Методы решения системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными

1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ТРЁХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ТРЕМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ

2. Основные понятия

Рассмотрим систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными: a11x1 a12 x2 a13 x3
b1,
a21x1 a22 x2 a23 x3 b2 ,
a x a x a x b ,
31 1 32 2 33 3 3
где -
x1 , x2 , x3
неизвестные,
aij
- коэффициенты ( i 1,2,3; j 1,2,3 ),
b1 , b2 , b3 - свободные члены.
Тройка чисел ( 1 , 2 , 3 ) называется решением системы трёх линейных уравнений с тремя
неизвестными, если при подстановке их в уравнения системы вместо x1 , x2 , x3 получают верные
числовые равенства.
Если система трёх линейных уравнений имеет хотя бы одно решение, то она называется
совместной.
Если система трёх линейных уравнений решений не имеет, то она называется несовместной.
Если система трёх линейных уравнений имеет единственное решение, то ее называют
определенной; если решений больше одного, то – неопределенной.
Если свободные члены всех уравнений системы равны нулю , то система называется
однородной, в противном случае – неоднородной.

3. Метод Крамера

Пусть нам требуется решить систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными:
a11x1 a12 x2 a13 x3 b1,
a21x1 a22 x2 a23 x3 b2 ,
a x a x a x b ,
32 2
33 3
3
31 1
(1)
в которой определитель системы (он составлен из коэффициентов при неизвестных) ∆≠0, а
определители x , x , x получаются из определителя системы ∆ посредством замены
свободными членами элементов соответственно первого, второго и третьего столбцов.
1
a11 a12 a13
2
3
b1 a12 a13
a11 b1 a13
a11 a12 b1
a21 a22 a32 , x1 b2 a22 a32 , x2 a21 b2 a32 , x3 a21 a22 b2 .
a31 a32 b3
a31 a32 a33
b3 a32 a33
a31 b3 a33
Теорема (правило Крамера). Если определитель системы ∆≠0, то рассматриваемая
система (1) имеет одно и только одно решение, причём
x1
x1
, x2
x2
, x3
x3
.

4. Решите систему методом Крамера:

2 x1 3 x2 x3 9,
x1 2 x2 x3 3,
x 2 x 2.
3
1
Решение:
1.
Вычислим определитель системы:
2 3 1
1 2 1 2 2 2 3 1 1 1 1 0 1 2 1 3 1 2 2 1 0 13.
1 0 2
Так как определитель системы отличен от нуля, то система имеет
единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера.
2.
Составим и вычислим необходимые определители :
9 3 1
x1 3 2 1 9 2 2 3 1 2 1 3 0 1 2 2 3 3 2 9 1 0 52,
2
x2
2
1
1
x3
0 2
9 1
3 1 2 3 2 9 1 1 1 1 2 1 3 1 9 1 2 2 1 2 0,
2
2 3
1 2
1
0
2
9
3 2 2 2 3 3 1 9 1 0 9 2 1 3 1 2 2 3 0 13.
2

5. Решите систему методом Крамера:

3.
2 x1 3x2 x3 9,
x1 2 x2 x3 3,
x 2 x 2.
3
1
Находим неизвестные по формулам Крамера:
x1
x1
x1
x2
x3
x2
, x2
x1
x2
x3
52
4,
13
, x3
x3
0
0,
13
13
1.
13
Ответ: x1 4, x2 0, x3 1.
;

6. Метод Гаусса

Ранее рассмотренный метод можно применять при решении только тех систем, в которых
число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен
быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем
с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных
из уравнений системы.
Вновь рассмотрим систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными:
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 ,
a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 ,
a x a x a x b .
31 1 32 2 33 3 3
Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые,
содержащие x1. Для этого второе уравнение разделим на а21 и умножим на –а11, а затем
сложим с 1-ым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на а31 и умножим на –
а11, а затем сложим с первым. В результате исходная система примет вид:
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 ,
x2 a23
x3 b2 ,
a22
x2 a33
x3 b3 .
a32

7. Метод Гаусса

Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x2. Для этого третье
уравнение разделим на a32 , умножим на a22 и сложим со вторым. Тогда будем иметь
систему уравнений:
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 ,
x2 a23
x3 b2 ,
a22
x3 b3 .
a33
Отсюда из последнего уравнения легко найти x3, затем из 2-го уравнения x2 и, наконец, из
1-го – x1.

