки в двух положениях точки в моменты времени t и t1= t + t:
t1 t Δt v1 v Δv ;
M
Δv
v
v
- вектор среднего ускорения в интервале времени t, направлен в сторону вогнутости траектории.
a
Δr
r
O
v1
a
r1
Δt
M1
v
v1
a
ср
Переходя к пределу получаем:
dv d 2 r
dt dt 2
Δt lim 0
Δv
a
Δt
Δt lim 0
Δ v dv
Δt
dt
- вектор истинного ускорения точки в момент времени t, лежит в
соприкасающейся плоскости (предельное положение плоскости, проведенной
через касательную в точке M и прямую, параллельную касательной в точке M1, при
стремлении M1 к M) и направлен в сторону вогнутости траектории.
Координатный способ: Используем полученное векторное выражение и связь радиуса-вектора с координатами
z
az
M
ay
r
O
i
k
ax
z
j
x
d 2 r (t ) d 2
a
2 x(t )i y (t ) j z (t )k
dt 2
dt
2
2
d x
d y
d 2z
2 i 2 j 2 k axi a y j az k
dt
dt
dt
Компоненты
(составляющие)
вектора
ускорения:
y
a x x i ;
a y y j;
a z z k .
Проекции
ускорения
на оси
координат:
r (t ) x(t )i y(t ) j z (t )k
a x 2 y 2 z 2 ;
a x x ;
x
a y y ; cos( a , x) ;
a
a z z .
y
cos( a , y ) .
a
y
Таким образом полное ускорение точки есть векторная сумма двух ускорений:
Естественный способ: Используем векторное выражение для ускорения и выражение для скорости при естественной способе задания: v s .
касательного, направленного по касательной к траектории в сторону увеличения
дуговой координаты,
если s 0 (в противном
случаеединичного
– в противоположную)
d d dsи
d
dv d
d
Представим
единичный
Производная
s M
s .
a
( s ) s s
. касательный
(
t
)
[
s
(
t
)].
нормального
ускорения,
направленного
по
нормали
к
касательной
в сторону
центра
вектор
касательного
вектора:
Δs
dt dt
dt
O1
dt
ds dt
ds
кривизны
(вогнутости
avτ
как
сложную
функцию: траектории): a a a .
τ
n
n
Величина производной
Таким образом, производная
M1
a n Δr
единичного касательного вектора d
2 sin Δ2 2 1 2единичного касательного вектора
Δ
Модуль
r
Δs полного
lim 0 ускорения:
Δ lim 0 a a τ . a n по; дуговой координате есть вектор,
по дуговой координате:
a
ds
Δs
Δ
r1
направленный перпендикулярно
Приединичный
s 0 радиус
кривизны
1 , угол
Угол между приращением касательной к траектории.
Введем
вектор
n, нормальный
(перпендикулярный)
к касательной,
O
a s ;
1
между радиусами
единичного вектора
направленный
к центрукривизны
кривизны. 0, числитель Компоненты
Δs
a τ s ;
Δr
Проекции
2
-основание
равнобедренного
треугольника,
и
самим
вектором
2
С использованием вектора n и ранее
s (составляющие)
s
о
2
образованного
единичными векторами 1 и a
, s Δ
при 0, стремится
n . вектора
определенных
величин
a n кn90
. . ускорения a s .
3
знаменатель
–
длина
круговой
дуги
радиуса
.
на
оси
и
n:
1
ускорение представляется как сумма векторов:
n
ускорения:
x
1

6. Лекция 2 (продолжение 2.2)

Равнопеременное движение точки – движение точки по траектории, при котором касательное ускорение не изменяется по величине.
a τ s const.
Запишем выражение для касательного ускорения через проекцию скорости:
a τ s
dv
d
s τ
dt
dt
Полученное выражение есть дифференциальное уравнение, которое легко решается разделением переменных и интегрированием левой
и правой частей:
vτ
t
v
t
-скорость точки
dv τ a τ dt
dv
a
vτ vτ a ττ t 0 ; v τ v τ 0 a ττt v τ v τ 0 a τ τt при равнопеременном движении
τ
ττ dt ;
τ0
vτ 0
0
В свою очередь скорость точки также связывается с дуговой координатой дифференциальной зависимостью: vτ
После подстановки
выражения для скорости
и интегрирования получаем :
s
t
t
ds (v a t )dt;
τ0
s0
0
ds
или ds vτ dt.
dt
2
t2
t2
s s (vτ 0t a ) ; s s0 vτ 0t a . s s v t a t
0
0
τ0
ττ
2 0
2
2
s
- дуговая координата
точки при равнопеременном движении
Классификация движений точки.
№
пп
a
an
Закон движения
Траектория
1
= 0 [t, t1]
= 0 [t, t1]
равномерное (v = const)
прямолинейное ( = )
2
= 0 [t, t1]
0 [t, t1]
равномерное (v = const)
криволинейное ( )
2.1
=0
в момент
времени t
= 0 [t, t1]
прямолинейное ( = )
0 [t, t1]
неравномерное (v const),
в момент времени t
v = max
= 0 [t, t1]
неравномерное (v const)
прямолинейное ( = )
2.2
Вид движения
3
3.1
0 [t, t1]
3.2
4
0 [t, t1]
5
= const [t, t1]
=0
в момент
времени t
0 [t, t1]
любое
криволинейное ( )
перемена направления
движения (v = 0 при t=t)
любая траектория
неравномерное (v const)
перегиб траектории ( = при t=t)
неравномерное (v const)
криволинейное ( )
равнопеременное
любая траектория
4

7. Лекция 2 (продолжение 2.3)

Исследование работы кривошипно-шатунного механизма – См. решение задачи М.12.18 “Теоретическая механика в примерах и
задачах. Кинематика” (электронное пособие автора www.miit.ru/institut/ipss/faculties/trm/main.htm ),
Кинематика твердого тела – изучает движение твердого тела, кинематика точки используется для получения новых зависимостей и
формул.
Существует пять видов движения твердого тела:
1. Поступательное (ползун, поршень насоса, спарник колес паровоза, движущегося по прямолинейному пути, кабина лифта, дверь купе,
кабина колеса обозрения).
2. Вращательное (маховик, кривошип, коромысло, колесо обозрения, обычная дверь).
3. Плоскопараллельное или плоское (шатун, колесо локомотива при качении по прямолинейному рельсу, шлифовальный круг).
4. Сферическое (гироскоп, шаровая стойка).
5. Общий случай движения или свободный полет (пуля, камень, небесное тело)
Поступательное движение твердого тела – такое движение при котором любая прямая, жестко связанная с телом, остается
параллельной самой себе. Обычно поступательное движение отождествляется с прямолинейным движением его точек, однако это не
так. Точки и само тело (центр масс тела) могут двигаться по криволинейным траекториям, см. например, движение кабины колеса
обозрения.
Теорема о поступательном движении твердого тела – При поступательном движении твердого тела все его точки описывают
тождественные траектории и имеют в каждый момент времени геометрически равные скорости и ускорения.
Проведем радиус-векторы к двум точкам A и B, а также соединим эти точки вектором rBA.
В любой момент времени выполняется векторное равенство:
В любой момент времени вектор rBA остается постоянным по направлению
(по определению поступательного движения) и по величине
rA (t ) rB (t ) const ,
(расстояние между точками не изменяется).
Отсюда:
и это означает, что в каждый момент времени положение точки A отличается от положения
Таким
твердого
тела полностью
точкиобразом,
B на однупоступательное
и ту же величинудвижение
rBA = const,
т.е. траектории
этих двух определяется
точек тождественны
движением
одной
точки,
принадлежащей
этому
телу
и
выбранной
произвольным образом.
(совпадают друг с другом при наложении).
Все параметры движения этой точки (траектория, скорость и ускорение) описываются
drA (t ) drB (t )
уравнениями
и соотношениями
кинематики
точки.часть соотношения:
Продифференцируем
по времени
левую и правую
vA
A
aA
rA
rA
rBA
rBA
vB
dt
B
rB
rB
C
rA (t ) rB (t ) rBA.
aB
dt
и это означает, что в каждый момент времени скорость точки A равна геометрически
(т.е. векторно) скорости точки B.
v (t ) v (t ).
A
B
Второе дифференцирование по времени приводит к соотношению:
dr 2 A (t ) dr 2 B (t )
dt 2
dt 2
и это означает, что в каждый момент времени ускорение точки A равно геометрически
(т.е. векторно) ускорению точки B.
aA (t ) aB (t ).
5

