Логарифмическая функция+логарифмические уравнения (2)

1.

y = loga х,
0<а<1
у
y = logax,
а>1
у
1
х
1
х
0
0

2. Понятие логарифмической функции

Функцию вида
y = logaх, где а ≠ 1, a > 0, х > 0
называют
логарифмической функцией

3. Свойства логарифмической функции y = logах, а ≠ 1, a > 0

Свойства логарифмической функции y = logах, а ≠ 1, a > 0
1.
2.
D(y) = (0; +∞),
E(y) = (-∞; +∞).
а) Нули функции: у = 0 при х = 1;
б) точек пересечения с осью ординат нет.
3.
а) При а > 1 функция возрастает на (0; +∞);
б) при 0 < а < 1 функция убывает на (0; +∞).
4.
Ни четная функция, ни нечетная.
5.
Не ограничена сверху, не ограничена снизу.
6.
Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
7.
Непрерывна.
8.
а) При а > 1 функция выпукла вверх;
б) при 0 < а < 1 функция выпукла вниз.
9. Ось у является вертикальной асимптотой графика
логарифмической функции.

4. График логарифмической функции y = logах, а ≠ 1, a > 0

График логарифмической функции
y = logах, а ≠ 1, a > 0
y = logaх, а > 1
у
0
y = logах, 0 < а < 1
у
1
х
0 1
х

5. Графики логарифмической функции y = logах, а ≠ 1, a > 0

Графики логарифмической функции
y = logах, а ≠ 1, a > 0

6. Свойства сравнения логарифмов при а ≠ 1, a > 0

Свойства сравнения логарифмов при а ≠ 1, a > 0
1. Если 0 < а < 1 и 0 < x1 < x2, то loga x1 > loga x2 .
2. Если а > 1 и 0 < x1 < x2, то loga x1 < loga x2 .
3. Если 1< а < b и x > 1, то loga x > logb x .
4. Если 0 < а < b < 1 и x > 1, то loga x > logb x .
5. Если 1< а < b и 0 < x < 1, то loga x < logb x .
6. Если 0 < а < b < 1 и 0 < x < 1, то loga x < logb x .
7. logab > 0 ⟺ a > 0, b > 0 и (a – 1)(b – 1) > 0 (если положительные
числа a и b лежат “по одну сторону от единицы”)
8. logab < 0 ⟺ a > 0, b > 0 и (a – 1)(b – 1) < 0 (если положительные
числа a и b лежат “по разные стороны от единицы”)

7. Логарифмические уравнения

Уравнения вида loga f(x) = logа h(х), где а ≠ 1, a > 0
называют логарифмическими уравнениями
⟺
loga f(x) = loga h(х)
f(x) = h(х)
f(x) > 0
h(х) > 0
Методы решения логарифмических уравнений:
1. Функционально-графический метод.
2. Метод потенцирования.
3. Метод введения новой переменной.

8. Логарифмические уравнения. Примеры

Пример 1
(
)
log3 x 2 − 3x − 5 = log3 (7 − 2x )
x 2 − 3x − 5 = 7 − 2x
7 − 2x 0
x 2 − x − 12 = 0
x 3,5
x1 = −3
x 2 = 4
x 3,5
x = −3
Ответ: -3.
Пример 2
log2 (x + 4) + log2 (2x + 3) = log2 (1 − 2x )
log2 (x + 4)(2x + 3) = log2 (1 − 2x )
(x + 4)(2x + 3) = (1 − 2x )
x + 4 0
2x + 3 0
1 − 2x 0
2x 2 + 13x + 11 = 0
x −4
x −1,5
x 0,5
x 1 = −1
x 2 = −5,5
− 1,5 x 0,5
Ответ : − 1.

9.

Логарифмические уравнения. Примеры
(
)
Пример 3
log x + 4 x 2 − 1 = log x + 4 (5 − x )
x 2 − 1 = 5 − x ,
2
x − 1 0,
5 − x 0,
x + 4 0,
x + 4 1;
x 2 + x − 6 = 0,
x 1,
x −1;
− 4 x 5,
x −3;
x1 = −3
x 2 = 2
x −3
− 4 x −1,
1 x 5;
Ответ: 2.
x=2

10.

