Similar presentations:
Линейная алгебра. Матрицы
1. Матрицы
Линейная алгебра2. Матрица
Прямоугольная таблица чисел илисимволов, их заменяющих, из m строк
(или n столбцов) одинаковой длины
3.
Матрица размера m×nАm×n=(aij)
i =1..m
j =1..n
Элемент
матрицы
4. Главная диагональ
Элементы матрицы, у которых номерстроки равен номеру столбца
5. Равные матрицы
Матрицы называются равными, еслиравны все соответствующие элементы
этих матриц
А=В
i j aij = bij
6. Квадратная матрица
Матрица, число строк которой равночислу столбцов
Количество строк =
= количество столбцов = n
Квадратная матрица n-го порядка
7. Диагональная матрица
Квадратная матрица, у которой всеэлементы, кроме элементов главной
диагонали, равны нулю
8. Нулевая матрица
Матрица, все элементы которой равнынулю
9. Единичная матрица
Диагональная матрица, каждыйэлемент главной диагонали равен
единице
10. Треугольная матрица
Квадратная матрица, у которой всеэлементы, расположенные по одну
сторону от главной диагонали, равны
нулю
11. Вектор
Матрица, состоящая из одного столбца(вектор-столбец) или одной строки
(вектор- строка)
12. Операции над матрицами
ОПЕРАЦИИ НАДМАТРИЦАМИ
13. Транспонирование
Меняем местами строки и столбцы14. Пример
15. Сложение матриц
Матрицы одного размера!!!16. Пример
17. Умножение матрицы на число
Получаем матрицу того же размера,что и исходная
18. Пример
19. Умножение матриц
Количество столбцов в первойматрице равно количеству строк во
второй
20. Умножение матриц
СТРОКА НА СТОЛБЕЦ21. Пример
22. Задача
Найти линейную комбинацию матриц-3A +4 B
23. Элементарные преобразования матриц
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕПРЕОБРАЗОВАНИЯ
МАТРИЦ
24.
Элементарные преобразованияматриц =
эквивалентные преобразования
матриц
А~В
25. Перестановка местами двух строк (столбцов) матрицы
26. Умножение всех элементов строки (столбца) на число ≠ 0
27. Прибавление ко всем элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же
число28.
К первой строке прибавим вторую,умноженную на 10
29. Свойства операций над матрицами
СВОЙСТВАОПЕРАЦИЙ НАД
МАТРИЦАМИ
30. 1. Коммутативность
А+В=В+АОперация умножения матриц не
является коммутативной
А×В≠В ×А
31. 2. Ассоциативность
(А + В) + С = А + (В + С) ==А+В+С
(А × В) × С = А × (В × С) =
=А×В×С
32. 3. Дистрибутивность
(А + В) = А + В( + )А = А + А
( )А = ( А)
А × (В+С) = А ×В + А ×С
(А + В) × С = А ×С + В ×С
(А × В) = ( А) × В
33. 4.Наличие нейтрального элемента
А+О=О+А=АА×Е=Е×А=А
1 ×А = А
34. 5. Для операции транспонирования
(А +Т
В)
Т
=А
+
Т
В
(А × В)Т=ВТ × АТ
35. Канонический вид матрицы
Матрица имеет канонический вид,если у неё в начале главной диагонали
идут единицы, а все остальные
элементы равны нулю
36.
Любую матрицу с помощьюэквивалентных
преобразований можно
привести к каноническому
виду
37. Ранг матрицы
Количестволинейно независимых
строк (столбцов) матрицы
rang
(A) или r(A)
38. Свойства ранга матрицы
1. При транспонировании матрицы еёранг не меняется
2. Если вычеркнуть из матрицы
нулевую строку (нулевой столбец), то
её ранг не изменится
3. Ранг матрицы не изменяется при
элементарных преобразованиях
матрицы
39. Ранг канонической матрицы
= количеству единиц наглавной диагонали
40. След квадратной матрицы
Сумма её диагональных элементов41. Симметричная матрица
Квадратная матрица, у которойi j aij = aji