8. Лекция 3

Вращательное движение твердого тела – движение при котором все его точки движутся в плоскостях, перпендикулярных некоторой
неподвижной прямой, и описывают окружности с центрами, лежащими на этой прямой, называемой осью вращения.
P
Задание вращательное движения – движение задается законом изменения двугранного угла
φ (угла поворота), образованного неподвижной плоскостью P, проходящей через ось
вращения, и плоскостью Q, жестко связанной с телом:
(t ) - уравнение вращательного движения
Угловая скорость – величина, характеризующая быстроту изменения угла поворота.
ω
ε
t
;
t1 t Δt 1 Δ ;
Q
Δ
ср - средняя угловая скорость в интервале времени t,
Δt
Устремим t 0 и перейдем к пределу:
Δt lim 0
Δ
d
Δt
dt
Если dφ/dt > 0, то вращение происходит в сторону увеличения угла поворота,
если dφ/dt < 0, то вращение происходит в сторону уменьшения угла поворота.
Угловое ускорение – величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости.
t
;
t1 t Δt 1 Δ ;
Δ
ср - среднее угловое ускорение в интервале времени t,
Δt
d
Δ
- истинное угловое ускорение
Устремим t 0 и перейдем к пределу: Δt lim 0
в момент времени t
dt
Δt
- истинная угловая скорость
в момент времени t
Угловая скорость
изображается дуговой
стрелкой в сторону
вращения.
Угловое ускорение
изображается дуговой
стрелкой в сторону
увеличения угла поворота
при
0 .
Если d2φ/dt2 и dφ/dt одного знака, то скорость увеличивается по модулю и вращение называется ускоренным (дуговые стрелки угловой скорости
и углового ускорения направлены в одну сторону),
если d2φ/dt2 и dφ/dt разного знака, то скорость уменьшается по модулю и вращение называется замедленным (дуговые стрелки угловой скорости
и углового ускорения направлены в противоположные стороны).
const.
Равномерное вращение – угловая скорость не изменяется по величине.
Равнопеременное вращение – угловое ускорение не изменяется по величине.
const.
d
;
dt
t
0
0
d dt;
0 t.
d
;
dt
d
;
dt
t
0
0
t
0
0
d dt;
d ( 0 t )dt;
0 t.
0 0t
t2
.
2
6

9. Лекция 3 (продолжение 3.2)

Скорость точки при вращательном движении твердого тела – траектория точки известна (окружность радиуса R – расстояние точки
до оси вращения), можно применить формулу для определения скорости точки при естественном задании движения:
v s .
Дуговая координата связана
с радиусом окружности:
- O
+
s
R
φ
ε
aanос
aaврτ
ω
a
v
s R.
Тогда проекция скорости
на касательную к окружности:
vτ
d
d
( R )
R R.
dt
dt
Поскольку далее работают с модулем угловой скорости после изображения ее
в виде дуговой стрелки расчетной формулой является выражение для модуля скорости: v R
и вектор скорости направляют перпендикулярно радиусу
в сторону дуговой стрелки угловой скорости.
Как следует из формулы скорость точки пропорциональна расстоянию ее до оси вращения (радиусу вращения).
Ускорение точки при вращательном движении твердого тела – траектория точки известна, можно применить
формулы для определения ускорений точки при естественном задании движения:
s 2
Тогда проекции ускорения
d2
d 2
на касательную
a
(
R
)
R R.
τ
2
2
к окружности и нормаль:
dt
dt
a τ s ; a n
1 d
1 d
(
R
)
R 2 R.
dt
R dt
2
an
2
.
Поскольку далее работают с модулем углового ускорения после изображения его в виде дуговой стрелки расчетной формулой является
выражение для касательного ускорения: a R и вектор этого ускорения, называемого вращательным ускорением, направляют
вр
перпендикулярно радиусу в сторону дуговой стрелки углового ускорения.
z
z
Нормальное ускорение теперь называется осестремительным ускорением aос R , его направляют по радиусу
к оси вращения
независимо от направления дуговой стрелки угловой скорости, не говоря уж о направлении дуговой стрелки углового ускорения.
2
ω
Как следует из формул оба ускорения точки пропорциональны расстоянию ее до оси вращения (радиусу вращения).
ω
Угол между направлением полного ускорения и
радиусом от величины радиуса не зависит
ε и
ε
равен:
aвр
Скорость и ускорения точки при вращательном движении как векторные произведения.
arctg arctg 2 .
Представим угловую скорость и угловое ускорения как векторы, направленные по оси вращения в ту
aос
сторону, откуда дуговые стрелки этих величин указывают вращение против часовой стрелки.
Полное ускорение точки, как и ранее, есть векторная сумма этих ускорений: a a
вр a ос .
Положительное направление оси z можно задать с помощью единичного вектора k, тогда
векторы угловой скорости и углового ускорения можно представить как:
z k z k
где z, z – проекции соответствующих векторов на ось z.
k
k
7

10. Лекция 3 (продолжение 3.3)

Скорость точки при вращательном движении как векторное произведение – определяется выражением v r , которое
описывает и величину, и направление скорости.
Величина (модуль) этого
Таким образом: v R.
v 1 r sin( , r ).
векторного произведения:
ω
2 произведения:
Направление вектора рассматриваемого векторного
по определению векторного произведения – перпендикулярноRплоскости, проведенной через умножаемые вектора,
направлен в ту сторону, откуда поворот первого вектора ко второму на наименьший угол кажется происходящим
против часовой стрелки;
по правилу правой руки – при совмещении большого пальца с первым вектором, остальных – со вторым вектором,
поворот большого пальца перпендикулярно ладони указывает на направление вектора векторного произведения.
R
r
v
Таким образом, действительно векторное произведение угловой скорости и радиус-вектора полностью определяет
величину и направление скорости точки при вращательном движении в соответствии с ранее полученными результатами.
Вращательное ускорение точки как векторное произведение – определяется выражением
описывает и величину, и направление вращательного ускорения.
ε
R
r
a вр r
, которое
Таким образом:
Величина (модуль) этого векторного a
aвр R.
вр r sin( , r ).
произведения:
Направление вектора рассматриваемого векторного произведения можно установить по определению векторного
произведения или по правилу правой руки.
R
образом, действительно векторное произведение углового ускорения и радиус-вектора полностью определяет
a вр Таким
величину и направление вращательного ускорения точки в соответствии с ранее полученными результатами.
Осестремительное ускорение точки как векторное произведение – определяется
выражением a v , которое описывает и величину, и направление осестремительного
ос
ускорения.
Величина (модуль) этого
векторного произведения:
aос v sin( , v ). Таким образом: v v ( R) 2 R.
Направление вектора рассматриваемого векторного произведения можно установить по определению векторного
произведения или по правилу правой руки.
1, т.к. вектор скорости точки перпендикулярен плоскости,
Таким образом, действительно векторное произведение угловой
скорости
и вектора
скорости
точки полностью
в которой
лежит
вектор угловой
скорости.
определяет величину и направление осестремительного ускорения точки в соответствии с ранее полученными
результатами.
Это векторное произведение может быть также записано в виде: a ( r )
ос
ω
R
r
a ос
v
8

11. Лекция 3 (продолжение 3.4)

Формулы Эйлера – с помощью раскрытия векторного произведения для скорости точки можно получить общие аналитические
выражения для этой скорости через координаты рассматриваемой точки при произвольной расположении оси вращения в
пространстве:
i
v r x
x
z
ω
R
j
k
y z ( y z z y )i ( z x x z ) j ( x y y x)k
y
z
v x y z z y;
v y z x x z;
Отсюда получаются аналитические формулы для проекций скоростей точки:
r
z
x
y
x
y
v z x y y x.
v
Преобразования вращательных движений – изменение величины и направление угловых
скоростей вращающихся звеньев в различных передаточных механизмах:
Фрикционное зацепление:
v2 v1
Скорости входящих в контакт точек колес при отсутствии проскальзывания равны:
v1 v2 ;
1 R1 2 R2 . Отсюда:
1 R2
2 R1
ω2
R2
Передаточное число, характеризующее изменение скорости вращения при передаче
вращения от одного звена к другому – отношение угловой скорости ведущего колеса
R
i1 2 1 2
к угловой скорости ведомого:
2 R1
Зубчатое зацепление – число зубьев каждого из колес прямо пропорционально
радиусу колеса. Окружные скорости входящих в контакт точек поверхностей зубьев по-прежнему равны.
Полученные соотношения остаются справедливыми, в том числе и для случая внутреннего
зацепления.
Радиусы делительных окружностей связаны с шагом зубьев соотношениями: 2 R z h 2 R z h
2
2
1
1
С использованием чисел зубьев каждого из колес имеем:
Ременная и цепная передачи –. Окружные скорости
входящих в контакт с ремнем или цепью точек поверхностей
обоих колес или зубьев этих колес по-прежнему равны (ремень
или цепь не растягиваются и не сжимаются).
1
Полученные соотношения остаются справедливыми.
2
1 z 2
2 z1
v2
R2
R1
1 z 2
2 z1
R1
ω2
R2
ω1
R1
v1
ω2
ω1
ω1
R2
R1
9

