Симуляції фазових переходів

1. Л.16 Симуляції фазових переходів

Фазові переходи: рідина-пар, парамагнетик-феромагнетик, безладпорядок у бінарних сплавах, кристалізація, рідина-скло, ......
Проблеми комп’ютерного моделювання ФП:
розміри системи, похибка у визначенні температури ФП
Критичні показники (для магнетиків):
Спонтанна намагніченість
M ~| T Tc |
Намагніченість як функція поля h
при T=Tc
Сприйнятливість
M ~| h |1/
~ (T Tc )
Питома теплоємність при h=0
C ~ (T Tc )
скінчені

2. Критичні показники

Кореляційна відстань
~ (T Tc )
Структурний фактор S(k), k->0
S (k ) ~ const / k 2
Співвідношення між критичними показниками
(1 )
2
(1 ) 0
(1 ) 2

3. Модель Ізінга

Ізінг, Ленц, 1925 – одномірна модель (відсутній ФП)
H J si s j h si
i , j
1
si
1
i
if
M si
i
Завдання: порахувати
намагніченість M як функцію
температури.
Температура є зовнішнім
параметром !!!
if
Сума по найближчих
сусідах

4. Алгоритм Метрополіса для моделі Ізінга

w e
E ( stN ) E ( snN )
k BT
1.
Випадково вибирається частинка на 2- чи 3-мірній гратці,
розраховується її енергія взаємодії з найбдижчими сусідами
2.
Перевернути спін даної частинки та розрахувати нову
N
енергію пробної конфігурації E ( st )
3. Прийняти переворот спіна з ймовірністю
w( sn st ) min[1, e
E ( stN ) E ( snN )
k BT
]

5. Найпростіша реалізація методу Монте-Карло

PROGRAM MC_ISING_2D
DIMENSION SPIN(32,32)
CALL INITIAL(SPIN,E)
DO ISTEP=1,MAX_STEP
CALL METROPOLIS(SPIN,T,E,M)
CALL DATA(E,M,RESULTS)
ENDDO
CALL SAVE_OUTPUT(SPIN,RESULTS)
STOP
END

6. Найпростіша реалізація методу Монте-Карло

SUBROUTINE METROPOLIS(SPIN,T,E,M)
DIMENSION NEIGHB(4,4)
IPX=INT(RANF()*32)+1
IPY=INT(RANF()*32)+1
SPIN(IPX,IPY)=-SPIN(IPX,IPY)
CALL PBC(NEIGHB)
CALL ENERGY(SPIN,NEIGHB,ENEW)
IF(RANF().LT.EXP(-(ENEW-E)/(BK*T)) THEN
E=ENEW
! ACCEPT
CALL MAGNETIZATION(SPIN,M)
ELSE
SPIN(IPX,IPY)=-SPIN(IPX,IPX)
! REJECT
ENDIF
RETURN
END

7. Розмірні ефекти

Теплоємність
Сприйнятливість
Залежність теплоємності
від числа вузлів у 2-мірній
гратці LxL. Суцільна лінія
– границя безмежної гратки
1
C
( E 2 E 2 )
k BT
1
( M 2 M 2 )
k BT

8. Розмірні ефекти

Проблема визначення
температури ФП:
Tc ( L) Tc ( L ) ~ L 1/
Кореляційна довжина
(T ) ~ L ~| T Tc |
Відповідно, всі результати МК на скінченій гратці
будуть мати поведінку:
M (T ) ~ (Tc T ) L /
C (T ) ~| T Tc | L /
(T ) ~| T Tc | L /

9. Розмірні ефекти

Статистичні усереднення будуть давати добрі результати, якщо
система буде достатньо велика і конфігурації будуть
статистично незалежні. Однак, в симуляціях на скінчених
гратках залишається певна кореляція. Для її оцінки можна
використати функції:
FM ( Nstep ) M ( Nstep )M (0) M 2
FE ( Nstep ) E( Nstep ) E(0) E
2
Якщо при N-му кроці така кореляція прямує до нуля, то для
визначення середніх потрібно брати конфігурації через
кожних N кроків

10. Симуляції в зовнішньому полі

H J si s j h si
i , j
i
Напрям зовнішнього поля визначає напрям намагніченості
1. Необхідно починати з рівноважної конфігурації для h=0
2. Провести серію МК симуляцій для проміжних значень h
hn 1 hn h
Зовнішнє поле розмиває криву намагніченості і приводить до
ФП першого роду