Логарифмическая функция и её свойства. Понятие логарифмического уравнения. Операция потенцирования

1.

y = loga х,
0<а<1
у
y = logax,
а>1
у
1
х
1
х
0
0

2. Основные свойства логарифмов

1. loga 1 = 0;
10. loga bm = m logab;
m
m
logab;
11. loga b =
k
logс b
;
12. loga b =
logс а
1
;
13. loga b =
logb а
14. loga b ∙ logc d =
2. loga a = 1;
1
3. loga a = -1;
1
;
4. logak a =
k
5. loga am = m;
m
m
6. logak a = ;
k
= logc b ∙ loga d
7. loga bc = logab + logac;
15. alog b = blog a
b
8. loga
= logab − logaс;
c
1
9. loga b = logab;
k
k
c
k
c

3. Понятие логарифмической функции

Функцию вида
y = logaх, где а ≠ 1, a > 0, х > 0
называют
логарифмической функцией

4. Свойства логарифмической функции y = logах, а ≠ 1, a > 0

Свойства логарифмической функции y = logах, а ≠ 1, a > 0
1.
2.
D(y) = (0; +∞),
E(y) = (-∞; +∞).
а) Нули функции: у = 0 при х = 1;
б) точек пересечения с осью ординат нет.
3.
а) При а > 1 функция возрастает на (0; +∞);
б) при 0 < а < 1 функция убывает на (0; +∞).
4.
Ни четная функция, ни нечетная.
5.
Не ограничена сверху, не ограничена снизу.
6.
Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
7.
Непрерывна.
8.
а) При а > 1 функция выпукла вверх;
б) при 0 < а < 1 функция выпукла вниз.
9. Ось у является вертикальной асимптотой графика
логарифмической функции.

5. График логарифмической функции y = logах, а ≠ 1, a > 0

График логарифмической функции
y = logах, а ≠ 1, a > 0
y = logaх, а > 1
у
0
y = logах, 0 < а < 1
у
1
х
0 1
х

6. Графики логарифмической функции y = logах, а ≠ 1, a > 0

Графики логарифмической функции
y = logах, а ≠ 1, a > 0

7. Свойства сравнения логарифмов при а ≠ 1, a > 0

Свойства сравнения логарифмов при а ≠ 1, a > 0
1. Если 0 < а < 1 и 0 < x1 < x2, то loga x1 > loga x2 .
2. Если а > 1 и 0 < x1 < x2, то loga x1 < loga x2 .
3. Если 1< а < b и x > 1, то loga x > logb x .
4. Если 0 < а < b < 1 и x > 1, то loga x > logb x .
5. Если 1< а < b и 0 < x < 1, то loga x < logb x .
6. Если 0 < а < b < 1 и 0 < x < 1, то loga x < logb x .
7. logab > 0 ⟺ a > 0, b > 0 и (a – 1)(b – 1) > 0 (если положительные
числа a и b лежат “по одну сторону от единицы”)
8. logab < 0 ⟺ a > 0, b > 0 и (a – 1)(b – 1) < 0 (если положительные
числа a и b лежат “по разные стороны от единицы”)

8. Логарифмические уравнения

Уравнения вида loga f(x) = logа h(х), где а ≠ 1, a > 0
называют логарифмическими уравнениями
⟺
loga f(x) = loga h(х)
f(x) = h(х)
f(x) > 0
h(х) > 0
Методы решения логарифмических уравнений:
1. Функционально-графический метод.
2. Метод потенцирования.
3. Метод введения новой переменной.

9. Логарифмические уравнения. Примеры

Пример 1
log3 x 2 3x 5 log3 7 2x
x 2 3x 5 7 2x
7 2x 0
x 2 x 12 0
x 3,5
x1 3
x 2 4
x 3,5
x 3
Ответ: -3.
Пример 2
log2 x 4 log2 2x 3 log2 1 2x
log2 x 4 2x 3 log2 1 2x
x 4 2x 3 1 2x
x 4 0
2x 3 0
1 2x 0
2x 2 13x 11 0
x 4
x 1,5
x 0,5
x 1 1
x 2 5,5
1,5 x 0,5
Ответ : 1.

10.

Логарифмические уравнения. Примеры
Пример 3
log x 4 x 2 1 log x 4 5 x
x 2 1 5 x ,
2
x 1 0,
5 x 0,
x 4 0,
x 4 1;
x 2 x 6 0,
x 1,
x 1;
4 x 5,
x 3;
x1 3
x 2 2
x 3
4 x 1,
1 x 5;
Ответ: 2.
x=2

11.

Логарифмические уравнения. Примеры
Пример 4
7
x
lg
10
7
2
lg x lg x 1
lg x 1
lg 2 x lg x 1
x
lg x lg 10 lg x 1,
10
где x 0, x 10
lg
пусть lg x t , где t 1, тогда
7
t2 t 1
t 1
t 1 t 2 t 1 7
Вернемся к исходной переменной
t 3 1 7
lg x 2
t3 8
x 102
t 2
x 100
Ответ: 100.

12.

Логарифмические уравнения. Примеры
Пример 5
log0,1x x log0,2x x 0
0,1x 1,
x 10,
ОДЗ : 0,2x 1, x 5,
x 0;
x 0;
lg x
lg x
lg x
log 0,1x x
lg 0,1x lg 0,1 lg x 1 lg x
log 0,2x x
lg x
lg x
lg x
lg x
lg 0,2x lg 0,2 lg x lg 1 lg x lg 5 lg x
5
lg x
lg x
0
1 lg x lg 5 lg x
Пусть lg x t , где t 1, t lg 5 тогда
t
t
0
t 1 t lg 5

13.