12. Лекция 4

Плоскопараллельное движение твердого тела – движение при котором каждая точка тела движется в в плоскости
параллельной некоторой неподвижной плоскости. Сечение тела одной из таких плоскостей есть плоская фигура, остающаяся в этой
плоскости при движении тела.
Теорема о плоскопараллельном движении твердого тела – плоскопаралллельное
движение твердого тела однозначным образом определяется движением плоской
фигуры, образованной сечением тела одной из параллельных плоскостей.
M1
Выберем две точки на произвольных двух сечениях тела, находящиеся на одном перпендикуляре к
этим плоскостям:
Проведем к каждой точке радиусы-векторы из неподвижной точки O и свяжем их между собой вектором
r1 M 1 M 2
M1M2:
r2 r1 M 1 M 2
M2
O
r2
При плоском движении тела вектор M1M2 не изменяется по величине, остается параллельным
самому себе (движется поступательно) и, следовательно, точки этого вектора описывают
тождественные траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые скорости и ускорения:
dr2 dr1
d 2 r2 d 2 r1
; ( M 1M 2 const ); v2 v1 , и
2 ; a2 a1 .
dt
dt
dt 2
dt
Таким образом, при плоском движении тела движение каждой точки одной из плоских фигур определяет движение соответствующих точек,
находящихся во всех других смежных параллельных плоскостях.
Следствие: Поскольку положение плоской фигуры однозначно определяется положением ее двух точек или отрезка прямой, проведенной
через эти точки, то плоскопараллельное движение твердого тела определяется движением прямолинейного отрезка,
принадлежащего одному из сечений тела параллельными плоскостями.
Разложение плоскопараллельного движения плоской фигуры на поступательное и вращательное движения – Плоскую фигуру
или отрезок прямой можно перевести из одного положения в другое бесчисленным множеством способов, меняя последовательность
выполнения поступательного и вращательного движения между собой, а также выбирая различные траектории и точки в качестве
полюса:
Таким образом, плоскопараллельное движение состоит из двух движений:
поступательное и вращательное, и его всегда можно разложить на эти два движения.
A1 y
При этом поступательное зависит от выбора полюса и траектории движения, а
Уравнение движения плоской фигуры: Выбирая в качестве полюса любую точку, например,
вращательное, характеризуемое поворотом вокруг выбранного полюса, не зависит от выбора
B
A, поступательная часть движения будет описываться уравнениями движения этой точки.
полюса (для любого полюса величина угла поворота и направление вращения – одинаковы).
Вращательная часть движения описывается уравнением изменения угла поворота вокруг
B
xC
A2
полюса:
Уравнения движения любой точки плоской фигуры, положение
yC
x A x A (t );
B2
A
xA
которой задается координатами локальной системы отсчета,
связанной с фигурой:
y
y
(
t
);
A
A
A
xC x A (t ) xC cos (t ) yC sin (t );
yA
(
t
).
x
10
yC y A (t ) xC sin (t ) yC cos (t ).
B1

13. Лекция 4 (продолжение 4.2)

Независимость угловой скорости и углового ускорения плоской фигуры от выбора полюса – Выберем два произвольных
прямолинейных отрезка, изображающих положение плоской фигуры и два полюса на этих отрезках:
D
A
A
Углы наклона отрезков к горизонтальной оси различны и связаны между собой соотношением:
С
A B
Продифференцируем это соотношение:
После повторного дифференцирования следует,
d CA d DB
.
что угловые ускорения двух отрезков также равны:
dt
dt
CA DB .
Теорема о сложении скоростей – Скорость любой точки плоской фигуры равна геометрической
сумме скоростей полюса и вращательной скорости этой точки вокруг полюса.
rB (t ) rA (t ) rAB (t ).
vBA
Продифференцируем это соотношение:
Второе слагаемое есть вращательная
скорость точки B вокруг полюса A:
B
rB
rA
rAB
vvAA
vBA (t ) (t ) rAB (t );
vC
vBA b v B
vA
C
vA
zk
z
rAB const.
v A (t )
vBA (t )
z k
k
Таким образом, скорость точки B
равна геометрической сумме
скорости полюса A и
вращательной скорости точки B
вокруг полюса :
vB vA rAB vA vBA.
Следствие 1 – Проекции скоростей точек плоской фигуры на ось,
проходящую через эти точки равны .
( x1 ) : vBx1 v Ax1 , (vBA x1 ).
Спроецируем векторное соотношение на ось x1:
vCA c
B
drB (t ) drA (t ) drAB (t )
.
dt
dt
dt
vB (t )
A
O
Таким образом, угловая
скорость и угловое ускорение
плоской фигуры не зависят
от выбора полюса и их
можно представить в виде
векторов, перпендикулярных
плоскости фигуры:
Радиусы-векторы точек A и B связаны между собой соотношением:
x1
vB
A
CA DB .
Отсюда следует, что угловые скорости двух отрезков равны:
B
B
d B (t ) d A (t )
, (α const ).
dt
dt
B (t ) A (t ) .
vA
Следствие 2 – Концы векторов скоростей точек плоской фигуры, лежащих на одной прямой, также
лежат на одной прямой и делят эту прямую на отрезки пропорциональные расстояниям между точками.
Концы векторов вращательных скоростей точек B и A лежат на одной прямой и делят ее на отрезки
пропорциональные расстояниям между точками:
vCA AC Ac
vBA AB, vCA AC ,
.
Концы векторов скоростей полюса A лежат, изображенных
vBA AB Ab
в точках B и C также лежат на одной прямой.
Нетрудно доказать из подобия треугольников, что концы векторов скоростей точек B и C также лежат на одной
прямой, и делят эту прямую на части, пропорциональные расстояниям между точками.
11

14. Лекция 4 (продолжение 4.3)

Мгновенный центр скоростей (МЦС) – При движении плоской фигуры в каждый момент времени существует точка, жестко
связанная с плоской фигурой, скорость которой в этот момент равна нулю.
Пусть известна скорость одной из точек фигуры и угловая скорость вокруг этой точки:
vPA
Запишем векторное соотношение для скорости некоторой точки P согласно теоремы о сложении скоростей:
vP vA rAP vA vPA. Зададим значение скорости этой точки P равной нулю: vP 0.
P
vA
A
vA
Тогда получаем:
vPA rAP vA . Т.е. вращательная скорость искомой точки должна быть равна по
модулю скорости точки A, параллельна этой скорости и направлена
в противоположную сторону.
Это позволяет найти положение МЦС (точки P), а именно: МЦС должен находиться на перпендикуляре к
скорости точки A, отложенном в сторону угловой скорости, на расстоянии:
AP
vA
.
Если положение МЦС найдено, скорость любой точки плоской фигуры может быть легко определена посредством выбора полюса в
МСЦ . В этом случае векторное выражение теоремы о сложении скоростей вырождается в известную зависимость скорости от
расстояния до центра вращения:
v B v P rPB v BP ;
(v P 0);
v B BP ;
vC v P rPC vCP ;
(v P 0);
vC CP;
Другими словами, можно утверждать, что в любой момент времени тело
не совершает никакого другого движения,
кроме как вращательного движения вокруг МЦС.
P
B
vB
C
vC
12

