Статистическое изучение взаимосвязей

1. Статистическое изучение взаимосвязей

1. Понятие и виды статистических
связей
2. Методы оценки статистических связей
между качественными признаками
3. Методы оценки статистических связей
между количественными признаками
4. Понятие и методика регрессионного
анализа

2.

В статистике преимущественно рассматривают следующие
виды связей:
• функциональная связь или полная корреляция – связь,
при которой каждому значению факторного признака
соответствует строго определенное значение
результативного признака.
• стохастическая связь – это связь, при которой одному
значению факторного признака соответствует группа
значений результативного признака;
• корреляционная связь – это связь, при которой с
изменением значений факторного признака изменяются
средние значения результативного признака;

3. Виды связей

По числу взаимосвязанных признаков различают:
• парные связи, когда анализируется взаимосвязь только
двух признаков: факторного и результативного;
• множественные связи, когда характеризуется влияние
нескольких факторных признаков на один
результативный;
По механизму взаимодействия различают:
• непосредственные связи, когда причина прямо влияет на
следствие;
• косвенные связи, когда между причиной и следствием
существуют промежуточные признаки

4.

По направлению связи подразделяют на:
• прямые связи, когда значения факторного и
результативного признаков изменяются в одном
направлении;
• обратные связи, когда их значения изменяются в разных
направлениях;
По аналитическому выражению выделяют:
• прямолинейные связи, которые выражаются уравнением
прямой линией;
• криволинейные связи, которые можно выразить
уравнением параболы, гиперболы, полулогарифмической
кривой и т.д.;

5. По степени тесноты связи её классифицируют по величине значений коэффициентов корреляции, представленным в таблице Чеддока

Теснота
связи
0,1-0,3
Характер
связи
Слабая
0,3-0,5
0,5-0,7
0,7-0,9
0,9-0,99
1,0
Умеренная Заметная
Тесная
Очень
тесная
Функцион
альная

6. Матрица взаимного распределения частот определения коэффициентов ассоциации и контингенции

1 признак
2 признак
Да
Нет
Итого
Да
a
b
a+b
Нет
c
d
c+d
Итого
a+c
b+d
a+b+c+d

7.

• Коэффициент ассоциации определяется по
формуле:
аd bc
КА
ad bc
• Коэффициент контингенции:
КК
ad bc
(a b)(b d )( d c)( a c)

8. Зависимость между полом и фактом совершения покупки посетителями магазина

1 признак
М
Ж
Купил
24
32
56
Не купил
16
28
44
Итого
40
60
100
2 признак
Итого

9.

• Коэффициент взаимной сопряженности
признаков Пирсона определяется по формуле:
2
K
П
1 2
• Коэффициент взаимной сопряженности
признаков Чупрова:
2
Кч
k 1 k 1
1
2
2 - показатель взаимной сопряженности признаков,
который рассчитывается на основе матрицы взаимного
s2
2
распределения частот ( L L L 1 , L ij : n )
1
2
3
i m
i
j

10. Матрица взаимного распределения частот

1 гр.
2 гр.
3 гр.
Итого
1 гр.
s11
s12
s13
n1
2 гр.
s21
s22
s23
n2
3 гр.
s31
s32
s33
n3
Итого
m1
m2
m3

11. Зависимость между величиной магазина и формой обслуживания

Самообслуживание
Традиционное Итого
Мелкие
магазины
12
45
57
Средние
19
10
29
Крупные
14
4
18
Итого
45
59
104

12. 3. Методы оценки статистических связей между количественными признаками

• Коэффициент Фехнера:
с н с н
К
п
с н
Ф
• Коэффициент корреляции рангов
Спирмена:
6 d 2
1
2 1
n
n

13. Взаимосвязь между фондовооруженностью и производительностью труда

Фондовооруженность,
Производительность,
тыс. руб.
тыс. руб.
х
у
x x
y y
с/н
2
3
-3
-3
С
5
6
0
0
С
3
4
-2
-2
С
7
6
2
0
С
2
4
-3
-2
С
6
8
1
2
С
4
6
-1
0
Н
9
9
4
3
С
8
9
3
3
С
4
5
-1
-1
С

14. Взаимосвязь между товарооборотом и уровнем издержек обращения в магазинах

Однодневный
товарооборот,
тыс. руб.
х
Издержки
в%к
товарообороту
у
Rx
18
20,5
1
23
23,4
29
Ранги
d Rx R y
d2
4
-3
9
2
6
-4
16
21,2
3
5
-2
4
45
18,9
4
2
2
4
78
19,2
5
3
2
4
93
17,5
6
1
5
25
Всего
-
-
-
-
62
Ry

15. Формулы коэффициентов корреляции

r
x y
xy
x
x 2
r
r
2
n
n
y 2
xy x * y
x y
( x x )( y y )
(x x) ( y y)
2
2
y
2
n

16. Если определена форма корреляционной связи и коэффициент регрессии , то коэффициент корреляции можно рассчитать по формуле:

x
r a1
y

17. Расчет коэффициента корреляции

Фондовооружен Производитель
ность, тыс. руб. ность, тыс.
х
руб. у
х
2
ó
2
ху
2
3
4
9
6
5
6
25
36
30
3
4
9
16
12
7
6
49
36
42
2
4
4
16
8
6
8
36
64
48
4
6
16
36
24
9
9
81
81
81
8
9
64
81
72
4
5
16
25
20
50
60
304
400
343

