Логарифмические уравнения

1.

2.

Логарифмические уравнения
Уравнения вида loga f(x) = logа h(х), где а ≠ 1, a > 0
называют логарифмическими уравнениями
⟺
loga f(x) = loga h(х)
f(x) = h(х)
f(x) > 0
h(х) > 0
Методы решения логарифмических уравнений:
1. Функционально-графический метод.
2. Метод потенцирования.
3. Метод введения новой переменной.

3.

Логарифмические уравнения. Примеры
Пример 1
log3 x 2 3x 5 log 3 7 2x
x 2 3x 5 7 2x
7 2x 0
x 2 x 12 0
x 3,5
x 1 3
x 2 4
x 3,5
x 3
Ответ: -3.
Пример 2
log2 x 4 log2 2x 3 log2 1 2x
log2 x 4 2x 3 log2 1 2x
x 4 2x 3 1 2x
x 4 0
2x 3 0
1 2x 0
2x 2 13x 11 0
x 4
x 1,5
x 0,5
x1 1
x 2 5,5
1,5 x 0,5
Ответ : 1.

4.

Логарифмические уравнения. Примеры
Пример 3
log x 4 x 2 1 log x 4 5 x
x 2 1 5 x ,
2
x 1 0,
5 x 0,
x 4 0,
x 4 1;
x 2 x 6 0,
x 1,
x 1;
4 x 5,
x 3;
x1 3
x 2 2
x 3
4 x 1,
1 x 5;
Ответ: 2.
x=2

5.

Логарифмические уравнения. Примеры
Пример 4
7
x
lg
10
7
2
lg x lg x 1
lg x 1
lg 2 x lg x 1
x
lg x lg 10 lg x 1,
10
где x 0, x 10
lg
пусть lg x t , где t 1, тогда
7
2
t t 1
t 1
t 1 t 2 t 1 7
Вернемся к исходной переменной
t3 1 7
lg x 2
t3 8
t 2
x 102
x 100
Ответ: 100.

6.

Логарифмические уравнения. Примеры
Пример 5
log0,1x x log0,2x x 0
0,1x 1,
x 10,
ОДЗ : 0,2x 1, x 5,
x 0;
x 0;
lg x
lg x
lg x
log0,1x x
lg 0,1x lg 0,1 lg x 1 lg x
log 0,2x x
lg x
lg x
lg x
lg x
lg 0,2x lg 0,2 lg x lg 1 lg x lg 5 lg x
5
lg x
lg x
0
1 lg x lg 5 lg x
Пусть lg x t , где t 1, t lg 5 тогда
t
t
0
t 1 t lg 5

7.

Логарифмические уравнения. Примеры
Пример 5
t
t
0
t 1 t lg 5
t 1 t lg 5
t t lg 5 t t 1 0
t t lg 5 t 1 0
t 2t lg 5 1 0
t 0
t lg 5 1 lg 5 lg 10 lg 50 lg 50
2
2
2
Вернемся к исходной переменной
lg x 0
x 1
или
lg x lg 50
x 5 2
Оба корня удовлетворяют ОДЗ
Ответ : 1; 5 2.

8.

Логарифмические уравнения. Примеры
Пример 6
x 1 log 5 x 0,04
Т.к. обе части равенства принимают только положительные
значения, прологарифмируем их по основанию 5:
1
log5 0,04 log5
log5 5 2 2
log5 x 1 log 5 x log5 0,04
25
1 log5 x log5 x log5 0,04
ОДЗ : x 0
log5 x log52 x 2
пусть log5 x t , тогда
t2 t 2 0
t1 2
t 1
2
Вернемся к исходной переменной
log5 x 2,
log x 1;
5
x 52 ,
x 25,
x 0,2.
1
x 5 ;
Ответ: 0,2; 25.

9.

Логарифмические уравнения. Примеры
Пример 7
log x 3x lg x 4 2lg x
ОДЗ :
Прологарифмируем обе части
по основанию 10 :
x 1,
x 0;
По определению логарифма
x 2lg x 3x lg x 4
Пусть x
lg x
t , где t 0 тогда
t 3t 4 0
2
lg x lg x lg 4
lg x lg x lg 4
lg 2 x lg 4
lg x lg 4
x 10 lg 4
t 1 не удовлетворяет
t 4
Вернемся к исходной переменной
x lg x 4
Ответ : 10 lg 4.

10.

Логарифмические уравнения. Примеры
Пример 8
lg 2x y 1 lg y 2x lg 6,
Решите систему уравнений :
2log3 x y log3 y 2
lg 2x y lg 10 lg y 2x lg 6,
2x y 0,
2
y 2x 0
log
x
y
log
y
2
;
3
3
ОДЗ :
x y 0,
lg 2x y 10 lg y 2x 6 ,
x 2y ,
y 2 0;
2
2
x y y 2;
y
y 2 0;
2x y 10 y 2x 6,
x 2y ,
2
x
y
y
2
;
y1 1,
y 2;
2
20x 10y 6y 12x ,
y1 1,
2
не удовлетворяет ОДЗ
x y y 2;
x1 2;
x 2y ,
y 2,
2
2
2y y y 2;
x 2 4.
Ответ : 4; 2 .