15. Лекция 5

Примеры использования МЦС для определения скоростей точек плоской фигуры – Поскольку при движении плоской фигуры в
каждый момент времени существует точка (МЦС), жестко связанная с плоской фигурой, скорость которой в этот момент равна нулю, то при
определении скоростей эту точку и следует выбирать в качестве полюса, играющего роль центра вращения в данный момент времени.
Ниже рассмотрим процедуру определения скоростей на примерах:
Дано: vA, ω ,положения точек A, B, C.
Дано: vA, положения точек A, B, C,проскальзывание отсутствует. 2
1
Найти: vB, vC
Найти: vB, vC
1) МЦС находится на перпендикуляре к вектору vA
1) МЦС находится на перпендикуляре к вектору vA
vB
vB
2) Определяем расстояние до МЦС:
(нет проскальзывания и точка с нулевой скоростью
v
AP A .
B
совпадает с точкой контакта колеса и неподвижной
A
B
A
vA
поверхностью качения).
vA
vA
Расстояние AP откладываем в сторону дуговой
C
.
2) Определяем угловую скорость:
стрелки угловой скорости. Дуговую стрелку
C
AP
vC угловой скорости изображаем вокруг МЦС.
vC
P
P
Дуговая стрелка угловой скорости направлена
в сторону вектора линейной скорости vA.
3) Соединяем точки B и C с МЦС и определяем скорости этих точек:
v B BP ;
vC CP.
3) Соединяем точки B и C с МЦС и определяем скорости этих точек:
Векторы линейных скоростей vB и vC направлены
в сторону дуговой стрелки угловой скорости.
v B BP ;
vC CP.
Векторы линейных скоростей vB и vC направлены
в сторону дуговой стрелки угловой скорости.
Дано: vA, vB, положения точек A, B, C.
Дано: vA, траектория точки B, положения точек A, B, C.
4
Найти: vC
Найти: vC,
1)
МЦС находится на пересечении перпендикуляров
1)
МЦС находится на пересечении перпендикуляров
vA
к
векторам
v
,v
,
к
вектору
vA и касательной к траектории точки B.
A
B
A
v
B
A A
vA
vB
B
v
2) Определяем угловую скорость:
.
2) Определяем угловую скорость:
3
vB
C
P
vC
AP
BP
Дуговая стрелка угловой скорости направлена
в сторону векторов линейных скоростей vA ,vB.
C
A
AP
.
vC Дуговая стрелка угловой скорости направлена
в сторону векторов линейной скорости vA .
3) Соединяем точку C с МЦС и определяем скорость
P
этой точки:
v CP.
3) Соединяем точку C с МЦС и определяем скорость
этой точки:
v CP.
Вектор линейной скорости vC направлен
в сторону дуговой стрелки угловой скорости.
Вектор линейной скорости vC направлен
в сторону дуговой стрелки угловой скорости.
C
C
13

16. Лекция 5 (продолжение 5.2)

Примеры использования МЦС для определения скоростей точек плоской фигуры
5
B vB
Дано: vA, vB, vA║vB, положения точек A, B, C.
Найти: vC
1) МЦС находится на пересечении перпендикуляров
A
v A к векторам vA и vB. Эта точка находится в бесконечности.
C
2) Угловая скорость обращается в нуль (мгновенно
поступательное движение):
vC
Дано: vA, vB, vA║vB, положения точек A, B, C.
Найти: vC
6
vC
3) Скорость точки C равна геометрически скоростям точек
A и B:
v v v .
C
A
B
Дано: vоA,сложении
vB, vA║vB, ускорений
положения точек
A, B, C. любой точки
7 Теорема
– Ускорение
Найти: vC
плоской фигуры равна геометрической сумме ускорения полюса
1) МЦС
находится
на пересечении перпендикуляров
и ускорения этой точки
вокруг
полюса.
к
векторам
v
и
v
.
Эти перпендикуляры сливаются
v
A
B
A
vCСкорости
точек
A и B связаны между собой соотношением:
A
в одну линию.
v
v
A
P
vC CP.
v2)
v A vBA положение
v A rAB
.
B
Определяем
МЦС
AB
Дуговую стрелку угловой скорости изображаем
в сторону векторов линейных скоростей vA ,vB.
3) Соединяем точку C с МЦС и определяем скорость этой точки:
Вектор скорости точки C направлен параллельно векторам
скоростей точек A и B (в ту же сторону).
vB
B
C
v A vB
0.
1) МЦС находится на пересечении перпендикуляров
к векторам vA и vB. Эти перпендикуляры сливаются
в одну линию.
v
v
2) Определяем положение МЦС A B
AP BP
(проводим линию через концы
векторов vA и vB) и угловую
v vB
A
.
скорость:
vA
A
B
AP BP
(проводим
линию через
концы
CПродифференцируем
это соотношение
по времени:
P
v vB
векторов vA и vB) и угловую
A
.
d
v
d
v
d
v
d
B
B
A
BA
AB
vB
скорость:
a A ( rAB ).
dt Дуговую
dt
dt
dt скорости изображаем
стрелку угловой
в сторону векторов
линейных скоростей
vA ,vB.
Второе слагаемое дифференцируем
как произведение
двух функций:
3) Соединяем
точку Cd
с МЦС и определяем
скорость этой точки:
dr
d
( rAB )
rAB AB rAB v BA .
Вектор линейнойdt
скорости vC направлен
dt
vC CP. dt
в сторону дуговой стрелки угловой скорости.
Получили сумму вращательного и осестремительного ускорений
рассматриваемой точки относительно полюса. Таким образом,
Пример
использования
МЦС при исследовании работы
ускорение
точки
плоской фигуры:
кривошипно-шатунного механизма – См. решение задачи М.16.28
вр
ос
“Теоретическая механика
и задачах.
Кинематика” (электронное
a B вaпримерах
A a BA a BA a A a BA .
пособие автора www.miit.ru/institut/ipss/faculties/trm/main.htm ),
Вектор линейной скорости vC направлен
в сторону дуговой стрелки угловой скорости.
Следствие – Концы векторов ускорений точек плоской
фигуры, лежащих на одной прямой, также лежат на одной
прямой и делят ее на отрезки, пропорциональные расстояниям
между точками.
Концы векторов ускорений точек aBA и aСA
a CA b
лежат на одной прямой Abc и делят ее на
aC отрезки пропорциональные расстояниям
между точками:
a BA a
a 2 4 AB,
BA
A
aCA 2 4 AC.
aB
C
B
aA
aA
aA
Концы векторов ускорений полюса A,
изображенных в точках B и C, лежат
также лежат на одной прямой.
Нетрудно доказать из подобия треугольников, что концы векторов
суммарных ускорений точек B и C также лежат на одной прямой,
и делят эту прямую на части, пропорциональные расстояниям
между точками.
14

17. Лекция 5 (продолжение 5.3)

Мгновенный центр ускорений (МЦУ) – При движении плоской фигуры в каждый момент времени существует точка, жестко
связанная с плоской фигурой, ускорение которого в этот момент равна нулю.
a PA
A
Пусть известно ускорение одной из точек фигуры, угловая скорость и угловое ускорение вокруг этой точки:
Q
aA
Запишем векторное соотношение для ускорения некоторой точки Q согласно теоремы о сложении ускорений:
aQ a A rAQ vQA a A a PA .
Тогда получаем:
aA
Угол между вектором полного ускорения точки
при вращении относительно центра равен:
aQA a A .
arctg
a Q 0.
Зададим значение ускорения этой точки Q равной нулю:
.
2
Т.е. ускорение искомой точки при вращении вокруг полюса должно
быть равно по модулю ускорению точки A, параллельно этому
ускорению и направлено в противоположную сторону.
a
A
Это позволяет найти положение МЦУ (точки Q), а именно: МЦУ должен находиться прямой, составляющей AQ
.
2
угол к вектору ускорения точки A, проведенной в сторону углового ускорения, на расстоянии:
4
Если положение МЦУ найдено, ускорение любой точки плоской фигуры может быть легко определено посредством выбора полюса в
МСУ . В этом случае векторное выражение теоремы о сложении ускорений вырождается в известную зависимость полного ускорения от
расстояния до центра вращения:
2
4
aB aQ rQB vBQ aBQ ;
(aQ 0);
aB BQ ;
aC aQ rQC vCQ aCQ ;
(aQ 0);
aC 2 4 CQ;
Таким образом, при определении ускорений точек плоской фигуры в данный момент времени
можно считать, что тело совершает вращательное движение вокруг МЦУ.
Внимание: На самом деле в данный момент тело вращается вокруг МЦС,
положение которого в общем случае не совпадает с положением МЦУ.
Примеры использования МЦУ для определения ускорений точек плоской фигуры
1
Дано: aA, , , положения точек A, B.
Найти: aB
arctg
.
1)
МЦУ
находится
на
прямой
,
составляющей
угол
2
к вектору ускорения точки A, проведенной в сторону
углового ускорения, на расстоянии:
aA
Q
AQ
.
2
4
A
2) Соединяем точку B с МЦУ
aA
aB и определяем ускорение этой точки:
B
a 2 4 QB.
B
Q
B
aB
aC
C
aA
Если = 0 и 0, то = 0 и AQ 2 .
Ускорения всех точек
будут направлены в точку Q (МЦУ).
a
Если 0 и = 0, то = 90о и AQ A .
Ускорения всех точек
будут перпендикулярны отрезкам, соединяющим
точки с МЦУ, и направлены в сторону углового
ускорения.
15

