Решение систем линейных уравнений

1. Основные понятия

Рассмотрим систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными: a11x1 a12 x2 a13 x3
b1,
a21x1 a22 x2 a23 x3 b2 ,
a x a x a x b ,
31 1 32 2 33 3 3
где -
неизвестные,
- коэффициенты (
),
i
1
,
2
,
3
;
j
1
,
2
,
3
ij
- свободные члены.
x1 , x2 , x3
b1 , b2 , b3
a
Тройка чисел
называется решением системы трёх линейных уравнений с тремя
, 3 ) подстановке их в уравнения системы вместо
неизвестными,(
если
получают верные
1 , 2 при
числовые равенства.
x1, x2 , x3
Если система трёх линейных уравнений имеет хотя бы одно решение, то она называется
совместной.
Если система трёх линейных уравнений решений не имеет, то она называется несовместной.
Если система трёх линейных уравнений имеет единственное решение, то ее называют
определенной; если решений больше одного, то – неопределенной.
Если свободные члены всех уравнений системы равны нулю , то система называется
однородной, в противном случае – неоднородной.

2. Метод Крамера

Метод Крамера—способ решения квадратных
систем линейных алгебраических уравнений с
ненулевым определителем основной матрицы
(причём для таких уравнений решение существует и
единственно). Создан Габриэлем Крамером в 1751
году.

3. Метод Крамера

Пусть нам требуется решить систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными:
a11x1 a12 x2 a13 x3 b1,
a21x1 a22 x2 a23 x3 b2 ,
a x a x a x b ,
32 2
33 3
3
31 1
(1)
в которой определитель системы (он составлен из коэффициентов при неизвестных) ∆≠0, а
определители
получаются из определителя системы ∆ посредством замены
x , x , x
свободными членами элементов соответственно первого, второго и третьего столбцов.
1
a11 a12 a13
2
3
b1 a12 a13
a11 b1 a13
a11 a12 b1
a21 a22 a32 , x1 b2 a22 a32 , x2 a21 b2 a32 , x3 a21 a22 b2 .
a31 a32 b3
a31 (правило
a32 a33 Крамера).
b3 Если
a32 aопределитель
aсистемы
33
31 b3 a33
Теорема
∆≠0, то рассматриваемая
система (1) имеет одно и только одно решение, причём
x1
x1
, x2
x2
, x3
x3
.

4. Решите систему методом Крамера:

Решение:
1. Вычислим определитель системы:
2 x1 3 x2 x3 9,
x1 2 x2 x3 3,
x 2 x 2.
3
1
2 3 1
1 2 1 2 2 2 3 1 1 1 1 0 1 2 1 3 1 2 2 1 0 13.
2
Так 1как0 определитель
системы отличен от нуля, то система имеет
единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера.
2. Составим и вычислим необходимые определители :
9 3 1
x1 3 2 1 9 2 2 3 1 2 1 3 0 1 2 2 3 3 2 9 1 0 52,
2
x2
2
1
1
x3
0 2
9 1
3 1 2 3 2 9 1 1 1 1 2 1 3 1 9 1 2 2 1 2 0,
2
2 3
1 2
1
0
2
9
3 2 2 2 3 3 1 9 1 0 9 2 1 3 1 2 2 3 0 13.
2

5. Матричный метод (с помощью обратной матрицы)

Рассмотрим систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными:
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 ,
a21x1 a22 x2 a23 x3 b2 ,
a x a x a x b .
31 1 32 2 33 3 3
В матричной форме записи эта система уравнений имеет вид
a11 a12 a13
A a21 a22 a23 ;
a
31 a32 a33
A 0
x1
b1
X x2 ; B b2 .
x
b
3
3
, где
A X B
Пусть
. Тогда существует обратная матрица A 1. Если умножить обе части
1
равенства A на слева, то получим формулу для нахождения матрицы-столбца
неизвестных переменных, т.е.
A 1 A X A 1 B
или A X B .
Так мы получили решение системы трёх линейных уравнений с тремя
неизвестными матричным методом.
X A 1 B

6. Метод Гаусса

Ранее рассмотренный метод можно применять при решении только тех систем, в которых
число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен
быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем
с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных
из уравнений системы.
Вновь рассмотрим систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными:
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 ,
a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 ,
a x a x a x b .
31 1 32 2 33 3 3
Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые,
содержащие x1. Для этого второе уравнение разделим на а21 и умножим на –а11, а затем
сложим с 1-ым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на а31 и умножим на –
а11, а затем сложим с первым. В результате исходная система примет вид:
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 ,
x2 a23
x3 b2 ,
a22
x2 a33
x3 b3 .
a32

7. Метод Гаусса

Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x2. Для этого третье
уравнение разделим на a32 , умножим на a22 и сложим со вторым. Тогда будем иметь
систему уравнений:
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 ,
x2 a23
x3 b2 ,
a22
x3 b3 .
a33
Отсюда из последнего уравнения легко найти x3, затем из 2-го уравнения x2 и, наконец, из
1-го – x1.

8. Метод Гаусса

Метод Гаусса — классический метод решения системы линейных
алгебраических уравнений. Это метод последовательного исключения
переменных, когда с помощью элементарных преобразований система
уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного)
вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру)
переменных, находятся все остальные переменные.
Система т линейных уравнений с п неизвестными имеет вид:
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1
a 21 x1 a 22 x2 ... a 2 n xn b2
...............................................
a m1 x1 a m 2 x2 ... am n xn bn
x1 , x2, …, xn – неизвестные.
ai j - коэффициенты при неизвестных.
bi - свободные члены (или правые части)

9. Элементарные преобразования

К элементарным преобразованиям системы отнесем следующее:
1. перемена местами двух любых уравнений;
2. умножение обеих частей любого из уравнений на произвольное число, отличное от
нуля;
3. прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей
другого уравнения, умноженных на любое действительное число.

