Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. (Семинар 35)

1. Презентация по Математическому Анализу Семинар 35

2.

Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
Уравнение в полных дифференциалах
Если для дифференциального уравнения
тождество
P Q
y
x
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0
(1) выполнено
, то уравнение (1) может быть записано в виде dU(x,y)=0
и называется уравнением в полных дифференциалах.
Общий интеграл уравнения (1) есть U(x, y)=C.
Функция U(x, y) определяется по формуле:
U
x
y
x0
y0
P( x, y )dx Q( x , y )dy
0
Интегрирующий множитель
Если левая часть уравнения (1) е является полным дифференциалом и выполнены
условия теоремы Коши, то существует функция
( x, y )
множитель) такая, что
( Pdx Qdy ) dU
(2)
(интегрирующий

3.

Отсюда получаем, что функция
( x, y ) удовлетворяет уравнению
( P)
( Q)
y
x
Интегрирующий множитель
( x, y ) легко находится в двух случаях:
1)
1 P Q
F ( x) ( x);
Q y
x
2)
1 P Q
F1 ( y ) ( y );
P y x
Примеры с решениями:
1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения:
(3x 2 6 xy2 )dx (6 x 2 y 4 y 3 )dy 0
Решение.
Это уравнение в полных дифференциалах, так как
(3x 2 6 xy 2 ) (6 x 2 y 4 y 3 )
12 xy
y
x
и, следовательно, уравнение имеет вид dU=0

4.

Здесь
U
U
3x 2 6 xy 2 ;
6x 2 y 4 y 3 ;
x
y
отсюда
U (3x 2 6 xy 2 )dx ( y ) x 3 3x 2 y 2 ( y )
Дифференцируя U по y, найдем
U
6 x 2 y ' ( y) 6 x 2 y 4 y 3
y
(по условию);
отсюда
' ( y) 4 y 3 ( y) y 4 C0
Окончательно получаем
U ( x) x 3 3x 2 y 2 y 4 C 0
Следовательно,
x 3 3x 2 y 2 y 4 C
есть искомый общий интеграл данного уравнения.

5.

2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения:
(e x y sin y)dx (e y x x cos y)dy 0
Решение.
Здесь
P ( x, y ) e x y sin y; Q( x, y ) e y x x cos y
P
Q
1 cos y
1 cos y
y
x
Следовательно, левая часть уравнения есть полный дифференциал некоторой функции
U(x,y),
то есть
Проинтегрируем
U
U
e x y sin y;
e y x x cos y
x
y
U
x
По x: U (e x y sin y )dx C ( y ) e x xy x sin y C ( y )
Найдем функцию C(y), продифференцировав последнее выражение по y:
U
x x cos y C ' ( y )
y

6.

Получаем уравнение: x x cos y C ' ( y) x x cos x e y
откуда находим
C ' ( y) e y C ( y) e y
Таким образом, общий интеграл уравнения имеет вид
e x xy x sin y e y C
3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
( x y 1)dx (e y x)dy 0
Решение.
Здесь
P( x, y) x y 1; Q( x, y) e y x;
Таким образом,
P
Q
1
1
y
x
условие полного дифференциала выполнено, т.е. данное
уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
x
Найдем общий интеграл по формуле
y
P( x, y)dx Q( x
x0
y0
0
, y )dy C

7.

Взяв x0 0; y 0 0 , получим
x
y
1 2
y
(
x
y
1
)
dx
e
dy
C
x
xy
x
e
1
0
0
2
0
x
y
y
0
C1
Подставляя пределы, находим
1 2
1
x xy x e y 1 C1 e y x 2 xy x C , C C1 1
2
2
4. Решить уравнение
y3
2
2 xy x y
dx ( x 2 y 2 )dy 0
3
Решение. Здесь
y3
1 P Q 2 x x 2 y 2 2 x
2
2
P( x, y) 2 xy x y ; Q( x, y) x y ;
1 ( x)
3
Q y x
x2 y2
2
Так как
( P) ( Q)
P
d
Q
d 1 P Q
dx dx ln x e x
Q
y
x
y
dx
x
Q y x

8.

Умножая уравнение на
ex
получим:
y3
2
dx e x ( x 2 y 2 )dy 0
e 2 xy x y
3
x
уравнение в полных дифференциалах. Проинтегрировав его, будем иметь общий
интеграл
2
y3
ye
x 3
C
x
Примеры для самостоятельного решения
1. Решить уравнения
a) ( x sin y )dx ( x cos y sin y)dx 0
b) ( y e x sin y)dx ( x e x cos y)dy 0
c) ( xy sin y )dx (0,5 x 2 x cos y )dy 0
d) ( x 2 sin y)dx (1 x cos y)dy 0
e) ye x dx ( y e x )dy 0
f)
(arcsin x 2 xy)dx ( x 2 1 arctgy)dy 0

9.

2. Проинтегрировать следующие уравнения, имеющие интегрирующий множитель,
зависящий только от x или только от y:
a)
ydx xdy ln xdx 0; ( ( x))
b) ( x 2 cos x y)dx xdy 0; ( ( x))
c) ydx ( x y 2 )dy 0; ( ( y))
d) y 1 y 2 dx ( x 1 y 2 y )dy 0; ( ( y ))