Определение критериев физического подобия для механической системы

1.

Пример Определить критерии физического подобия для механической системы,
находящейся под воздействием возмущающей силы Fвоз = Fsin( t). Система представляет груз
массы М, который колеблется на пружине с жесткостью с, при перемещении массы на
расстояние S появится упругая сила Fупр = сS, вязкое сопротивление Fвяз = k , (k –
коэффициент пропорциональности).
Триботехническая система в виде гасителя колебаний транспортных средств: 1 масса; 2
пружина; 3 опора; Fвоз возмущающая сила; Fупр упругая сила; Fвяз сила вязкого сопротивления

2.

Решение. Рассматриваемая схема может быть реализована в виде гасителя
вертикальных колебаний.
1. Выявляем параметры, которые определяют процесс колебания механической
системы:
1)P1 – М (кг), 2) Р2 – (с 1), 3) Р3 – F (кг м/с2),
4) Р4 – S (м), 5) P5 – (кг/с), 6) P6 c (кг/с2),
7) P7 t (c).
Участвующих величин будет семь (m = 7). Функциональная зависимость,
подлежащая исследованию, получит вид:
Ф(Р1, Р2, Р3, Р4, Р5, Р6, Р7) = 0 или Ф(М, , F, S, , с, t) = 0, где Р1, Р2 ,…, Р7
параметры системы.
2. Выберем три (k = 3) независимые единицы применительно к системе измерений
LMT (здесь L – линейный размер, м; М масса, кг; Т время, с). В качестве основных
(базисных) параметров примем: P1 = М, кг; Р2 = , с 1, P3 = F, кг м/с2.

3.

3. Определяем размерность каждого основного (базисного) параметра:
P1 = [M] = [L]0 [M]1 [T]0,
P2 = [ ] = [L]0 [M]0 [T] 1,
P3 = [F] = [L]1 [M]1 [T] 2.
Остальные четыре параметра (Ni k = 7 4 = 3) уравнения примут вид
P4 = [S] = [L]1 [M]0 [T]0,
P5 = [ ] = [L]0 [M]1 [T] 1,
P6 = [c] = [L]0 [M]1 [T] 2,
P7 = [t] = [L]0 [M]0 [T]1.
4. Проверяем правильность сделанного выбора по числу независимых (базисных)
параметров (k = 3), составив матрицу размерностей
Используя формулы Крамера
a11
a12
a13
D1 3 a21
a22
a23 a11a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21a32
a31
a32
a33
a31a22 a31 a11a23 a32 a12 a21a33 ,

4.

p1 M
D1 3 p1 M
p1 M
1 0 0
0 0 1 1.
1 1 2
т. е. D1 3 0. Следовательно, значение базисных параметров р1, р2, р3 и их количество (k
= 3) выбрано правильно и величины М, , F действительно независимы.
Определитель D = 0 принимается в частных случаях, например, при использовании в опытах
одинаковых материалов как для модели, так и образца, т. е. С = С = СТ = СНВ = 1 или м = 0, м =
0, Ем = Е0, НВм = НВ0 и т.д. (здесь – теплопроводность; – коэффициент Пуассона; Е – модуль
упругости; НВ – твердость материала)

5.

5. Составляются выражения для оставшихся n = m k критериев подобия. В общем
виде их можно записать в виде дробей:
4
S
M α s ω s F s
5
6
c
M c c F c
7
Нахождение критериев
показателей степени.
подобия
M F
k
k
k
t
.
t
t
t
M F
заключается
в
отыскании
значений

6.

6. Определяются значения показателей степени , , .
Находят определители Dis для параметров P4–7, т. е.
α4 D4α / D1 3
Значения
, …,
7 D7 / D1 3
D4 7 , D4 7 , D4 7
могут быть найдены из определителя D1-3 после замены в нем i-строки на строку,
составленную из показателей степени S, ,c,t , S, ,c,t , S, ,c,t величин p4, p5, p6, p7
взятых из формулы:

7.

M L T
p4 0 1
D4 p2 0 0
0
M L T
D5α p2 0 0
p1 1 0
0
1 1; D4β p4 0 1
p3 1 1 2
p5 1 0
M L T
1
1 1;
p3 1 1 2
M L T
p1 1 0
0
0 2; D4ε p2 0 0 1 1;
p3 1 1 2
p4 0 1 0
M L T
p1 1 0
D5β p5 1 0
0
1 2 ;
p3 1 1 2
M L T
p1 1 0
0
D5ε p2 0 0 1 0;
p5 1 0 1

8.

M L T
M L T
p6 1 0 2
p1 1 0
M L T
0
p1 1 0
0
D6α p2 0 0 1 1;
D6β p6 1 0 2 2;
D6ε p2 0 0 1 0;
p3 1 1 2
p3 1 1 2
p6 1 0 2
M L T
M L T
p7 0 0
1
D7 p2 0 0 1 0;
p3 1 1 2
p1 1 0
D7β p7 0 0
0
1 1;
p3 1 1 2
M L T
p1 1 0 0
D7ε p2 0 0 1 0;
p7 0 0 1

9.

Численные значения показателей будут:
D4 1
l
1;
D1 3 1
D4 2
l
2;
D1 3 1
D4
1
l
1;
D1 3 1
D5 1
k
1;
D1 3 1
D5 1
k
1;
D1 3 1
D5
0
k
0;
D1 3 1
D6 1
c
1;
D1 3 1
D6 2
c
2;
D1 3 1
D6
0
c
0;
D1 3 1
D7 0
t
0;
D1 3 1
D7 1
t
1;
D1 3 1
D7
0
t
0.
D1 3 1

10.

Используя значения показателей и уравнения, окончательные значения критериев запишем в
следующем виде:
4
Так как = 1/Т, то
S
L
LMω 2
F
p1 1 p2 2 p3 1 M 1 2 F 1
4
5
6
7
M
FT
2
Mυ
.
FT
.
p11 p12 p30
c
p11 p2 2 p30
T ;
M 1 1 M 1T 1 M
с
M 1 2
t
p10 p2 1 p30
cT 2
;
M
T
M 0 1 F 0
T .

11.

Согласно второй теореме подобия, уравнение движения груза под действием сил
представляется функциональной зависимостью из критериев подобия
Ф( 4; 5; 6; 7) = 0
или
МL T cT 2
0.
Ф
;
;
;
T
2
M
M
FT

12.

13.

а = t l
За основные единицы приняты масса М, длина L, время Т, температура , а за
независимые параметры – – напряжение; t – время; l – длина; – температура.
Cоставим систему уравнений размерностей всех величин
ln [a] = 0 ln M + 2 ln L – ln T + 0 ln ,
ln [ ] = ln M – ln L – 2 ln T + 0 ln ,
ln [t] = 0 ln M + 0 ln L + ln T + 0 ln ,
ln [l] = 0 ln M + ln L + 0 ln T + 0 ln ,
ln [ ] = 0 ln M + 0 ln L + 0 ln T + ln .

14.

Эта система определяется матрицей
M L T
θ
а
0 2 -1 0
σ
1 - 1 -2 0
t
0
0 1 0
l
0
1 0 0
0
0 0
1
Из нее для размерностей независимых единиц может быть выделен определитель
четвертого порядка
0 0 0 1
D0
0 1 0 0
0 0 1 0
1 1 2 0
1.