Similar presentations:
Экстремум функции двух переменных
1.
Лектор: ОРЛИК ЛЮБОВЬ КОНСТАНТИНОВНАТема:
Экстремум функции двух переменных
2.
Пример 1.z 1 x y
z M
P
2
2
- полусфера
y
x
В точке M - максимум, т.к. в
окрестности этой точки значения функции
меньше, чем
z в точке :
M
z ( P) z ( M ).
3.
z x y2
Пример 2.
2
- параболоид
z
Q
O
x
y
4.
В точке O(0,0) - минимум, т.к. вокрестности этой точки значения функции
больше, чем
O
z в точке :
z (Q) z (O).
5.
Также, как и в случае функции однойпеременной для нахождения экстремума
находят критические точки.
Это точки, в которых z x и z y равны
нулю. Таким образом, обращение в нуль
в точке частных производных является
необходимым условием существования с
этой точке экстремума.
6.
Следовательно, точки экстремумаследует искать среди критических точек.
Однако существуют критические точки,
не являющиеся точками экстремума.
Поэтому рассмотрим достаточные
условия существования экстремума.
7.
ПустьP0
- критическая точка.
Находим
A z xx ( P0 ), B z xy ( P0 ), C z yy ( P0 ).
Составим определитель
D
A B
B C
AC B .
2
8.
Возможны случаи:A 0
min
A 0
max
I
D 0
II
D 0
Экстремума нет
D 0
Требуется
дополнительное
исследование
III
9.
Пример. Найти экстремумы функцииz x y 6 xy.
3
3
z x и z y :
2
2
z x 3x 6 y, z y 3 y 6 x.
1) Находим
10.
2) Составим систему уравненийz x 0,
z
0.
y
3x 6 y 0,
2
3 y 6 x 0.
2
x 2 y 0,
1 2
y x .
2
2
y 2 x 0.
2
11.
Подставимy
во второе уравнение
4
x
y 2 x 0 или
2x 0 :
4
4
3
x 8 x 0, x( x 8) 0;
2
x1 0;
x2 2.
Получили две критические точки
P1 (0,0)
и
P2 (2, 2).
12.
3) Находимz xx , z xy , z yy :
z xx 3x 6 y 6 x,
2
x
z yy 3 y 6 x 6 y,
2
y
z xy 3x 6 y 6.
2
y
13.
4) Рассмотрим P1 (0,0) и находимзначения вторых производных в этой
точке:
A 6 x x 0 0,
B 6,
C 6 y y 0 0.
D
0
6
6
0
0 ( 6) 36 0
2
Следовательно экстремума нет.
14.
P2 (2,2) :12, B 6, C 6 y y 2 12.
4) Рассмотрим
A 6 x x 2
D
12
6
6 12
12 12 6 6 144 36 108 0.
P2 (2, 2) функция имеет
экстремум, т.к. D 0.
В точке
15.
Чтобы выяснить, max или min в точкеP2 , смотрим на знак A или C.
A 0 в точке P2 (2,2) min.
z (2,2) 2 2 6 2 2 8 8 24 8.
3
3
Ответ: функция z x y 6 xy имеет
в точке P (2, 2) минимум,
3
2
zmin 8.
3
16.
Самостоятельная работа №21) Найти область определения функций
a) z xy ,
b) z
1
.
x y 1
2) Найти частные производные первого
и второго порядка
b) z x 3xy.
a) z x y ,
3
3) z x ln y, где y 5sin x.
dz
z
.
Найти
и
dx
x
3
4
2
17.
18. Условный экстремум: метод множителей Лагранжа
19.
20.
21.
22.
23.
24. Пример идея: сведём уравнение ,задающее функцию двух переменных ,к функции одной переменной с помощью уравнения связи (1)
25.
26.
27. cужение исходной функции -функцию исследуем на экстремум
cужение исходной функции функцию исследуем наэкстремум
28.
29.
30.
31.
32.
33. МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
34.
35.
36.
37. исключить ,выразив из первых двух уравнений и приравняв результаты; ВЫРАЗИТЬ из первого уравнения X,из второго –Y и подставить в третье ур
исключить ,выразив изпервых двух уравнений и
приравняв результаты;
ВЫРАЗИТЬ из первого
уравнения X,из второго –Y и
подставить в третье уравнение
,которое будет зависеть только
от