Методы решения системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными

1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ТРЁХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ТРЕМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ

2. Основные понятия

Общий вид системы линейных уравнений (СЛУ) с тремя неизвестными:
a11x1 a12 x2 a13 x3 b1 ,
a21x1 a22 x2 a23 x3 b2 ,
a x a x a x b ,
31 1 32 2 33 3 3
где -
x1 , x2 , x3 неизвестные переменные, aij - коэффициенты системы ( i 1,2,3; j 1,2,3 ),
b1 , b2 , b3 - правые части или свободные члены.
Тройка чисел ( 1 , 2 , 3 ) называется решением системы трёх линейных
уравнений с тремя неизвестными, если при подстановке их в уравнения
системы вместо x1, x2 , x3 получают верные числовые равенства.

3. Методы решения СЛУ с тремя неизвестными

1)Метод обратной матрицы
2) Метод Крамера

4. Метод обратной матрицы

Метод применим, когда число уравнений системы равно числу переменных и
определитель матрицы системы отличен от нуля
Рассмотрим систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными:
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 ,
a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 ,
a x a x a x b .
31 1 32 2 33 3 3
С этой системой будут ассоциироваться 3 матрицы:
a11 a12 a13
x1
b1
- матрица
коэффициентов
(она составлена из
A a21 a22 a23 ;коэффициентов
X x2 ; при
B неизвестных
b2 .
)
a
x3
b3
31 a32 a33
x1
b1
- матрица
столбец неизвестных (она составлена из
;
X
x
;
B
2
b2 .
x неизвестных
b входящих в СЛУ)
3
3
b1
; B b2 .- матрица столбец свободных членов (она составлена из
b элементов которые не умножаются на переменную)
3

5. Метод обратной матрицы

В матричной форме записи эта система уравнений имеет вид
a
a11 a13
a12 a13 x1 x1 x1b1 b1 b1
a11 a12
12
11
13
aA21
a
a
;
; . bB2 . b2 .
A Aa21
a
;
X
a
a
a
X2B ; xBb
23 X x;2 ; x
22 22
23
21 2322
2 2
a a
aa aa a x x xb b b
32
32
3331 3332
3 3 3 3 3 3
33
31 31
т.е
A X B
Пусть A 0 . Тогда существует обратная матрица A 1.
Так мы получили решение системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными
матричным методом.

6. Пример1: Решите СЛУ матричным способом

2 x1 3x2 x3 9,
x1 2 x2 x3 3,
x 2 x 2.
3
1
Решение:
1.
Перепишем систему уравнений в матричной форме:
A X B
Так как
2 3 1 x1 9
1
2
1
x2 3 .
1 0
2 x3 2
2 3 1
1 2 1 2 2 2 3 1 1 1 1 0 1 2 1 3 1 2 2 1 0 13 ,
1 0 2
то систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными можно решить матричным
методом. С помощью обратной матрицы решение этой системы может быть найдено как:
1
X A 1 B
x1 2 3 1 9
x 1 2 1 3 .
2
x 1 0 2 2
3

7. Решите систему матричным методом:

2.
Построим обратную матрицу A
элементов матрицы A :
1
2 x1 3x2 x3 9,
x1 2 x2 x3 3,
x 2 x 2.
3
1
с помощью матрицы из алгебраических дополнений
6
1
4
T
T
13
13
13
1
A11 A12 A13
4 1 2
4 6
1
1
1
1
5
3
1
A A21 A22 A23
6
5 3 1
5 3
,
A
13
13
13 13 13
1 3 7
2 3 7 2
A31 A32 A33
3
7
13 13 13
где
A11 1
1 1
2 1
1 2 1 1
1 3 1 2
4, A12 1
1, A13 1
2,
0 2
1 2
1 0
A21 1
3 1
6,
0 2
A22 1
A31 1
3 1
1,
2 1
A32 1
2 1
3 1
2 2
3 2
2 1
5,
1 2
A23 1
2 3
2 3
3,
1 0
2 1
2 3
3, A33 1 3 3
7.
1 1
1 2

8. Решите систему матричным методом:

3.
2 x1 3x2 x3 9,
x1 2 x2 x3 3,
x 2 x 2.
3
1
Осталось вычислить матрицу неизвестных переменных, умножив обратную матрицу
на матрицу-столбец свободных членов:
4
6
1
6
1
4
9 3 2
13
13
13 13 9 13
13
4
1
5
3
1
3
5
1
X A B
9 3 2 0 ,
3
13 13
13
13
13 13
2
1
2
3
7
2 9 3 3 7 2
13
13 13 13
13
13
x1 4
X x2 0 .
x 1
3
Ответ:
x1 4, x2 0, x3 1 .

9. Метод Крамера

Пусть нам требуется решить систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными:
a11x1 a12 x2 a13 x3 b1 ,
a21x1 a22 x2 a23 x3 b2 ,
a x a x a x b ,
32 2
33 3
3
31 1
(1)
в которой определитель системы (он составлен из коэффициентов при неизвестных) ∆≠0, а
определители x , x , x получаются из определителя системы ∆ посредством замены
свободными членами элементов соответственно первого, второго и третьего столбцов.
1
a11 a12 a13
2
3
b1 a12 a13
a11 b1 a13
a11 a12 b1
a21 a22 a32 , x1 b2 a22 a32 , x2 a21 b2 a32 , x3 a21 a22 b2 .
a31 a32 a33
b3 a32 a33
a31 a32 b3
a31 b3 a33
Теорема (правило Крамера). Если определитель системы ∆≠0, то рассматриваемая
система (1) имеет одно и только одно решение, причём
x1
x1
, x2
x2
, x3
x3
.

10. Решите систему методом Крамера:

2 x1 3x2 x3 9,
x1 2 x2 x3 3,
x 2 x 2.
3
1
Решение:
1.
Вычислим определитель системы:
2 3 1
1 2 1 2 2 2 3 1 1 1 1 0 1 2 1 3 1 2 2 1 0 13.
1 0 2
Так как определитель системы отличен от нуля, то система имеет
единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера.
2.
Составим и вычислим необходимые определители :
9 3 1
x1 3 2 1 9 2 2 3 1 2 1 3 0 1 2 2 3 3 2 9 1 0 52,
2 0 2
2
x2 1
1
9 1
3 1 2 3 2 9 1 1 1 1 2 1 3 1 9 1 2 2 1 2 0,
2 2
2 3
x3 1 2
1 0
9
3 2 2 2 3 3 1 9 1 0 9 2 1 3 1 2 2 3 0 13.
2

11. Решите систему методом Крамера:

3.
2 x1 3x2 x3 9,
x1 2 x2 x3 3,
x 2 x 2.
3
1
Находим неизвестные по формулам Крамера:
x1
x1
x1
x2
x3
, x2
x1
x2
x3
x2
, x3
x3
52
4,
13
0
0,
13
13
1.
13
Ответ: x1 4, x2 0, x3 1.
;