Логарифмические уравнения. Примеры
Пример 5
t
t
0
t 1 t lg 5
t 1 t lg 5
t t lg 5 t t 1 0
t t lg 5 t 1 0
t 2t lg 5 1 0
t 0
t lg 5 1 lg 5 lg 10 lg 50 lg 50
2
2
2
Вернемся к исходной переменной
lg x 0
x 1
или
lg x lg 50
x 5 2
Оба корня удовлетворяют ОДЗ
Ответ : 1; 5 2.

14.

Логарифмические уравнения. Примеры
Пример 6
x 1 log 5 x 0,04
Т.к. обе части равенства принимают только положительные
значения, прологарифмируем их по основанию 5:
1
log5 0,04 log5
log5 5 2 2
log5 x 1 log 5 x log5 0,04
25
1 log5 x log5 x log5 0,04
ОДЗ : x 0
log5 x log52 x 2
пусть log5 x t , тогда
t2 t 2 0
t1 2
t 1
2
Вернемся к исходной переменной
log5 x 2,
log x 1;
5
x 52 ,
x 25,
x 0,2.
1
x 5 ;
Ответ: 0,2; 25.

15.

Логарифмические уравнения. Примеры
Пример 7
ОДЗ :
x 1,
x 0;
Прологарифмируем обе части
по основанию 10 :
log x 3x lg x 4 2lg x
По определению логарифма
x 2lg x 3x lg x 4
Пусть x
lg x
t , где t 0 тогда
t 3t 4 0
2
lg x lg x lg 4
lg x lg x lg 4
lg 2 x lg 4
lg x lg 4
x 10 lg 4
t 1 не удовлетворяет
t 4
Вернемся к исходной переменной
x lg x 4
Ответ : 10 lg 4.

16.

Логарифмические уравнения. Примеры
Пример 8
lg 2x y 1 lg y 2x lg 6,
Решите систему уравнений :
2log3 x y log3 y 2
lg 2x y lg 10 lg y 2x lg 6,
2x y 0,
2
y 2x 0
log
x
y
log
y
2
;
3
3
ОДЗ :
x y 0,
lg 2x y 10 lg y 2x 6 ,
x 2y ,
y 2 0;
2
2
x y y 2;
y
y 2 0;
2x y 10 y 2x 6,
x 2y ,
2
x
y
y
2
;
y1 1,
y 2;
2
20x 10y 6y 12x ,
y1 1,
2
не удовлетворяет ОДЗ
x y y 2;
x1 2;
x 2y ,
y 2,
2
2
2y y y 2;
x 2 4.
Ответ : 4; 2 .

17. Логарифмические неравенства

Неравенства вида loga f(x) > logа g(х), где а ≠ 1, a > 0
называют логарифмическими неравенствами
loga f(x) > logа g(х)
а>1
f x g x ,
f x 0,
g x 0.
или
loga x f x loga x g x
0<а<1
f x g x ,
f x 0,
g x 0.
a x 1 f x g x 0,
f x 0,
g x 0,
a x 0.

18. Логарифмические неравенства. Примеры

Пример 1
log3 2x 4 log3 14 x
Пример 2
log 1 16 4x x 2 4
2
т.к. а 3 1, то
1
2
log 1 16 4x x log 1
2
2 2
2x 4 14 x ,
2x 4 0,
14 x 0;
log 1 16 4x x 2 log 1 16
2
2
1
1, то
2
16 4x x 2 16,
16 4x x 2 0; лишнее условие
4x x 2 0
x 2 4х 0
т.к . а
3x 18,
x 2,
x 14;
x 6,
x 2,
x 14;
x x 4 0
2
4
6
Ответ: (6; 14).
14
х
+
0
−
Ответ: [0; 4].
4
+
х

19.

Логарифмические неравенства. Примеры
Пример 3
lg x lg 45 x 2 lg 2
lg x 45 x lg100 lg 2
lg 45x x 2 lg 200
т.к . а 10 1, то
45x x 200,
45 x 0,
x 0;
2
Пример 4
log22 x 2 5log2 x 1 0 ОДЗ : x 0
2log x 5log x 1 0
2
2
2
2
2
4log x 5 log2 x 1 0
пусть log 2 x t , тогда
4t 2 5t 1 0
н .ф. : 4t 2 5t 1 0
1
t
1 4,
+
+
−
2
2
x 45x 200 0, н .ф. : х 45 tх2 200
0
1;
t
1
1
х1 5
x 45,
1,
4
х 40 ; t 1
x 0;
2 4
Вернемся к исходной переменной
+
−
+
1
х
log2 x 1, т.к . а 2, то
0 5
40 45
4
Ответ: (0; 5) ∪ (40; 45).
4
2 х 2
Ответ : [4 2 ; 2].

20.

Логарифмические неравенства. Примеры
Пример 5
logx 2 2x 3 logx 2 24 6x
Возможны два случая :
x 2 1,
2x 3 24 6x ,
1
2x 3 0,
24 6x 0;
x 3,
x 27 ,
8
x 1,5,
x 4;
1,5 3 3,375 4
x ∈ (3,375; 4)
0 x 2 1,
2x 3 24 6x ,
2
2x 3 0,
24 6x 0;
2 x 3,
x 27 ,
8
x 1,5,
x 4;
х
1,5 2 3
Ответ: (2; 3)∪(3,375; 4) .
х
3,375 4
x ∈ (2; 3)

21. Используемые материалы

1. Алгебра и начала анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для общеобразоват.
учреждений (профильный уровень) / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. 2-е изд.,
стер. – М.: Мнемозина, 2008
2. http://ru.wikipedia.org/wiki - логарифмические линейки
3. http://ru.wikipedia.org/wiki - логарифм
Комплексный логарифм
(мнимая часть)