18. Расчет коэффициента корреляции

x y
xy
50 * 60
343
n
10
r
0,925
2
2
2
2
50
60
x
y
2
2
304
400
x
y
10
10
n
n

19. Значимость линейного коэффициента корреляции проверяется на основе t – критерия Стьюдента.

tp
r n
1 r
2
0,925 10
1 0,925
2
2,925
0,144
7,7
Входными параметрами для отыскания табличного
значения являются: α (0.05; 0.01) и число степеней
свободы d.f. = n – 2.
Если tp > tтабл, то коэфф. корреляции статистически
значим
7,7 >2,3060 (при уровне значимости 0,05 и числе
степеней свободы 8)

20. Формула множественного коэффициента корреляции:

Ry x x
12
r r 2ry x ry x rx1x2
2
y x1
2
y x2
1
1 r
2
x1 x2
2

21.

Уравнение линейной регрессии:
ух а0 а1х
Параметры уравнения прямой определяются путем
решения системы нормальных уравнений:
па0 а1 х у
а0 х а1 х 2 ху
а0
ху х * у
х х
2
2
а1 у а0 х

22. Расчет параметров уравнения регрессии

Фондовооружен Производитель
ность, тыс. руб. ность, тыс.
х
у
руб.
х
2
ху
ух
2
3
4
6
3,61
5
6
25
30
6,0
3
4
9
12
4,41
7
6
49
42
7,59
2
4
4
8
3,61
6
8
36
48
6,80
4
6
16
24
5,20
9
9
81
81
9,19
8
9
64
72
8,38
4
5
16
20
5,20
50
60
304
343
60

23.

1. Для определения параметров уравнения регрессии
подставим в систему нормальных уравнений
фактические данные из таблицы:
10а0 50а1 60
50а0 304а1 343
2. разделим каждый член первого уравнения на 10, а
каждый член второго уравнения на 50:
а0 5а1 6
а0 6,08а1 6,86
3. вычтем из второго уравнения первое и получим:
1,08а1 0,86 Отсюда а1 0,796
4. подставим значение а1 в первое уравнение, получим:
а0 2,02
ух 2,02 0,796 х

24.

Параметр а0
показывает усредненное
влияние на результативный признак
неучтенных, т.е. не выделенных для
исследования факторных признаков;
Параметр а1 – это коэффициент регрессии,
который показывает, насколько изменяется
значение результативного признака при
изменении
факторного
признака
на
единицу его собственного измерения.

25.

à0
2,02
t a0
7, 2
S a0 0,282
Где
S a0
S a0
a1 0,796
t a1
6,47
S a1 0,123
стандартная ошибка параметра а0
y 1 r2
n 2
2,1 1 0,925 2
10 2
0,797
0,282
2,828
S a1 стандартная ошибка параметра а1
S a1
y 1 r2
x n 2
2,1 1 0,925 2
2,3 10 2
0,797
0,123
6,504

26.

• Фактические
значения
t-критерия
сравниваются с табличными (с учетом
уровня значимости α и числа степеней
свободы
(d.f.=n-k-1)).
Параметры
признаются статистически значимыми, т.е.
сформированными
под
воздействием
неслучайных факторов, если tфакт > tтабл.

27.

Значимость уравнения в целом оценивается на
основе F-критерия Фишера:
n
F
( yi y )
i 1
k
n
(y
2
:
i 1
i
yi )
2
n k 1
• где k – число степеней свободы факторной дисперсии,
равное числу независимых переменных (признаковфакторов) в уравнении регрессии;
• n-k-1 - число степеней свободы остаточной дисперсии.
n k 1
0,925 2 10 1 1
0,856 8
F
* 47,6
2
2
k
1
1 0,856 1
1 ryx
1 0,925
r
2
yx

28.

Расчетное значение критерия сопоставляется
с табличным (с учетом числа степеней
свободы: d.f. = k и d.f.=n-k-1) .
Если
Fрасч. Fтабл. , то делается вывод о
статистической значимости уравнения в
целом.
Fðàñ÷. Fòàáë.
47,6 5,32

29.

Уравнение параболы второго порядка:
ух а0 а1 х а2 х
2
Система нормальных уравнений:
па0 а1 х а2 х 2 у
а0 х а1 х 2 а2 х 3 ху
а0 х а1 х а2 х ух
2
3
4
2

30.

Уравнение гиперболы:
1
у х а0 а1
х
Система уравнений:
1
па0 а1
х
у
2
1
1
а0 а1
х
х
1
у х

31.

Замена переменных:
1
х1
х
Система нормальных уравнений примет
следующий вид:
па0 а1 х1 у
а0 х1 а1 х х1 у
2
1

32.

Уравнение множественной регрессии
(линейное уравнение с двумя
переменными):
óõ à0 à1 õ1 à2 x2
Система нормальных уравнений:
ïà 0 à1 õ1 à2 x2 ó
à0 õ1 à1 õ1 à2 õ1 x2 õ1 ó
2
à0 x2 à1 õ1 x2 à2 x2 x2 ó
2

33. Матрица парных коэффициентов корреляции

Призна
к
y
y
1
x1
x1
x2
ryx1
ryx 2
1
x3
ryx 3
rx1 x 2 rx x
1
rx2 x3
1
x2
x3
…
xK
…
ryxk
…
3
…
1
…
rx1 x k
rx2 xk
rx3 xk
1
xк
…
…
…
…
…
1