Similar presentations:
Виды показательных уравнений и способы их решения
1. ВИДЫ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И СПОСОБЫ ИХ РЕШЕНИЯ
2. Умные мысли
Мне приходится делить время между политикой иуравнениями.
Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее.
Политика существует для данного момента, а
уравнения будут существовать вечно.
3. Считаем устно
1) Представить в виде степени:3
6 ;
2
6
2
3
4
3 81;
0
3
2
2 16;
2
2
7 3 25
( )
5
49
7 1
( )
5
4. Решите уравнения
2x3
3;
4
1 x
( ) 49;
7
5
x 1
0;
2
х 2
Корней
нет
Корней
нет
3 x
1;
х 3
5.
Вынесениеобщего
множителя за
скобки
Метод
использования
однородности
Метод
логарифмировия
Методы
решения
ПУ
Метод
составления
отношений
Графический
метод
Метод введения
новой
переменной
Метод
уравнивания
показателей
6. Метод уравнивания показателей
1)5125
х
2) 2
3)3
5)8
3 х 6
х 1
4 )5
1)5 5 , х 3
х
sin х
х
2
1
2 ,3 х 6 1, х 2
3
1
4)5sin х 51 , sin х 1,
5
х
8
7
3 х 6
3) Корней нет
3
5 х 8
6)11
2) 2
3
2
2 п, п Z
х
0
5)8 81 , х 1, х 1
6)115 х 8 110 ,5х 8 0, х 1,6
7. Вынесение общего множителя за скобки
3x 2
x
x
3 72
3 (3 1) 72;
2
72
3 ;
8
x
3x 9;
3x 32;
x 2
Ответ: 2
8.
Вынесение общего множителяза скобки
x
x 4
2 2 15
x 4
2 (2 1) 15;
15
x 4
2 ;
15
x 4
2 1;
2
4
x 4
2;
x 4
0
Ответ: 4
9.
Вынесение общего множителяза скобки
312 x 1 96 x 1 27 4 x 1 813 x 1 2192
12 x 1
12 x 2
3
3
12 x 3
3
12 x 3
3
12 x 3
3
12 x 4
3
2192
(3 3 1 3 ) 2192;
2
1
7
(9 3 1 2187) 2192;
12 x 3
3
2192 2192;
12 x 3
3
1;
1
x
4
Ответ:0,25
10. Метод составления отношений
2 3x 1
3
x 2
5
x 2
4 5
x 3
3x 2 (2 3 1) 5x 3(5 4);
5 3x 2 5x 3 32;
3x 4 5 x 4 ;
3 x 4
x 4 1;
5
3 x 4
3 0
( )
( )
5
5
x 4
Ответ: 4
11.
Метод составления отношений5
2 x 1
x
2x
4 5 4
x 1
52 x 1(1 5) 22 x ( 22 1);
52 x 1 4 22 x 5;
5 2 x 1 5
( ) ;
2
2
2 x 1 1;
x 1
Ответ: 1
12.
Метод составления отношений2
x 2 1
2
x2
3 3
x 2 1
x 2 1
2
x2 2
x 2 1
(1 2 ) 3 (1 3);
3
2 x 2 1
2 2
( )
( )
3
3
x 1 2;
2
x 3;
Ответ: 3
13.
1)2
x
1
x
1
x 2
1
x
4 5 4 4 0
ОДЗ : x≠0
(4 ) 5 4 4 0;
1
x
Пусть 4 t, t 0.
t 5t 4 0;
2
D 25 16 9;
t1 4, t2 1.
Вернемся к
замене:
x1
4 4
1
4 x 1
1
x 1
1
0
x
2) 52 x 1 5 x 1 250
3)
9x
52( x 1) 5 3 5x 1 250; 32(x
2
2
1
1)
36 3x
3
2
3 0
x 2 3
9 4 3
3 0;
Пусть 5x 1 t, t 0.
1 2
t t 250 0;
125
Пусть 3x
2
1
t, t 0.
D 9;
t 2 4t 3 0;
t1 250 0,
D 16 12 4;
t2 125,
t1 3, t2 1.