18. Лекция 5 (продолжение 5.4)

Примеры использования МЦУ для определения ускорений точек плоской фигуры
Дано: aA, aB, положения точек A, B, C.
Использование МЦУ связано с геометрическим построениями и
Найти: aC
решениями косоугольных треугольников, что не совсем удобно
1) Запишем теорему о сложении ускорений
в общем случае. Можно решить эту задачу алгебраически
и найдем ускорение точки B во вращении вокруг
aA A
с помощью проекций:
полюса A:
a
a
a
.
1) Запишем теорему о сложении
B
A
BA
B
y
a
ускорений для точек B и A:
a
C
A
A
2) Определим угол между вектором aBA и прямой
C
вр
ос
B
AB и направление дуговой стрелки углового ускорения:
a BA
a B a A a BA
a BA
.
ос
ос
a
a
BA
CA
3) МЦУ находится на пересечении прямых, повернутых
aB
и изобразим компоненты ускорений:
C
на угол от векторов ускорений точек A и B в сторону
Q
вр 2) Спроецируем уравнение на
вр
aCA
дуговой стрелки углового ускорения:
a B a BA
координатные оси:
x
4) Соединяем точку C с МЦУ и определяем ускорение
этой точки из одного из соотношений:
вр
вр
ос
ос
a
aA
a
a Bx a Ax a BAx
a BAx
a Ax AB cos( a BA
, x) 2 AB cos( a BA
, x),
и направляем вектор ускорения под
B C .
вр
вр
ос
ос
AQ BQ CQ
углом к отрезку QC в сторону
a By a Ay a BAy
a BAy
a Ay AB cos( a BA
, y ) 2 AB cos( a BA
, y ).
дуговой стрелки углового ускорения.
3) Из этих уравнений можно найти угловые скорость и ускорение.
2
aA
4) Запишем теорему о сложении ускорений для точек С и A:
вр
ос
и изобразим компоненты ускорений:
aC a A aCA
aCA
.
5) Спроецируем уравнение на
координатные оси:
вр
вр
ос
ос
aCx aCx aCAx
aCAx
aCx AC cos( aCA
, x) 2 AC cos( aCA
, x),
вр
вр
ос
ос
aCy aCy aCAy
aCAy
aCy AC cos( aCA
, y ) 2 AC cos( aCA
, y ).
Пример решения – См. задачу М.18.13 “Теоретическая механика
в примерах и задачах. Кинематика” (электронное пособие автора
www.miit.ru/institut/ipss/faculties/trm/main.htm ),
16

19. Лекция 6

Сферическое движение твердого тела – одна из точек тела остается неподвижной во время движения. Остальные точки движутся по
сферическим поверхностям, центры которых совпадают с неподвижной точкой.
Углы Эйлера – используются для описания сферического движения твердого тела посредством ввода двух системы координат:
Oxyz – неподвижная система координат с началом в неподвижной точке,
O - подвижная система координат, жестко связанная с телом, с началом в той же точке.
Положение подвижной системы координат может быть однозначно задано тремя углами:
1)
- угол поворота системы O вокруг оси z – угол прецессии;
z
2)
θ
θ – угол поворота системы O вокруг нового положения горизонтальной оси x (OJ) – угол нутации;
3)
φ - угол поворота системы O вокруг нового положения вертикальной оси z (O ) – угол собственного
вращения.
(t );
Уравнения сферического движения твердого тела:
y
Теорема Эйлера – Твердое тело, имеющее одну неподвижную точку, можно переместить
из одного положения в другое одним поворотом вокруг некоторой оси, проходящей через эту точку.
O
x
J
Рассмотрим дугу большого круга AB, находящейся на сферической поверхности.
Дуга большого круга – дуга наименьшей кривизны на поверхности (часть окружности,
полученной сечением плоскости, проходящей через центр). Далее будет
подразумеваться, что все дуги есть дуги большого круга.
O1
φ
Пусть AB переместилась в положение A1B1. Проведем дуги AA1 и ВB1.
Из середин С и D дуг AA1 и ВB1 проведем дуги, перпендикулярные к дугам AA1 и ВB1.
A
O
Точка пересечения дуг CO1 и DO1 является неподвижной и определяет положение оси
вращения. Эту точку соединим дугами с концами дуг AA1 и ВB1.
B
D
C
A1
(t );
(t ).
B1
Полученные криволинейные треугольники AO1B и A1O1B1 равны по равенству сторон и
углы AO1B = A1O1B1.
Если к каждому из этих углов добавить один и тот же BO1A1, то полученные углы
AO1A1 и BO1B1 будут также равны между собой и будут являться углом поворота всех
точек тела вокруг оси OO1.
Точки A и B при перемещении в положение A1, B1, в общем случае движутся не обязательно по дугам большого круга. За малый промежуток
времени t переход точек из одного положения в другое происходит поворотом тела вокруг некоторой оси вращения на угол φ. При
устремлении t 0 ось вращения занимает предельное положение и называется мгновенной осью вращения тела в данный момент.
17

20. Лекция 6 (продолжение 6.2)

Угловая скорость сферического движения твердого тела – вектор,
направленный вдоль мгновенной оси вращения, модуль которого равен:
Δt lim 0
Δ d
.
Δt
dt
Угловое ускорение сферического движения твердого тела – характеризует изменение вектора
угловой скорости:
t
;
Δ
- среднее угловое ускорение
ср
в интервале времени t,
t1 t Δt 1 Δ ;
Δt
Δ
Скорость точки твердого тела при сферическом движении – определяется как вращательная скорость
Ω
вокруг мгновенной оси: v r
Проекции скоростей
(формулы Эйлера):
v x ( y z z y );
v y ( z x x z );
v z ( x y y x).
i
j
v r x
x
y
y
1
O
d
Угловое ускорение
E в момент
E времени t:
перпендикуляра,
Δt lim 0
опущенного
.
Модуль вращательного ускорения равен: aвр h , где hE – длина
Δt
dt
на ось мгновенного ускорения E.
Вектор угловой скорости с началом в неподвижной точке при движении тела изменяется
Вектор вращательного ускорения направлен перпендикулярно радиусу вращения (hE) в сторону дуговой стрелки
dr
подобно радиусу-вектору точки, движущейся в пространстве по некоторой траектории.
v
углового ускорения.
dt
Вектор скорости этой точки направлен по касательной
к траектории
и определяется выражением:
Ω
2
Ω
Модуль осестремительного ускорения равен: aос h , где h – длина перпендикуляра, опущенного
Траектория конца вектора угловой скорости с началом в неподвижной точке при движении тела
на мгновенную ось вращения .
описывает кривую, называемую годографом вектора угловой скорости.
Вектор осестремительного ускорения направлен по радиусу вращения (h ) к мгновенной оси вращения.
Сравнивая выражения для вектора углового ускорения тела и вектора скорости точки можно установить, что
E 2
Ω 2
E Ω
Ω
Модультела
полного
ускорения равно
равен:линейной
a (aскорости
2aвр
aoc
cos( aврEскорости.
, aoc
)
угловое ускорение
геометрически
конца
вектора
угловой
вр ) (a
oc )
Прямая, по которой направлен вектор углового ускорения, называется осью мгновенного углового ускорения (E).
v r sin( , v ) h .
( y z z y )i
z ( z x x z ) j
z
( x y y x)k
u
d
.
dt
O
E
z
h
v
k
Проекции скоростей на подвижные оси , , имеют аналогичный вид.
ср
a врE r
O
h
Ω
Ω
aос
E
E
y
x
v x ( y z z y ) 0; z y;
Мгновенная ось вращения в данное мгновение – геометрическое место точек
y
z
с нулевой скоростью.
v y ( z x x z ) 0; x z;
x
y
x
Уравнение мгновенной оси получается приравниванием проекций скоростей нулю:
z
x
.
v
(
y
x
)
0
.
Ускорение точки твердого тела при сферическом движении:
z
x
y
x y y x. x y z
dv d
d
dr
a
( r )
r
r v aврE aосΩ . - Ускорение точки равно геометрической сумме
dt dt
dt
dt
вращательного ускорения относительно оси мгновенного
Ω
a aврE aос
aврE r
Ω
aoc
( r )
углового ускорения (E) и осестремительного ускорения
относительно мгновенной оси вращения ( ).
18

