Экстремумы функции нескольких переменных

1. Экстремумы функции нескольких переменных

2. Локальный экстремум ФНП

Точка М0 (x0, y0) называется точкой максимума
(локального максимума) функции z f ( x, y ) , если
существует окрестность UM0 точки М0, в каждой точке М
которой выполняется неравенство f(M0)≥f(M)
Точка М0 (x0, y0) называется точкой минимума
(локального минимума) функции
, если
существует окрестность UM0 точки М0, в каждой точке М
которой выполняется неравенство f(M0) ≤f(M)
z f ( x, y )

3. Локальный экстремум ФНП

В критических точках функция может
иметь экстремум, а может не иметь,
т.е. необходимое условие
экстремума не является
достаточным

4. Локальный экстремум ФНП

Достаточное условие экстремума ФНП:
Пусть функция z f ( x, y ) имеет непрерывные частные
производные второго порядка в некоторой окрестности
критической точки М0:
Тогда
если
то экстремум есть,
причем при А > 0 в точке М0 – минимум функции;
при А < 0 - максимум.
если
то экстремума в точке М0 нет;
если
то требуется дополнительное
исследование

5. Локальный экстремум ФНП

1.
2.
3.
4.
5.
Схема исследования ФНП на экстремум
Найти частные производные первого порядка
Найти критические точки, решая систему
уравнений z x 0
z y 0
Найти частные производные второго порядка
Вычислить значения вторых производных в
критических точках, проверить достаточные
условия экстремума
Найти экстремальные значения функции.

6. Локальный экстремум. Примеры

7.

Локальный экстремум. Примеры

8. Локальный экстремум. Примеры

Исследовать на экстремум функцию
Решение
Найдем
Критические точки:
→
Найдем
Проверка достаточных условий:
проведем дополнительное исследование –
рассмотрим ∆z(0;0)=z(h,k)-z(0,0)
при
при
приращение ∆z(0;0) принимает значения разных знаков,
поэтому в точке (0;0) экстремума нет.

9. Наибольшее и наименьшее значения ФНП в замкнутой области

10. Наибольшее и наименьшее значения ФНП в замкнутой области

11. Наибольшее и наименьшее значения ФНП в замкнутой области

12. Условный экстремум ФНП

Условным экстремумом функции z=f(х,у) называется
экстремум этой функции, достигнутый при условии, что
аргументы х и у связаны уравнением g(x,y)=C.
Уравнение g(x,y)=C называется уравнением связи.
Геометрический смысл:
выбор наибольшего (наименьшего)
значения среди точек, лежащих на
линии, определяемой уравнением
связи.

13. Условный экстремум ФНП

1 способ – выражение одной неизвестной из уравнения
связи
Пример. Найти экстремумы функцииz x 2 2y 2 при
условии 3 x 2 y 11
11 3 x
Выразим из уравнения связи переменную у: y
2
Подставив это выражение в функцию z, получим
11 3 x 11 2
2
z x 2
( x 6 x 11) z ( x)
2
2
Исследуем ее как функцию одной переменной:
z 5,5 (2 x 6) 0 при x 3 - точка минимума, откуда y 1
2
Точка (3,1) - точка условного экстремума (минимума):
z min 32 2 12 11

14. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа

2 способ (универсальный) – метод неопределенных
множителей Лагранжа - используется, когда из
уравнения связи выражение ни одной из переменных
невозможно или число переменных больше двух.
Алгоритм метода:
1. Составить функцию Лагранжа:
( x, y , ) f ( x, y ) g ( x, y )
2. Исследовать функцию Лагранжа на экстремум как
функцию трех переменных.

15. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа