Уравнение Бернулли. Дифференциальное уравнение в полных дифференциалах. (Лекция 18)

1. Презентация по Математическому Анализу Лекция 18

2.

Уравнение Бернулли. Дифференциальное
уравнение в полных дифференциалах. Линейные
дифференциальные уравнения 2-го порядка с
постоянными коэффициентами.

3.

Уравнение Бернулли.
Так называется уравнение
(15)
где
(при m = 0 уравнение линейно, при m = 1 - с разделяющимися переменными).
Это уравнение решается одним из следующих способов:
1. Уравнение Бернулли сводится к линейному подстановкой z = y1-m
быть потеряно решение y = 0).
Действительно,
(15) на
ym получим
- линейное уравнение.
,
(при m>1 может
; после деления уравнения
, или

4.

Пример:
(уравнение Бернулли, m = 2).
Подстановка:
Решаем полученное линейное уравнение:

5.

2. Можно сразу решать уравнение Бернулли методом, которым решаются линейные
уравнения, т.е. заменой
y(x) = u(x) v(x):
из этого выражения находим
u(x),
и y(x) = u(x) v(x).

6.

Пример:
решить задачу Коши
Как и в предыдущем примере, это уравнение не попадает ни под один из
рассмотренных
типов:
оно
не
является
переменными (наличие суммы x2 + y
ни
уравнением
с
разделяющимися
), ни уравнением с однородной правой частью
(слагаемые разных порядков - первого и второго в этой сумме), ни линейным, ни
Бернулли (другая структура).
Попробуем опять представим это уравнение как уравнение относительно x = x(y):
Это уже уравнение Бернулли с m = -1.
Начальное условие примет вид x(1) = 2.

7.

Решаем уравнение:
Тогда:
Это общее решение уравнения (утерянное решение y = 0 не удовлетворяет
начальному условию).
Ищем частное решение, удовлетворяющее начальному условию:
Решение задачи Коши:

8.

9. Уравнение в полных дифференциалах.
Так называется уравнение вида:
P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0.
(16)
(P(x, y), Q(x, y) - непрерывно дифференцируемы) в случае, если его левая часть является
полным дифференциалом некоторой функции u(x, y), т.е. если существует такая функция
u(x, y), что
Необходимым и достаточным условием существования такой функции является условие:
Если (16) - уравнение в полных дифференциалах, то его правая часть равна
т.е. (16) принимает вид du(x, y) = 0.

9.

На решении y(x) получим du(x, y(x)) = 0, следовательно, u(x, y(x)) = C, где C - произвольная
постоянная. Соотношение u(x, y) = C и есть общее решение уравнения в полных
дифференциалах.
Для нахождения функции u(x, y) решается система уравнений
Из первого уравнения этой системы находим
произвольной дифференцируемой по y функции
с точностью до
(эта функция играет роль
постоянной интегрирования; так как интегрирование ведётся по переменной x); затем
из второго уравнения определяется
.

10.

Пример:
найти общее решение уравнения
Убедимся, что это - уравнение в полных дифференциалах.
Здесь:
т.е. это действительно уравнение рассматриваемого типа.
Ищем функцию u(x, y) такую, что

11.

Из первого уравнения:
Дифференцируем эту функцию по y и приравниваем выражению, стоящему во втором
уравнении системы:
Если мы правильно решаем это уравнение (т.е. правильно определили его тип и
правильно выполнили предыдущие действия), то в полученном уравнении для
должны остаться только члены, зависящие от y.

12.

Действительно, представляя
как
Следовательно,
и общее решение уравнения имеет вид:
, получим:

13.

10. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными
коэффициентами.
1. Однородное уравнение.
Линейное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами p и q без
правой части имеют вид
y’’+py’+qy=0 (1).
Если k1 ,k 2 - корни характеристического уравнения
(k ) k 2 pk q 0 (2),
то общее решение уравнения (1) записывается в одном из следующих трех видов:
1. y C1e k1x C 2 e k2 x , если k1 , k 2 R, k1 k 2
2. y e k1x (C1 C2 x) , если k1 k 2
3. y e x (C1 cos x C2 sin x) , если k1 i, k 2 i, ( 0)

14.

2. Неоднородное уравнение
Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения
y’’+py’+qy=f(x) (3) можно записать в виде суммы
y y0 Y
, где
y0
- общее
решение соответствующего уравнения (1) без правой части, определяемое по формулам
(1)-(3), и Y – частное решение данного уравнения (3).
Функция Y может быть найдена методом неопределенных коэффициентов в
следующих простейших случаях:
ax
1. f ( x) e Pn ( x)
, где Pn (x)
- многочлен степени n.
Если a не является корнем характеристического уравнения (2), т.е.
полагают
(a ) 0 , то
Y e ax Qn (x) , где Qn (x-) многочлен степени n с неопределенными
коэффициентами.
Если а есть корень характеристического уравнения (2), т.е. (a ) 0 , то Y x e Qn (x)
r ax
где r – кратность корня а (r=1 или r=2)

15.

2.
f ( x) e ax [ Pn ( x) cos bx Qm ( x) sin bx] . Если
(a bi ) 0
, то полагают
Y e ax [ S N ( x) cos bx TN ( x) sin bx] , где S N ( x), TN ( x) - многочлены степени
N=max{n,m}.
Если же (a bi ) 0 то полагают
Y x r e ax [ S N ( x) cos bx TN ( x) sin bx]
где S N ( x), TN ( x) - многочлены степени
N=max{n,m}, r – кратность корней a bi
(для уравнений 2-го порядка r=1).
В общем случае для решения уравнения (3) применяется метод вариации
произвольных постоянных.
Этот
метод
применяется
для
отыскания
частного
решения
линейного
неоднородного уравнения n-го порядка как с переменными, так и с постоянными
коэффициентами, если известно общее решение соответствующего однородного
уравнения.