8. Решите систему методом Гаусса:

2 x1 3 x2 x3 9,
x1 2 x2 x3 3,
x 2 x 2.
3
1
Решение:
1.
Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, содержащие x1.
Для этого второе уравнение умножим на a11 2 , а затем сложим с 1-ым уравнением.
a21
Аналогично третье уравнение умножим на
a11
2
a31
, а затем сложим с первым.
В результате исходная система примет вид:
2 x1 3 x2 x3 9,
7 x2 3 x3 3,
3 x 2 5 x3 5.
2.
Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x2. Для этого третье
a
7
уравнение умножим на 22 , и сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений:
a32
3
2 x1 3x2 x3 9,
7 x2 3x3 3,
2
2
8 x3 8 .
3
3

9. Решите систему методом Гаусса:

3.
2 x1 3x2 x3 9,
x1 2 x2 x3 3,
x 2 x 2.
3
1
На этом прямой ход метода Гаусса закончен, начинаем обратный ход.
Из последнего уравнения полученной системы уравнений находим x3:
2
3 1.
x3
2
8
3
8
Из второго уравнения получаем:
x2
1
3 3x3 1 3 3 1 0 .
7
7
Из первого уравнения находим оставшуюся неизвестную переменную и этим завершаем
обратный ход метода Гаусса:
x1
Ответ: x1 4, x2 0, x3 1.
1
9 3x2 x3 1 9 3 0 1 4 .
2
2

10. Матричный метод (с помощью обратной матрицы)

Рассмотрим систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными:
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 ,
a21x1 a22 x2 a23 x3 b2 ,
a x a x a x b .
31 1 32 2 33 3 3
В матричной форме записи эта система уравнений имеет вид
где
a11 a12 a13
A a21 a22 a23 ;
a
31 a32 a33
A X B ,
x1
b1
X x2 ; B b2 .
x
b
3
3
Пусть A 0 . Тогда существует обратная матрица A 1 . Если умножить
1
обе части равенства A X B на A слева, то получим формулу для
нахождения матрицы-столбца неизвестных переменных, т.е. A 1 A X A 1 B
1
или X A B .
Так мы получили решение системы трёх линейных уравнений с тремя
неизвестными матричным методом.

11. Решите систему матричным методом:

2 x1 3 x2 x3 9,
x1 2 x2 x3 3,
x 2 x 2.
3
1
Решение:
1.
Перепишем систему уравнений в матричной форме:
A X B
Так как
2 3 1 x1 9
1
2
1
x2 3 .
1 0
2 x3 2
2 3 1
1 2 1 2 2 2 3 1 1 1 1 0 1 2 1 3 1 2 2 1 0 13 ,
1 0 2
то систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными можно решить матричным
методом. С помощью обратной матрицы решение этой системы может быть найдено как:
1
X A 1 B
x1 2 3 1 9
x 1 2 1 3 .
2
x 1 0 2 2
3

12. Решите систему матричным методом:

2.
Построим обратную матрицу
элементов матрицы A :
A11 A12 A13
1
1
A A21 A22 A23
A
A31 A32 A33
где
A11 1
1 1
3 1
T
2 1
4, A12 1
3 1
2
A 1 с помощью матрицы из алгебраических дополнений
6
1
4
T
13
13
13
1
4 1 2
4 6
1
1
1
5
3
6
5 3 1
5 3
,
13
13
13 13 13
1 3 7
2 3 7 2
3
7
13 13 13
1 2
0 2
2 1 3 1
A21 1
6,
0 2
A31 1
2 x1 3 x2 x3 9,
x1 2 x2 x3 3,
x 2 x 2.
3
1
1
1,
1 1
1, A13 1
1 3
1 2
2 2 2 1
A22 1
1 2
A32 1
3 2
5,
2 1
1
1
1 2
2,
1 0
2 3 2 3
A23 1
3,
1 0
3, A33 1 3 3
2 3
1 2
7.

13. Решите систему матричным методом:

3.
2 x1 3x2 x3 9,
x1 2 x2 x3 3,
x 2 x 2.
3
1
Осталось вычислить матрицу неизвестных переменных, умножив обратную матрицу
на матрицу-столбец свободных членов:
4
6
1
6
1
4
9 3 2
13
13
13 13 9 13
13
4
1
5
3
1
3
5
1
X A B
9 3 2 0 ,
3
13 13
13
13
13 13
2
1
2
3
7
2 9 3 3 7 2
13
13 13 13
13
13
x1 4
X x2 0 .
x 1
3
Ответ:
x1 4, x2 0, x3 1 .