Вернемся к
замене:
5
x 1
125;
5x 1 53;
x 1
решений _ нет
x 2;
Ответ: 1
Ответ: 2
Вернемся к
замене:
3x 1 3 x 2 1 1
2
2
x 1
3
1
x 1 0
2
x 0
x 0
x1 1
2
x 1 x 1
2
2
Ответ: 0,1,-1
14. Метод введения новой переменной
2x
1
x
4 5 4 4 0
1
x 2
1
x
(4 ) 5 4 4 0;
1
x
Пусть 4 t, t 0.
t 2 5t 4 0;
D 25 16 9;
t1 4, t2 1.
ОДЗ : x≠0
Вернемся к
замене:
x1
4 4
1
4 x 1
1
x 1
1 0
x
x 1
решений _ нет
Ответ: 1
15. Метод введения новой переменной
52 x 1 5x 1 25052( x 1) 5 3 5x 1 250;
Вернемся к
замене:
Пусть 5x 1 t, t 0.
5x 1 125;
1 2
t t 250 0;
125
5x 1 53;
t1 250 0,
t2 125,
x 2;
Ответ: 2
16.
Методвведения новой переменной
9
x 2 1
36 3
2( x 2 1)
3
x 2 3
9 4 3
3 0
x 2 3
3 0;
Вернемся к
замене:
3x 1 3 x 2 1 1
2
2
x 1
3
1
x 1 0
2
2( x 2 1)
3
( x 2 1)
4 3
Пусть 3x
2
1
3 0;
t, t 0.
t 2 4t 3 0;
t1 3, t2 1.
x 0
x 0
x1 1
2
x 1 x 1
2
2
Ответ: 0,1,-1
17. Использование однородности
64 9 x 84 12 x 27 16 x 064 32 x 84 3x 4 x 27 42 x 0
Разделив обе части
уравнения на 4 2 x ,
получим:
3
3
64 ( )2 x 84 ( )x 27 0
4
4
3 x
(
) t, t 0.
Пусть
4
64t 84t 27 0;
2
t1
3
9
, t2 .
4
16
Вернемся к
замене:
3 x 3
( 4 ) 4
( 3 )x 9
4
16
x 1
x 2
Ответ: 1 или 2
18. Использование однородности
9x 1
x
45 6 9 2
2x 2
0
32 x 2 45 3x 2x 9 22 x 2 0;
32 x 32 45 3x 2 x 9 22 x 22 0;
Разделив обе части
уравнения на 2 2 x ,
получим:
Пусть
3 x
( ) t, t 0.
2
9t 2 45t 36 0;
t 2 5t 4 0;
t1 1 0,
t1 4 0,
3 2x 2
3 x
( ) 3 45( ) 36 0
2
2
Ответ: нет
решения
19.
Использование однородности2
x
1
x
10 25 4,25 50
1
x
t 2 4,25t 1 0;
ОДЗ : x≠0
2
x
2
x
2
x
2
x
5 2 5 4,25 5 2
Разделив обе части
2
уравнения на 5 x ,
получим:
2
x
2 1 4,25 2
1
x
1
x
Пусть 2 t, t 0.
2
x
t1 4, t 2
1
.
4
Вернемся к
замене:
1
x1
2
x
2 4
x 0,5
2 2
1
1
x 0,5
2 x 1
2 x 2 2
4
Ответ: 0,5 или -0,5
20.
Уравнение вида: A a2 x B ax b x Cb 2 x 0.И решаются они с использованием однородности.
Все члены этого уравнения содержат степени с
разными основаниями, но показатели степеней в
крайних членах уравнения вдвое больше, чем показатели степеней среднего члена. Это уравнение
легко можно привести к виду уравнения на слайде
9, разделив его на b2 x 0 , получим квадратное
уравнение: A( a)2 x B ( a)x C 0.
b
b
С помощью подстановки ( a)x y, уравнение
b
2
принимает вид: Ay B y C 0,
который мы уже разобрали.
21.
Использование монотонности функции3x 4 x 5 x
3x 4 x
( ) ( ) 1
5
5
Т.к функция
3x 4 x
f (x) ( ) ( )
5
5
является убывающей, то
горизонтальная прямая y=1
пересекает график функции
f не более, чем в одной
точке. Следовательно,
уравнение имеет не более
одного корня. Методом
перебора находим, что x=2
Ответ: 2
3x 1 5 x 1 34
Т.к функция
f (x)3x 1 5x 1
является возрастающей, то
горизонтальная прямая y=34
пересекает график функции
f не более, чем в одной
точке. Следовательно,
уравнение имеет не более
одного корня. Методом
перебора находим, что x=3
Ответ: 3