Логарифмические уравнения. Примеры
Пример 4
7
x
lg
10
7
2
lg x + lg x + 1 =
lg x − 1
lg 2 x + lg x + 1 =
x
= lg x − lg 10 = lg x − 1,
10
где x 0, x 10
lg
пусть lg x = t , где t 1, тогда
7
t2 + t +1 =
t −1
(t − 1) t 2 + t + 1 = 7
Вернемся к исходной переменной
(
)
t 3 −1 = 7
lg x = 2
t3 = 8
x = 102
t =2
x = 100
Ответ: 100.

11.

Логарифмические уравнения. Примеры
Пример 5
log0,1x x + log0,2x x = 0
0,1x 1,
x 10,
ОДЗ : 0,2x 1, x 5,
x 0;
x 0;
lg x
lg x
lg x
log 0,1x x =
=
=
lg 0,1x lg 0,1 + lg x − 1 + lg x
log 0,2x x =
lg x
lg x
lg x
lg x
=
=
=
lg 0,2x lg 0,2 + lg x lg 1 + lg x − lg 5 + lg x
5
lg x
lg x
+
=0
− 1 + lg x − lg 5 + lg x
Пусть lg x = t , где t 1, t lg 5 тогда
t
t
+
=0
t − 1 t − lg 5

12.

Логарифмические уравнения. Примеры
Пример 5
t
t
+
=0
t − 1 t − lg 5
(t − 1)(t − lg 5 )
t (t − lg 5) + t (t − 1) = 0
t (t − lg 5 + t − 1) = 0
t (2t −lg 5 − 1) = 0
t = 0
t = lg 5 + 1 = lg 5 + lg 10 = lg 50 = lg 50
2
2
2
Вернемся к исходной переменной
lg x = 0
x =1
или
lg x = lg 50
x =5 2
Оба корня удовлетворяют ОДЗ
Ответ : 1; 5 2.

13.

Логарифмические уравнения. Примеры
Пример 6
x 1−log 5 x = 0,04
Т.к. обе части равенства принимают только положительные
значения, прологарифмируем их по основанию 5:
1
log5 0,04 = log5
= log5 5 −2 = −2
log5 x 1−log 5 x = log5 0,04
25
(1 − log5 x )log5 x = log5 0,04
ОДЗ : x 0
log5 x − log52 x = −2
пусть log5 x = t , тогда
t2 − t − 2 = 0
t1 = 2
t = −1
2
Вернемся к исходной переменной
log5 x = 2,
log x = −1;
5
x = 52 ,
x = 25,
x = 0,2.
−1
x = 5 ;
Ответ: 0,2; 25.

14.

Логарифмические уравнения. Примеры
Пример 7
(
)
ОДЗ :
x 1,
x 0;
Прологарифмируем обе части
по основанию 10 :
log x 3x lg x + 4 = 2lg x
(
По определению логарифма
x 2lg x = 3x lg x + 4
Пусть x
lg x
= t , где t 0 тогда
t − 3t − 4 = 0
2
)
lg x lg x = lg 4
lg x lg x = lg 4
lg 2 x = lg 4
lg x = lg 4
x = 10 lg 4
t = −1 − не удовлетворяет
t = 4
Вернемся к исходной переменной
x lg x = 4
Ответ : 10 lg 4.

15.

Логарифмические уравнения. Примеры
Пример 8
lg (2x − y ) + 1 = lg (y + 2x ) + lg 6,
Решите систему уравнений :
2log3 (x − y ) = log3 (y + 2)
lg (2x − y ) + lg 10 = lg (y + 2x ) + lg 6,
2x − y 0,
2
y + 2x 0
(
)
(
)
log
x
−
y
=
log
y
+
2
;
3
3
ОДЗ :
x − y 0,
lg ((2x − y )10 ) = lg ((y + 2x )6),
x = 2y ,
y + 2 0;
2
2
(x − y ) = y + 2;
y
− y − 2 = 0;
(2x − y )10 = (y + 2x )6,
x = 2y ,
2
(
)
x
−
y
=
y
+
2
;
y1 = −1,
y = 2;
2
20x − 10y = 6y + 12x ,
y1 = −1,
2
− не удовлетворяет ОДЗ
(x − y ) = y + 2;
x1 = −2;
x = 2y ,
y = 2,
2
2
(2y − y ) = y + 2;
x 2 = 4.
Ответ : (4; 2).