Многократное рассеяние волн

1. Многократное рассеяние волн

Будак Владимир Павлович,
Национальный исследовательский
университет «МЭИ»
кафедра светотехники
: +7 (495) 763-5239
[email protected]

2. Волны в случайно-неоднородных средах

• случайное изменение показателя
преломления – турбулентность;
• рассеяние на дискретных частицах,
внедренных в объем среды.
(r ) 0 1 (r ) , 1,
2
k
0 , (r ) 0
U (r) k 2U (r) (r)k 2U (r) g (r)
g(r) – функция источников
Не существует методов решения волнового уравнения с
коэффициентами, зависящими от координат

3. Функция Грина

Предполагая статистическую независимость g(r) и ε(r) можно
перейти к функции Грина G(r,r'):
U (r ) g (r )G (r , r )d 3r
G(r , r) k 2G(r , r) (r)k 2G(r , r) (r r )
Полученное уравнение можно решать, используя функцию
Грина свободного пространства G0(r,r'):
G (r0 , r ) G0 (r0 , r ) k 2 G0 (r0 , r ) (r )G (r , r )d 3r
ik r r
G0 (r0 , r ) k 2G0 (r0 , r ) (r r0 )
0
e
G0 (r0 , r )
4 r r0
Поле G(r,r') является случайной функцией, статистически
связанной с флуктуациями среды

4. Среднее поле

напрямую усреднение уравнения не представляется возможным
из-за неопределенности корреляции поле-среда: G(r , r) (r )
Представим решение в виде ряда Neumann:
G (r, r ) G0 (r0 , r ) k 2 G0 (r0 , r ) (r )G0 (r , r ) d 3r
k 4 G0 (r0 , r1 ) (r1 )G0 (r1 , r2 ) (r2 )G0 (r2 , r ) d 3r1d 3r2
(r1 ,
, rN ) (r1 )
(r1 )
(r2 k )
(rN )
по всем
парам
(r1 )
(r 1 ) (r 2 )
(r2k 1 ) 0
(r 2 k 1 ) (r 2 k )
что позволяет усреднить полученное волновое уравнение

5. Уравнение для среднего поля

G (r0 , r ) G0 (r0 , r ) k 4 G0 (r0 , r1 )G0 (r1 , r2 )G0 (r2 , r ) (r1 , r2 ) d 3r1d 3r2
k 8 G0 (r0 , r1 )G0 (r1 , r2 )G (r2 , r3 )G0 (r3 , r4 )G0 (r4 , r )
(r1 , r2 ) (r3 , r4 ) (r1 , r3 ) (r2 , r4 )
(r1 , r4 ) (r2 , r3 ) d 3 r1d 3r2 d 3r3d 3r4
где G(r0 , r) G(r0 , r)
Ряд состоит из нескольких групп подобных членов, однако их
приведение представляет значительный аналитические трудности
Эффективный прием анализа подобных рядов, основан на
геометрическом изображении членов ряда

6. Диаграммы Feynmann

k4ψε(ri,rj)
G0(ri,rj)
ri
rj
ri
‹G(ri,rj)›
rj
ri
rj
=
+
+
+
+
+ …
Отберем из ряда все сильно связанные диаграммы. Поскольку все
они начинаются и заканчиваются линией G0, то сумму всех
сильно связанных диаграмм можно обозначить
G (сильных)(r0 , r ) G0 (r, r )Q(r , r )G0 (r , r ) d 3r d 3r
Q(r , r ) k 4G0 (r , r ) (r , r ) k 8 G0 (r , r1 )G0 (r1 , r2 )G0 (r2 , r ) (r1 , r2 ) (r2 , r ) d 3r1d 3r2
Диаграммы, получаемые из слабосвязанной при разрыве линии
G0, могут оказаться так же сильно и слабо связанными

7. Уравнение Dyson

Рассмотрим теперь все диаграммы с показателем связанности 2:
=
+
+
=
+…
+
G (r0 , r ) G0 (r0 , r ) G0 (r0 , r1 )Q(r1 , r2 )G(r2 , r ) d 3r1d 3r2
Q(r1, r2) - ядро массового оператора

8. Оператор Dyson

Удобно представить уравнение Dyson в форме близкой волновому
уравнению - подействуем на обе части уравнения оператором
(Δ+k2) и учтем
( k 2 )G0 (r0 , r ) (r r0 )
( k 2 )G (r0 , r ) (r0 r ) (r0 r1 )Q(r1 , r2 )G(r2 , r) d 3r1d 3r2
( k 2 )G (r0 , r ) Q(r0 , r )G (r , r )d 3r (r0 r )
D k 2 d 3r Q (r0 , r ), DG (r0 , r ) (r r0 )
Для определения распространения сигнала оптического приемника
необходимо знать функцию распространения корреляцию поля