10. Общий случай

Для простоты рассмотрим метод Гаусса для системы трех линейных уравнений с
тремя неизвестными в случае, когда существует единственное решение:
Дана система:
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1
a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2
a x a x a x b
32 2
33 3
3
31 1
(1)
1-ый шаг метода Гаусса
На первом шаге исключим неизвестное х1 из всех уравнений системы (1), кроме
первого. Пусть коэффициент . Назовем его ведущим элементом. Разделим первое
уравнение системы (1) на а11. Получим уравнение:
a
b
где a a ; j 1,2,3 ; b a
Исключим х1 из второго и третьего уравнений системы (1). Для этого вычтем из них
уравнение (2), умноженное на коэффициент при х1 (соответственно а21 и а31).
Система примет вид: x a x a x b (2)
(1)
1j
1j
(1)
1
1
11
11
(1)
1
12
(1)
2
13
(1)
3
1
Верхний индекс (1) указывает, что речь идет о коэффициентах первой
преобразованной системы. x a x a x b
(3)
a x a x b
(1)
1
12
(1)
22
(1)
2
2
13
(1)
23
(1)
3
3
1
(1)
2
a32 x2 a33 x3 b3
(1)
(1)
(1)

11.

2-ой шаг метода Гаусса
На втором шаге исключим неизвестное х2 из третьего уравнения системы (3).
Пусть коэффициент . Выберем его за ведущий элемент и разделим на него второе
уравнение системы (3), получим уравнение:
x2 a23 x3 b2
( 2)
где
a23
( 2)
a23
a22
(1)
;
(1)
b2
( 2)
b2
( 2)
(4)
(1)
a22
(1)
Из третьего уравнения системы (3) вычтем уравнение (4), умноженное на
Получим уравнение: a x b
b
Предполагая, что a 0, находим x a b
( 2)
33
( 2)
3
3
( 2)
( 2)
33
3
3
3
( 2)
33
3
(1)
a33 .

12.

В результате преобразований система приняла вид:
x1 a12 (1) x 2 a13 (1) x3 b1 (1)
( 2)
( 2)
x 2 a 23 x3 b2
( 3)
x3 b3
(5)
Система вида (5) называется треугольной.
Процесс приведения системы (1) к треугольному виду (5) (шаги 1 и 2) называют
прямым ходом метода Гаусса.
Нахождение неизвестных из треугольной системы называют обратным ходом
метода Гаусса.
Для этого найденное значение х3 подставляют во второе уравнение системы (5) и
находят х2. Затем х2 и х3 подставляют в первое уравнение и находят х1.

13.

Если в ходе преобразований системы получается противоречивое
уравнение вида 0 = b, где b 0, то это означает, что система несовместна и
решений не имеет.
В случае совместной системы после преобразований по методу Гаусса,
составляющих прямой ход метода, система т линейных уравнений с п
неизвестными будет приведена или к треугольному или к ступенчатому виду.
Треугольная система имеет вид:
x c x ... a x d
Такая система имеет единственное
x ... a x d
................
решение, которое находится в
x d
результате проведения обратного хода метода Гаусса.
Ступенчатая система имеет вид:
x c x ... c x d
Такая система имеет бесчисленное
x ... c x d
множество решений.
.....................
1
12
2
2
1n
n
2n
1
n
2
n
1
12 2
2
1n n
2n n
n
1
2
xk ... ck n xn d k

14. Рассмотрим на примере

1. Покажем последовательность решения системы из трех уравнений методом Гаусса
2. Поделим первое уравнение на 2, затем вычтем его из второго (a21=1, поэтому
домножение не требуется) и из третьего, умножив предварительно на a31=3
3. Поделим второе уравнение полученной системы на 2, а затем вычтем его из третьего,
умножив предварительно на 4,5 (коэффициент при x2)
Тогда
x3=-42/(-14)=3;
x2=8-2x3=2
x1=8-0,5x2-2x3=1

15. Решите систему методом Гаусса:

2 x1 3 x2 x3 9,
x1 2 x2 x3 3,
x 2 x 2.
Решение:
3
1
1. Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, содержащие x1.
Для этого второе уравнение умножим на a11
, а затем сложим с 1-ым уравнением.
a21
2
Аналогично третье уравнение умножим на a11 2 , а затем сложим с первым.
В результате исходная система примет вид: a31
2 x1 3 x2 x3 9,
7 x2 3 x3 3,
3 xслагаемое,
2. Теперь из последнего уравнения исключим
2 5 x3 5.содержащее x2. Для этого третье
уравнение умножим на
, и сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений:
a22
7
a32
3
2 x1 3x2 x3 9,
7 x2 3x3 3,
2
2
8 x3 8 .
3
3

16. Решите систему методом Гаусса:

2 x1 3x2 x3 9,
x1 2 x2 x3 3,
x 2 x 2.
3
1
2 x1 3x2 x3 9,
x1 2 x2 x3 3,
3. На этом прямой ход метода Гаусса закончен, начинаем обратный ход.
x1 2 x3 2.
Из последнего уравнения полученной системы уравнений находим x3:
Решите систему методом Гаусса:
2
3 1.
x3
2
8
3
8
Из второго уравнения получаем:
x2
1
3 3x3 1 3 3 1 0 .
7
7
Из первого уравнения находим оставшуюся неизвестную переменную и этим завершаем
обратный ход метода Гаусса:
Ответ:
x1
x1 4, x2 0, x3 1.
1
9 3x2 x3 1 9 3 0 1 4 .
2
2