Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения

1. Блиц-опрос

Посредством уравнений, теорем
я уйму всяких разрешил проблем…
Чосер,
английский поэт средних веков.
Блиц-опрос
Теория без практики
мертва и бесплодна, практика без
теории невозможна и пагубна.
Для теории нужны знания, для
практики, сверх того, и умение.

2. Вопросы:

1.
2.
3.
4.
5.
6.
Дайте определение понятия уравнение.
Что такое корень уравнения?
Что значит решить уравнение?
Какие уравнения называют равносильными?
Что такое допустимые значения переменных?
Какие свойства используют при решении
уравнений?
7. Когда произведение равно нулю?
8. Уравнение какого вида называется линейным?

3. Выполним устно

1.
Является ли число а
корнем уравнения?
а) 2х – 7=8, а=7,5;
б) х² - х -20=0, а = 5;
в) (х³ + 12) (х² + 25) =0, а=2√2.

4. Выполним устно

2. Найди корни уравнения
а)
б)
в)
г)
(х -3) (х+ 12) = 0;
(6х – 5) (х + 5) = 0;
(х – 8) (х + 2) (х² + 25) = 0;
16х² - 8х + 1 = 0

5. Задача

Гипотенуза прямоугольного
треугольника 10 .
Найти катеты, если один из
них на 2 больше другого.

6. Решение задачи:

Пусть х- первый катет,
тогда (х+2) – второй катет.
Зная, что по теореме Пифагора в
прямоугольном треугольнике сумма
квадратов катетов равна квадрату
гипотенузы, составим уравнение:
х² + (х +2)² = 10²
х² + х² + 4х + 4 =10
2х² + 4х – 6 = 0

7. Тема урока:

«Определение
квадратного уравнения.
Неполные квадратные
уравнения».

8. Определение

Уравнения вида
ах² + вх + с = 0,
где а, в, с – числа, а ≠ 0,
называется квадратным.

9. Коэффициенты квадратного уравнения

Числа а, в, с – коэффициенты квадратного
уравнения.
а – первый коэффициент (перед х²), а ≠ 0;
в - второй коэффициент (перед х);
с – свободный член (без х).

10. Укажите, какие из данных уравнений не являются квадратными.

1. 4х² + 4х + 1 = 0;
2. 5х – 7 = 0;
3. - х² - 5х – 1 = 0;
4. 2/х² + 3х + 4 = 0;
5. ¼ х² - 6х + 1 = 0;
6. 2х² = 0;
7. 4х² + 1 = 0;
8 . х² - 1/х = 0;
9. 2х² – х = 0;
10. х² -16 = 0;
11. 7х² + 5х = 0;
12. -8х²= 0;
13. 5х³ +6х -8= 0.

11. Проверяем Задание 1: Заполните таблицу. Запишите коэффициенты квадратного уравнения.

№
1
2
3
4
5
6
Уравнение
Первый
Второй
Свободный
коэффициент коэффициент
член
а
в
с
-5х² + 7х – 1 = 0
-5
7
-1
2,8 х² - 7/15х + 4 = 0
2,8
-7/15
4
х² - 0,2х -√5 = 0
1
- 0,2
-√5
-х² + 4 = 0
-1
0
4
3/8х² - х = 0
3/8
-1
0
7х² = 0
7
0
0

12. Проверяем Задание 2: Заполните таблицу. Составьте квадратное уравнение по его коэффициентам

№
п/п
Уравнение
Первый
Второй
Свободный
коэффициент коэффициент
член
а
в
с
6
-5
-7
7
6х² - 5х – 7 = 0
8
-4х² + 3х +1 = 0
-4
3
1
9
1/2х² + √3 = 0
1/2
0
√3
10
- х² + 1/3х = 0
-1
1/3
0
11
2х² = 0
2
0
0

13. Проверяем Задание 3. Заполните таблицу. Приведите данное уравнение к виду ах² + вх + с = 0 и запишите коэффициенты квадратного уравнения.

№
Уравнение
12
4х – 6х² + 7 =0
Уравнение,
записанное в виде
ах² + вх + с = 0
6х² - 4х + 7 =0
Коэффициенты
а
в
с
13
х²/4 - 0,2 + 3х =0
1/4х² + 3х – 0,2 = 0
1/4
3
- 0,2
14
4= -2х + х²
-х² + 2х - 4 = 0
-1
2
-4
15
2х²- 3х = 5х - 1
2х² - 8х + 1 = 0
2
-8
1
16
(х - 2) (3х – 5) = 0
3х² - 11х + 10 = 0
3
-11
10
17
(х -1)² = 2х + 4
х² - 4х – 3 = 0
1
-4
-3
6
-4
7

14. Проверяем Задание 4. Какое из чисел 1; -3 является корнем данного уравнения.

