Методы решения системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными

1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ТРЁХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ТРЕМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ

Преподаватель ГБОУ СПО «ВТЭТ» Назаренко Анжела Францевна
дисциплина «Математика» (2 курс)

2. Основные понятия

Рассмотрим систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными: a11x1 a12 x2
a13 x3 b1 ,
a21x1 a22 x2 a23 x3 b2 ,
a x a x a x b ,
31 1 32 2 33 3 3
где -
x1 , x2 , x3
неизвестные,
aij
- коэффициенты ( i 1,2,3; j 1,2,3 ),
b1 , b2 , b3 - свободные члены.
Тройка чисел ( 1 , 2 , 3 ) называется решением системы трёх линейных уравнений с тремя
неизвестными, если при подстановке их в уравнения системы вместо x1 , x2 , x3 получают верные
числовые равенства.
Если система трёх линейных уравнений имеет хотя бы одно решение, то она называется
совместной.
Если система трёх линейных уравнений решений не имеет, то она называется несовместной.
Если система трёх линейных уравнений имеет единственное решение, то ее называют
определенной; если решений больше одного, то – неопределенной.
Если свободные члены всех уравнений системы равны нулю , то система называется
однородной, в противном случае – неоднородной.

3. Метод Крамера

Пусть нам требуется решить систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными:
a11x1 a12 x2 a13 x3 b1 ,
a21x1 a22 x2 a23 x3 b2 ,
a x a x a x b ,
32 2
33 3
3
31 1
(1)
в которой определитель системы (он составлен из коэффициентов при неизвестных) ∆≠0, а
определители x , x , x получаются из определителя системы ∆ посредством замены
свободными членами элементов соответственно первого, второго и третьего столбцов.
1
a11 a12 a13
2
3
b1 a12 a13
a11 b1 a13
a11 a12 b1
a21 a22 a32 , x1 b2 a22 a32 , x2 a21 b2 a32 , x3 a21 a22 b2 .
a31 a32 a33
b3 a32 a33
a31 a32 b3
a31 b3 a33
Теорема (правило Крамера). Если определитель системы ∆≠0, то рассматриваемая
система (1) имеет одно и только одно решение, причём
x1
x1
, x2
x2
, x3
x3
.

4. Решите систему методом Крамера:

2 x1 3 x2 x3 9,
x1 2 x2 x3 3,
x 2 x 2.
3
1
Решение:
1.
Вычислим определитель системы:
2 3 1
1 2 1 2 2 2 3 1 1 1 1 0 1 2 1 3 1 2 2 1 0 13.
1 0 2
Так как определитель системы отличен от нуля, то система имеет
единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера.
2.
Составим и вычислим необходимые определители :
9
3 1
x1 3 2
1 9 2 2 3 1 2 1 3 0 1 2 2 3 3 2 9 1 0 52,
2
0
2
2
9 1
x2 1
3
1 2 3 2 9 1 1 1 1 2 1 3 1 9 1 2 2 1 2 0,
1
2
2
3
9
2
x3 1 2
1
0
3 2 2 2 3 3 1 9 1 0 9 2 1 3 1 2 2 3 0 13.
2

5. Решите систему методом Крамера:

3.
2 x1 3 x2 x3 9,
x1 2 x2 x3 3,
x 2 x 2.
3
1
Находим неизвестные по формулам Крамера:
x1
x1
x1
x2
x3
, x2
x1
x2
x3
x2
, x3
x3
52
4,
13
0
0,
13
13
1.
13
Ответ: x1 4, x2 0, x3 1.
;