21. Лекция 6 (продолжение 6.3)

Общий случай движения твердого тела – Положение тела в пространстве однозначно определяется положением трех его точек, не
лежащих на одной прямой. По трем точкам можно построить треугольник, который и будет далее представлять тело в пространстве.
Разложение движения свободного твердого тела – Как и в случае плоского движения существует бесчисленное множество способов
представления движения свободного тела в виде совокупности двух, более простых движений. Например, можно перевести тело из
исходного положение, обозначенное треугольником ABC, в другое положение, соответствующее треугольнику A1B1C1, поступательным
перемещением в положение A1B’C’, а затем поворотом его вокруг некоторой оси, проходящей через точку, выбранной в качестве полюса,
например, точку A1:
Или, напротив, вначале повернуть треугольник ABC вокруг некоторой
оси, проходящей через точку, выбранной в качестве полюса, например,
C1
C1
точку A, чтобы стороны треугольника ABC стали параллельными
C’
A1
сторонам треугольника A1B1C1, а затем перевести треугольник AB’C
поступательным движением в положение A1B1C1:
B1
B1
A1
A
A
B’
Таким образом, движение свободного тела можно представить как
C’
совокупность поступательного движения и сферического движения
C
C
вокруг некоторой точки, принадлежащей телу, выбранной в качестве
B’
полюса:
B
B
Уравнения движения z
свободного тела:
Скорость точки свободного тела – Скорость любой точки тела
θ
равна геометрической сумме скорости полюса и скорости этой точки
x A x A (t ); (t );
в ее сферическом движении вокруг полюса.
Радиусы-векторы точек A и B связаны между
собой соотношением:
B
z
rAB
rB
rA
O
x
h
z A z A (t );
Продифференцируем это соотношение:
v B Второе слагаемое есть скорость точки B
во сферическом движении вокруг полюса A:
vvAA
Ω
vAB
(t ) (t ) rAB (t );
vBA
A
rB (t ) rA (t ) rAB (t ).
y A y A (t );
y
rAB const.
Ω
vB v A vBA
v A rAB .
(t );
(t ).
drB (t ) drA (t ) drAB (t )
.
dt
dt
dt
A
В дополнение к этим двум следствиям
изyтеоремы о сложении
z
y
A
x
A
A
вытекает третье следствие:O
точек свободного
тела, φ
лежащих на прямой,
Ω
vBA
(t )
vСкорости
v
(t
)
B (t )
A
параллельной мгновенной оси, геометрически равны.
Справедливость утвержденияJследует из равенства скоростей
x
этих точек во вращении
вокруг мгновенной оси.
Полученное соотношение полностью совпадает с теоремой о сложении скоростей для плоского движения. Разница состоит
лишь в том, что используется не центр вращения, а ось мгновенного вращения .
Отсюда имеют место и аналогично доказываются следствия о равенстве проекций скоростей точек на ось, проходящих
через эти точки, и о пропорциональности отрезков линии, проходящей через концы векторов скоростей.
19

22. Лекция 6 (продолжение 6.4)

Независимость векторов угловой скорости и углового ускорения от выбор полюса. Запишем теорему о сложении скоростей
для одной и тоже точки A с использованием различных полюсов O1 и O2:
v v r ; (a)
A
Свяжем между собой полюсы O1 и O2
радиусом-вектором r12 и выразим скорость
второго полюса через скорость первого:
2
1
A
vA
vO 1
r1
1
r2
vO 2
O1
1
O2
1
vO 2 vO1 1 r12 .
v A (vO1 1 r12 ) 2 r2 . (c)
Приравняем правые части (a) и (c), и учтем соотношение
между радиусами-векторами:
2
1
v A vO 2 2 r2 ; (b)
r1 r12 r2 ;
Подставим это выражение в формулу (b):
2
r12
O1
vO1 1 r1 vO1 1 (r1 r2 ) 2 r2 .
После некоторых сокращений и преобразований получаем: 1 r1 1 r1 1 r2 2 r2 .
E2
1 r2 2 r2 .
d 1 d 2 .
Продифференцируем
, 1
2
полученное равенство:
dt
dt
Итак, векторы угловой скорости и углового ускорения не зависят от выбора полюса. Выбор полюса влияет лишь на величину вектора
скорости поступательного движения при разложении движения свободного тела.
E1
Отсюда следует равенство угловых скоростей:
Ускорение точки свободного тела – Ускорение любой точки тела равна геометрической сумме ускорения полюса и ускорения
этой точки в ее сферическом движении вокруг полюса.
B
z
aA
O
Ω
aBA
h
hE
x
1 2 .
rAB
E
aBA
A
vB
Запишем теорему о сложении скоростей:
E
Продифференцируем это соотношение:
Или
vA
Ω
aB a A rAB vBA
.
E
aBA
Здесь вектор aA – ускорение полюса.
Второе слагаемое – вращательное ускорение точки B
в сферическом движении относительно полюса A.
Третье слагаемое – осестремительное ускорение точки B
в сферическом движении относительно полюса A.
vBA
y
vB vA rAB .
dvB dv A d
dv
d
dr
( rAB ) A
rAB AB .
dt
dt dt
dt
dt
dt
Ω
aBA
Ω
E
2 hΩ
a BA
h E aBA
Геометрическая сумма вращательного и осестремительного ускорений точки во сферическом движении
есть полное ускорение точки в сферическом движении вокруг полюса:
сф
E
Ω
aBA aBA aBA
Таким образом:
сф
a A aB aBA
.
20

23. Лекция 7

Сложное движение точки – такое движение, при котором точка участвует одновременно в двух или нескольких движениях.
Примеры сложного движения точки (тела): лодка, переплывающая реку; человек, идущий по движущемуся эскалатору; камень подвижной кулисы,
поршень качающегося цилиндра; шары центробежного регулятора Уатта.
Для описания сложного движения точки или для представления движения в виде сложного используются
неподвижная система отсчета O1 , связанная с каким-либо условно неподвижным телом, например, с Землей, и
подвижная система отсчета Oxyz, связанная с каким-либо движущимся телом.
Абсолютное движение ( a ) - движение точки, рассматриваемое относительно неподвижной системы
vr
a
отсчета. Относительное движение ( r ) - движение точки, рассматриваемое относительно подвижной
v
z
системы отсчета.
r
M
Переносное движение ( e ) - движение подвижной системы отсчета, рассматриваемое относительно
ve
неподвижной системы отсчета.
y
ωe
Абсолютная скорость (ускорение) точки va ( aa ) - скорость (ускорение) точки, вычисленная относительно
r z
неподвижной системы отсчета.
k j
e O x vO
Относительная скорость (ускорение) точки vr ( ar ) – скорость (ускорение) точки, вычисленная относительно
i y
подвижной системы отсчета.
Переносная скорость (ускорение) точки ve ( ae ) – скорость (ускорение) точки,
O
принадлежащей подвижной системе координат или твердому телу, с которым жестко связана подвижная
O1
система координат,
совпадающей с рассматриваемой движущейся точкой в данный момент времени и
x
вычисленная относительно неподвижной системы отсчета.
Теорема о сложении скоростей – абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей точки.
В любой момент времени справедливо соотношение:
O r O xi yj zk .
Продифференцируем это соотношение по времени имея в виду, орты i, j, k изменяют свое направление в общем случае движения
свободного тела, с которым связана подвижная система координат:
Здесь первое слагаемое (vO) - скорость полюса O;
следующие три – относительная скорость точки (vr).
d d O dr d O dx
dy
dz
di
dj
dk
i
j k x y z .
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
di
( e i );
dt
dj
Здесь
использована
векторная
формула
для
Таким
образом, с учетом
того,
что
( e j );
линейной
скорости
точки относительно
оси вращения:
производная
по времени
радиуса-вектора
a dt r
v v v e.
есть абсолютная скорость, получаем:
dr d
dk
( e r ).
( e k ).
2
2
Модуль вектора
dt
dt
v a v r v e 2 v r dt
v e sin( v r , v e ) .
Для последних трех слагаемых следует определить
производные по времени от ортов i, j, k:
абсолютной скорости:
vO
vr
Подставим векторные
произведения
в последние три слагаемые:
x( e i ) y( e j ) z ( e k )
e ( xi yj zk ) e r .
Сумма первого и последнего слагаемого
– скорость точки свободного тела есть
v e vO e r .
переносная скорость точки (ve):
21