9. Уравнение Bethe-Salpeter

(r1 , r2 ) G (r0 , r1 )G* (r0 , r2 )
G (r0 , r1 )G* (r0 , r2 ) G (r0 , r1 )G* (r0 , r2 ) K (r1 , r2 ; r1 , r2 ) (r1 , r2 ) d 3r1 d 3r2 d 3r1 d 3 r2
Подействуем дважды на уравнение Bethe-Salpeter оператором
Dyson D1 и D2 и вычтем из первого второе:
D1 D2 (r1 , r2 ) G* (r2 , r) K (r1 , r; r1 , r2 ) G(r1, r) K (r, r2 ; r1 , r2 ) (r1 , r2 ) d 3rd 3r1 d 3r2
1 2 (r1 , r2 ) Q(r1 , r) (r, r2 ) Q* (r2 , r) (r1, r) d 3r
*
3
3
3
G
(
r
,
r
)
K
(
r
,
r
;
r
,
r
)
G
(
r
,
r
)
K
(
r
,
r
;
r
,
r
)
(
r
,
r
)
d
rd
r
d
r2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
Получить решение уравнения Bethe-Salpeter
в общем случае не удается

10. Лучевое приближение

1.
( R , )
R (R, ) - квазиоднородность поля;
2.
( R , )
Q(R, ) , K ( R, ) - приближение ГО;
3.
Q ( R , )
R Q(R, ) аналогично для K - локализация ядер,
1
R (r1 r2 ), r1 r2
2
1. одногрупповые – соответствуют одной однородности, быстро
убывают с ростом ρ;
2. многогрупповые – относятся к различным неоднородностям,
связаны волновым облучением, убывают медленно с ростом ρ
Эффективные неоднородности, внутри когерентное распространение (Fresnel), а друг друга облучают в зоне Fraunhofer

11. Решение уравнение Dyson для квазиоднородного поля

G (r r0 ) k 2G (r r0 ) Q(r r1 )G (r1 r0 )d 3r1 0
k k Q(kэф ) 0 kэф k 1
2
эф
2
ik
r r
Q(kэф )
k
2
k
Q(kэф )
k
,
Q
k
1
ik r r
e эф 0
e 1 0 k2 r r0
G(r0 , r)
e
4 r r0 4 r r0
k1 = Rekэф > k - увеличение волнового пути, что эквивалентно
увеличению волнового числа.
k2 = Imkэф > 0 - уменьшение среднего поля или перекачка энергии
из когерентной компоненты поля в некогерентное
Предположим, что среднее поле квазиоднородно: G (r0 , r1 ) G (r1 r0 )

12. Локализация ядер

r1 r2 r1 r2
Q(r, r1 ) Q(r r1 ), K (r1 , r2 ; r1 , r2 ) K
, r1 r2 , r1 r2
2
2
1
1
R, , r1 R , r1 R ; 1 2 2 R
2
2
2 R (R, ) Q 12 (R 12 r ), R 12 r 12 (R 12 r ), R 12 r
Q* 12 (R 12 r ), R 12 r 12 (R 12 r ), R 12 r d 3r
*
G
(R 12 r) K 12 (R 12 r) R , R 12 r,
G * (R 12 r ) K 12 (R 12 r ) R , R 12 r, (R , ) d 3rd 3 R d 3
Проведем почленную замену переменных

13. Замена переменных

1. R 12 r r R 12 , d 3r d 3 , Q R 12 12 , R 12 ,
2. R 12 r r R 12 , d 3r d 3 , Q* R 12 12 , R 12 ,
3. R 12 r r R 12 , d 3r d 3 , G* K R 12 R ,
4. R 12 r r R 12 , d 3r d 3 , G* K R 12 R ,
2 R (R, ) Q R 12 ), Q* R 12 ), R 12 , d 3
G* ( ) G ( ) K R 12 R , , (R , )d 3 d 3 R d 3 .
Q R 12 ), Q R, , R 12 , ,
3
3
1
K
R
R
,
,
(
R
,
)
d
R
(
R
,
)
K
R
R
,
,
d
R
2
(R, ) K R, , .
2 R (R, ) Q R, Q* R, R, d 3
G* ( ) G ( ) K R, , (R, )d 3 d 3 .
Последнее уравнение подобно уравнению распространения
когерентности в свободном пространстве

14. Уравнение переноса излучения (УПИ)

I (R, ) (R, ) e i d 3 , ( R, , ) K ( R, , ) e i ( ) d 3 d 3
( k1 )
3
2i ( , R ) I (R, ) I ( R, )2i Im Q R, i
(
R
,
)
I
(
R
,
)
d
2
k1
0.5ik1k2
( k1 )
*
i
2
G
(
)
G
(
)
e
d
i
k k
k12
3 (k12 k22 2 ) 2 4k12 k22 1 2
1
ˆ
ˆ
I (R, ) 2 L(R, l ) ( k1 ), l
k1
( R )
ˆ
ˆ
ˆ
ˆl , ˆl ) L(R, ˆl )dˆl Q(R, ˆl )
(l , ) L(R, l ) (R)L(R, l )
x
(
4
УПИ является следствие уравнений Maxwell в лучевом
приближении