18. 2х² - 3х + 1 = 0;
х=1
19. - х² - 5х - 6 = 0;
х = -3
20. 1/2х² + х – 1,5 = 0;
х=1 и х=-3
21.
нет корней
25х² - 10х +1 = 0;

15. Задание 5. Виды квадратных уравнений

Виды
квадратных уравнений
Задание 5.
Название
квадратных
уравнений
Полные
Уравнение в
общем виде
Особенность
Примеры
(какие
уравнений
коэффициенты)
ах² + вх + с = 0 а, в, с – числа, - х² - 7х +1 = 0
отличные от 0
1/3х² + 5х -1=0
в = 0, с=0
ах² = 0
2/3х² = 0
Неполные
х² = 0
в=0
ах² + с = 0
х² - 5 = 0
с=0
ах² + вх = 0
х² - 1/5х = 0
Приведенные х² + вх + с = 0
а =1
х² - 3х +5= 0
х² - 1/5х = 0
х² - 5 = 0
х² = 0

16. Проверяем Задание 6: Какие из данных уравнений являются полными, неполными, приведенными. Впишите примеры уравнений в таблицу задания 5.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
х² - 3х +5 = 0
- х² - 7х +1 = 0
1/3х² + 5х -1 = 0
х² - 1/5х = 0
2/3х² = 0
х² - 5 = 0
х² = 0

17. Проверяем Задание 7: Преобразуйте квадратное уравнение в приведенное.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
х²
х²
х²
х²
х²
х²
- 2х + 5 = 0
+ 6х -2 = 0
- 2х = 0
+ 3х – 1/3 = 0
- 2х - 25 = 0
=0

18. Задание 8. Поведи мини-исследование о корнях неполных квадратных уравнений.

x
c
a
Задание 8. Поведи мини-исследование
о корнях неполных квадратных уравнений.
1 колонка
2 колонка
3 колонка
Коэффициент,
равный 0
Пример
в = 0, с = 0
в=0
с=0
23х² = 0
- 3х +5 = 0
4х² - 3х = 0
Решение
уравнения
х² = 0;
х=0
Ответ: 0
-3х = - 5;
х = 5/3
Ответ: 5/3
Вид уравнения
ах² = 0
ах² + с = 0
х (4х -3) = 0;
х = 0 или 4х - 3 = 0;
4х = 3:
х = 3/4
Ответ: 0; 3/4
ах² +вх = 0
Алгоритм
решения
1. Разделим обе части
уравнения на а.
2. Получаем уравнение х²
=0
1.Перенесем свободный член в
правую часть уравнения.
2. Разделим обе части
полученного уравнения на а.
3. Получаем уравнение: х ² = - с/а
Единственный корень
х=0
1.Если –с/а ˃ 0, то уравнение
имеет два корня:
1. Разложить левую часть уравнения
на множители (вынести общий
множитель х за скобку).
2. Получаем уравнение
х (ах + в) = 0 .
3. Произведение равно 0, когда один
из множителей равен 0.
х = 0 или ах + в = 0
4. Решаем уравнение
ах + в = 0; ах = - в; х = - в/а
Уравнение имеет два корня:
х = 0 и х = - в/а.
Корни
х = -√-с/а
и
х = √-с/а
2.Если –с/а < 0, то уравнение не
имеет корней.

19. Математический диктант

1 вариант
2 вариант
1. Составьте квадратное уравнение по его коэффициентам и проверьте,
является ли указанное число х корнем этого уравнения.
а=2, в= - 3, с=1; х=1/2
а=3, в= - 2, с= -1; х= - 1/3
2. Запишите квадратное уравнение, у которого
первый коэффициент равен 3,
первый коэффициент равен -5,
второй коэффициент равен – 5,
второй коэффициент равен 3,
свободный член равен 0.
свободный член равен 0.
3.Запишите приведенное квадратное уравнение, у которого коэффициент и
свободный член равны
-2
-3
4. Запишите неполное квадратное уравнение, у которого
первый коэффициент равен – 5,
первый коэффициент равен – 3,
свободный член равен 7.
свободный член равен 5.
Решите его.
Решите его.
5. Запишите неполное квадратное уравнение, у которого
первый коэффициент равен 3,
первый коэффициент равен 5,
второй коэффициент равен 5.
второй коэффициент равен 7.
Решите его.
Решите его.

20. Проверь себя

1 вариант
1
2
3
4
5
2х² - 3х +1=0
х = 1/2 – корень уравнения
3х² - 5х = 0
х² - 2х - 2= 0
-5х² + 7 = 0;
-5х² = -7;
х² = 7/5;
х1= -√7/5 и х2 = √7/5
Ответ: -√7/5; √7/5
3х² - 5х = 0
х (3х - 5) = 0
х=0
или
3х-5=0
3х=5
х=5/3
Ответ: 0; 5/3
2 вариант
3х² - 2х -1=0
х = -1/3 – корень уравнения
- 5х² + 3х = 0
х² - 3х – 3 = 0
- 3х² + 5 = 0;
- 3х² = - 5;
х² = 5/3;
х1= -√5/3 и х2 = √5/3
Ответ: -√5/3; √5/3
5х² + 7х = 0
х (5х +7) = 0
х=0 или
5х + 7=0
5х= - 7
х= - 7/5
Ответ: 0; - 7/5