24. Лекция 7 (продолжение 7.2)

■
Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса) – абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме относительного,
переносного и кориолисова ускорений точки.
d d O
di
dj
dk
x i y j z k x y z
.
Было получено ранее соотношение для скорости:
dt
dt
dt
dt
d O
di
dj
dk
di
dj
dk
d 2i
d2 j
d 2k
Продифференцируем это соотношение d
x i y j z k x y z
x y z
x 2 y 2 z 2 .
по времени еще раз:
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt 2
dt 2
dt
dt
dt
2
dt
2
Здесь первое слагаемое (aO) - ускорение полюса O;
следующие три – относительное ускорение точки (ar).
Для последних трех слагаемых
следует определить вторые
производные по времени
от ортов подвижной системы
координат i, j, k:
В оставшихся шести
слагаемых сложим
одинаковые члены,
подставим векторные
произведения для первых
производных по времени от
ортов и сгруппируем:
aO
ar
d e
d 2i d
( e i )
i e ( e i );
2
dt
dt
dt
d e
d2 j d
( e j )
j e ( e j );
2
dt
dt
dt
d e
d 2k d
( e k )
k e ( e k ).
2
dt
dt
dt
ac
Подставим эти выражения
в последние три слагаемые
и сгруппируем:
Сумма первого и полученных
двух слагаемых – ускорение
точки свободного тела есть
переносное
ускорение точки (ae):
a e aO e r e ( e r ).
di
dj
dk
2 x y z 2 x ( e i ) y ( e j ) z ( e k ) 2( e v r ).
dt
dt
dt
Таким образом, с учетом того, что вторая производная по времени
радиуса-вектора есть абсолютное ускорение, получаем:
a a a r a e a c.
■
Величина и направление ускорения Кориолиса:
Модуль вектора кориолисова ускорения:
a c 2 e v r sin( e , v r ).
Ускорение Кориолиса обращается в ноль
в двух случаях:
1.
Угловая скорость переносного движения равна 0 (поступательное
переносное движение).
2.
Вектор угловой скорости параллелен вектору относительной
скорости (синус угла между векторами обращается в 0).
d e
xi e ( e xi )
dt
d e
yj e ( e yj )
dt
d e
zk e ( e zk )
dt
e r e ( e r ).
Полученная компонента ускорения
представляет собой кориолисово
ускорение (ac):
c
r
Направление вектора
кориолисова ускорения:
Определяется по одному
из трех правил:
1.
По определению векторного
произведения (см. л.3.2).
2.
По правилу правой руки (см. л.3.2).
3.
По правилу Жуковского:
a 2( e v ).
vr
e
e
v1 r
б)
Повернуть проекцию вектора относительной скорости
a)
Спроецировать вектор относительной скорости
на плоскость, перпендикулярную вектору угловой скорости. на прямой угол в сторону дуговой стрелки угловой скорости.
ac
22

25. Лекция 7 (продолжение 7.3)

■
Причины возникновения ускорения Кориолиса: Формально ускорение Кориолиса было выведено группировкой слагаемых произведений,
содержащих проекции относительной скорости и производные по времени от ортов подвижной системы координат. При этом ранее было получено
удвоенное число таких слагаемых.
Для прояснения физических причин возникновения ускорения Кориолиса рассмотрим качественный пример, в котором специально будем
полагать постоянными вектор относительной скорости (в подвижной системе координат) и вектор угловой переносной скорости (вращения
подвижной системы координат относительно неподвижной оси):
Пусть в некоторый момент времени положение точки и вектора относительной и переносной скоростей таковы, как они изображены н
рисунке (вид сверху):
ve
vr
ve
vr
ωe
ωe
Через некоторое время точка удалится от оси вращения и тело повернется
на некоторый угол.
В результате:
1)
относительная скорость изменится по направлению из-за наличия
переносной угловой скорости и
2)
переносная линейная скорость изменится по величине из-за
наличия относительной скорости, изменяющей расстояние точки до
оси вращения.
Таким образом, можно считать что существует две причины возникновения
ускорения Кориолиса:
1) переносная угловая скорость влияет на относительную скорость, a
2) относительная скорость в свою очередь влияет на переносную линейную скорость.
Возможно, это поможет запомнить коэффициент, равный двум, в формуле,
определяющей ускорение Кориолиса.
c
r
■
Примеры определения направления ускорения Кориолиса
удобно рассмотреть для случаев различного положения движущихся
точек по поверхности Земли, вращающейся относительно своей оси:
a 2( e v ).
vr
vr
ac
ac
a
vr
c
vr
vr
e
23

26. Лекция 8

■
Сложное движение твердого тела – такое движение, при котором тело участвует одновременно в двух или нескольких движениях.
Все определения, касающиеся составляющих движения, данные для сложного движения точки, остаются справедливыми для твердых тел.
Кинематика сложного движения точки используется здесь для получения новых соотношений, описывающих сложное движение твердого тела.
■
Сложение поступательных движений твердого тела – При поступательных движениях все точки твердого тела имеют одинаковые
скорости, что позволяет использовать теорему о сложении скоростей точки для сложного движения:
v a v r v e.
Таким образом, абсолютная скорость тела, равная скорости одной из точек этого тела,
равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей этого тела.
■
Сложение вращательных движений твердого тела – здесь рассмотрим два случая различного положения осей вращения:
оси вращений параллельны и оси вращений пересекаются.
■
Оси вращений параллельны – диск вращается относительно своей оси, проходящей через точку O1, с угловой скоростью r, ось диска
движется по круговой траектории вокруг оси, проходящей через неподвижную точку O, с угловой скоростью e:
vOe1 vOa1
v Ke
e
v Aa
K
O
O1
v Ar
v Kr
A
e
a
r
vA vA vA.
Задачу определения скоростей любой из точек диска можно упростить, если найти положение
мгновенного центра вращения (точку, скорость которой в данный момент равна нулю):
v Ae
r
a
Произвольная точка A, принадлежащая диску, совершает сложное движение (движется по круговой
траектории в подвижной плоскости, жестко связанной с кривошипом OO1) и абсолютная скорость
этой точки определяется выражением:
a
r
e
v Ka v Kr v Ke 0.
Отсюда:
Это означает, что точка K лежит на отрезке
прямой OO1 и делит его на части, обратно
пропорциональные угловым скоростям:
v Ke v Kr .
e OK r O1 K
vKe v Kr ,
e O1 K
r OK
Для определения абсолютной угловой скорости рассмотрим точку O1, которая не участвует в
относительном
движении, угловая
и определим
ее скорость
Таким
образом, абсолютная
скорость
равна дважды (в переносном движении и в
абсолютном движении).
Эти скорости должны
быть одинаковы: v e v a ,
геометрической
сумме относительной
и переносной
e OO1 a KO1 .
O1
O1
угловых скоростей.
Представим
OOмежду
отрезков
и отрезок OK выразим через O1K:
1, как сумму
Имеется
полнаяотрезок
аналогия
сложением
векторов
Ω
Ω
r
a
угловых скоростей и сложением
двух параллельных сил.
r
Ωe
(OK KO1 )
KO1 KO1 ) ( приложена
a e r .
Отсюда:
e ( равнодействующая
r e ) KO1 a KO1 .
При eсложении таких
сил
e
в вращений
точке, делящей
между силами
наOO
отрезки,
В случае противоположных по направлению
можнорасстояние
показать, деление
отрезка
1будет происходить так же обратно пропорционально
обратно
пропорциональные
силам.
угловым скоростям, но только внешним образом (точка K будет лежать на этой же линии вне отрезка OO со стороны большего вектора угловой
скорости). Тогда:
OO1 KO1 KO и абсолютная угловая скорость будет равна разности скоростей:
Оба соотношения можно объединить одним векторным соотношением:
a e r .
1
a e r .
24