16.

Метод вариации для уравнения второго порядка y’’+py’+qy=f(x) заключается в
следующем.
Пусть известна фундаментальная система решений
y1 , y2
.
Тогда общее решение неоднородного уравнения следует искать в виде
y C1 ( x) y1 C2 ( x) y2
, где функции C1 ( x), C2 ( x) определяются из системы уравнений
C1' ( x) y1 C 2' ( x) y 2 0
'
C1 ( x) y1' C 2' ( x) y 2' f ( x)

17.

Решение этой системы находим по формулам:
C1 ( x)
y 2 f ( x)dx
y f ( x)dx
; C 2 ( x) 1
W ( y1 , y 2 )
W ( y1 , y 2 )
в силу чего y(x) можно сразу определить по формуле:
y( x) y1
здесь
W ( y1 , y 2 )
y 2 f ( x)dx
y f ( x)dx
y2 1
W ( y1 , y 2 )
W ( y1 , y 2 )
- вронскиан решений
y1 , y2

18.

Рассмотрим решения линейных однородных и неоднородных уравнений 2-го
порядка с постоянными коэффициентами:
1. Найти общее решение уравнения
y’’-7y’+6y=0
Решение.
Составим характеристическое уравнение
k 2 7k 6 0 ; его корни k1 6; k 2 1
Следовательно,
e6 x , e x
- частные линейно независимые решения, а общее решение имеет вид
y C1e 6 x C2 e x
2. Найти общее решение уравнения
Решение.
y’’-2y’+y=0
2
Составим характеристическое уравнение k 2k 1 0 ; его корни
k1 k 2 1
Следовательно,
e x , xe x - частные линейно независимые решения, а общее решение имеет
y e x (C1 C2 x)

19.

3. Найти общее решение уравнения
y’’-4y’+13y=0
Решение.
Составим характеристическое уравнение
k 2 4k 13 0 ; его корни k 2 3i
Корни характеристического уравнения комплексные сопряженные, а поэтому им
соответствуют частные решения
e 2 x cos 3x, e 2 x sin 3x , а общее решение имеет вид
y e 2 x (C1 cos 3x C2 sin 3x)
4. Найти общее решение уравнения
4x
y’’-2y’-3y= e
Решение.
Составим характеристическое уравнение
k 2 2k 3 0
; его корни k1 3; k 2 1
Следовательно,
e3x , e x
- частные линейно независимые решения, а общее решение однородного
уравнения имеет вид:
y C1e 3 x C2 e x

20.

Частное решение исходного уравнения следует искать в виде y Ae 4 x (так как в правой
части отсутствует синус и косинус, коэффициентом при показательной функции служит
многочлен нулевой степени, т. е. m=n=0 и r=0, поскольку
характеристического уравнения).
4x
3 y Ae
Итак 2 y ' 4 Ae 4 x
1 y ' ' 16 Ae 4 x
y' ' 2 y' 3 y 5 Ae 4 x e 4 x A 1 / 5
Следовательно, общее решение данного уравнения:
y C1e C 2 e
3x
x
1 4x
e
5
4
не является корнем

21.

5. Найти общее решение уравнения
y’’+y= 3sinx
Решение.
Характеристическое уравнение k 2 1 0 ; имеет корни k1, 2 i , а поэтому общее
решение однородного уравнения:
y C1 cos x C2 sin x
Частное решение следует искать в виде:
y x( A cos x B sin x)
(в данном случае так как i является простым корнем характеристического уравнения,
то m=n=0 и r=1, имеем:
1 y ( A cos x B sin x) x
Итак 0 y ' ( A sin x B cos x) x ( A cos x B sin x)
1 y ' ' 2( A sin x B cos x) ( A cos x B sin x) x
y' ' y 2 A sin x 2 B cos x 3 sin x A 3 / 2; B 0
Следовательно, общее решение данного уравнения
y C1 cos x C 2 sin x
4x
3
x sin 3x
2

22.

6. Найти общее решение уравнения
y’’+y=tgx
Решение.
Характеристическое уравнение
k 2 1 0 ; имеет корни k1, 2 i
а поэтому общее решение однородного уравнения:
y C1 cos x C2 sin x
Частное решение исходного уравнения методом неопределенных коэффициентов
искать нельзя (функция f(x), в отличие от предыдущего имеет другую структуру), а
поэтому воспользуемся методом вариации произвольных постоянных.
Будем искать решение уравнения в виде y C1 ( x) cos x C2 ( x) sin x , где функции
C1 ( x), C2 ( x) нужно искать из системы уравнений
C1' ( x) y1 C 2' ( x) y 2 0
C1' ( x) cos x C 2' ( x) sin x 0
sin 2 x '
'
'
C1 ( x)
; C 2 ( x) sin x
'
'
'
'
'
cos x
C1 ( x) y1 C 2 ( x) y 2 f ( x) C1 ( x) sin x C 2 ( x) cos x tgx
sin 2 x
x
C1 ( x)
dx A sin x ln tg A; C 2 cos x B
cos x
2 4

23.

Таким образом, общее решение исходного уравнения:
x
y A cos x B sin x cos x ln tg
2 2
4x