27. Лекция 8 (продолжение 8.2)

■
Пара вращений – При сложении двух параллельных сил, равных по величине и противоположно направленных между собой
равнодействующая этих сил обращается в ноль (система таких сил не приводится к равнодействующей) и эти силы образуют качественно
новую простейшую систему, называемой парой сил. При этом действие пары сил характеризуется моментом пары.
Совершенно аналогично при сложении двух параллельных векторов угловых скоростей, равных по величине и противоположно направленных
между собой, называемых парой вращений, результирующая угловая скорость обращается в ноль. В результате получается поступательное
движение, скорость которого определяется величиной момента пары вращений:
v m( , )
r
e
v
v
e
d
■
r
v d
Таким образом, два вращения с угловыми скоростями, равными
по величине и противоположными по направлению, могут быть
заменены одним поступательным движением.
Точно также возможна и обратная процедура – представление
поступательного движения в виде пары вращений.
Вектор скорости поступательного движения твердого тела является
свободным вектором (может перемещаться параллельно самому себе)
в то время как векторы угловой скорости являются скользящими
векторами, которые могут перемещаться только по линии действия.
Сложение вращательных движений твердого тела
в случае пересечения осей вращений – тело вращается с угловой скоростью r относительно своей оси, проходящей через точку
пересечения с другой осью вращения O. Относительно второй оси первая ось вращается с угловой скоростью e:
a
r
Поскольку точка пересечения осей вращения имеет нулевую скорость, то принимая ее за неподвижную точку
в пространстве, вычислим скорость произвольной точки M по теореме о сложении скоростей:
e
O
vMa vMr vMe ( r r ) ( e r ) ( r e ) r .
r
Векторная сумма угловых скоростей, полученная в скобках, представляет собой результирующую угловую
скорость, определяющую единственное вращение тела вокруг некоторой мгновенной оси (см. сферическое
движение), которая может рассматриваться как абсолютная угловая скорость: v a ( ) r r .
M
e
M
r
r
e
a
Таким образом, абсолютная угловая скорость равна геометрической сумме относительной и переносной
угловых скоростей :
a e r .
Ωe
Ωa
Ωr
При сложении вращательных движений более двух результирующий вектор угловой скорости равен
геометрической сумме векторов всех угловых скоростей, участвующих в сложном движении:
i .
25

28. Лекция 8 (продолжение 8.3)

■
Сложение поступательного и вращательного движения твердого тела – пусть тело участвует во вращательном движении с угловой
скоростью ω и поступательном движении со скоростью v. Угол между векторами угловой скорости и поступательной скорости произвольный.
v
Разложим вектор скорости поступательного движения на два взаимно перпендикулярных
*
вектора так, чтобы один совпал с вектором угловой скорости:
*
1
v v v1 .
v
v*
*
Вектор скорости v1 представим в виде пары вращений
с угловыми скоростями, равными заданной угловой скорости
вращательного движения:
v1 m( 1 , 1 ),
A
O
v1
v v cos ;
v1 v sin .
Расстояние OA находится
v
v sin
из равенства скорости
OA 1
.
моменту пары вращений:
1 .
Вектор оставшейся поступательной скорости v* , как свободный вектор перенесем в точку A, а два вектора
угловых скоростей, изображенные в точке O, можно удалить, поскольку они равны по величине, направлены
по одной прямой в противоположные стороны:
1 ( ) 0
Таким образом, получили вращение с заданной угловой скоростью ω вокруг оси, проходящей через точку A,
и поступательное движение со скоростью v*. Такая комбинация более не может быть упрощена и представляет
собой кинематический винт, реализующий винтовое движение твердого тела. Ось, проходящая через точку A,
вдоль которой направлен вектор угловой скорости, называется мгновенной винтовой осью.
1
■
Скорость точки твердого тела при винтовом движении – пусть тело участвует во вращательном движении с угловой скоростью ω1 ,
которое примем за относительное движение, и поступательном движении со скоростью v*, которое примем за переносное движение.
v
*
v r 1 r .
v e v *.
Абсолютная скорость точки M:
v a v e v r v * 1 r .
Точка M движется по спиральной траектории делая один оборот за время T:
T
2
1
v a (v * ) 2 ( 1h ) 2 .
.
За время T точка М перемещается по направлению переносной скорости на величину h (шаг винта): h v T v
*
M
1 h
Отношение поступательной скорости с угловой скорости
является характеристикой винтового движения и
называется параметром винта:
v*
r
A
p
v*
1
.
С использованием параметра
винта шаг винта:
Модуль абсолютной скорости точки M с использованием параметра винта:
* 2
1
.
h 2 p.
v a ( 1 p) 2 ( 1h ) 2 1 p 2 h 2 .
В частном случае, при =900 (вектор поступательной скорости перпендикулярен вектору угловой скорости)
движение приводится к одному вращению вокруг оси, проходящей через точку A:
*
v v cos 0.
26

29. Лекция 8 (продолжение 8.4)

■
Общий случай сложного движения твердого тела – пусть тело участвует в n вращательных движениях и m поступательных движениях.
Выберем полюс A и приложим в этой точке вектора угловых скоростей:
v1
n'
vA
1
*
'
2
v2
1'
( 2 , 2'' );
( n , n'' )
A
v 2 m ( 2 , 2'' )
v3
''
nn'''')
' n ,
v
n 1 m
('
2
n
( 1 , 1'' );
.............
v1 m ( 1 , 1'' )
2
Получили совокупность
пар вращений
Каждую пару вращений можно
заменить одним поступательным
движением:
''
v j m( j , j )
и совокупность
векторов угловых скоростей,
пересекающихся
в одной точке.
Совокупность вращений можно
заменить одним вращением:
1' 1 ; 1'' 1 ;
2' 2 ; 2'' 2 ;
....................................
n' n ; n'' n .
n
n
1
1
* i' i .
Всю совокупность поступательных движений можно
заменить сложением одним поступательным движением:
Получаем в общем случае одно вращение с угловой скоростью ω*
вокруг оси, проходящей через полюс A, и поступательное движение со
скоростью vA( A – точка приведения), что приводит к кинематическому
винту, рассмотренному выше.
Угловая скорость ω* не зависит от выбора полюса и это есть первый (векторный) инвариант:
n
m
n
m
1
1
1
1
v A vi v j vi m( j , j'' ).
n
* i J 1 .
1
Скорость поступательного движения зависит от выбора полюса, но существует скалярная величина, связанная с поступательной
Итак, угловые
скорости
в кинематике
складываются
так же,
как силы вскоростей,
статике (эти
векторы являются
скользящими
векторами).
скоростью,
инвариантная
к выбору
полюса.
Запишем теорему
о сложении
связывающую
линейные
(поступательные)
Поступательные
скорости
в кинематике
складываются
так же, как моменты пар в статике (эти векторы являются свободными
скорости,
вычисленные
относительно
различных
точек приведения:
vM v A r .
векторами).
Умножим
обе части
равенства скалярно
вектор
скорости:
Все способы
преобразования
сил инапар
сил угловой
в статике
подобныvпреобразованиям
r ) . твердого тела в кинематике.
M v A ( скоростей
И в статике, и в кинематике при приведении системы в общем случае получается статический винт (динама), и соответственно
Второе
слагаемое ввинт.
правой
равнотак
нулю,
т.к. вращательная
скорость
кинематический
Какчасти
в статике,
и в кинематике
существуют
соответствующие инвариантные величины (помечены
перпендикулярна
вектору
угловой
скорости.
Следовательно,
скалярные
звездочками) и их производные (главный минимальный момент и минимальная поступательная
v вр 0скорость).
произведения векторов поступательных скоростей, вычисленных для различных
точек приведения, и вектора угловой скорости равны:
- второй (скалярный) инвариант.
vM v A J 2
Раскрывая скалярные произведения получаем: vM cos(vM , ) v A cos(v A , ),
откуда:
v M cos(v M , ) v A cos(v A , ) v * - минимальная поступательная скорость.
27