Вычисление частных производных

1. Тема: Нахождение частных производных и полного дифференциала функции.

2. Основные понятия:

◼ Частную производную по х обозначают
одним из следующих символов
z
f
; z x ;
; f x
x
x
Аналогично определяется частная
производная по у и вводятся её
обозначения.
◼ Полный дифференциал функции z = f (х; у )
Вычисляется по формуле
f
f
◼
df =
x
dx +
y
dy

3. Основные понятия:

◼
◼
Частные производные вычисляются по тем же правилам, что
и вычисление производных функций одной переменной,
когда находим частную производную по х, то переменная у
считается константой (постоянным числом)
Частной производной второго порядка от функции f х; у ,
дифференцируемой в обл. D, называется первая
производная от соответствующей частной производной.
(
f xx ;
f xy ;
f yx ; f yy
f f f f
;
;
;
2
x
x y y x y y
2
2
2
2
)

4. Основные понятия:

Теорема о смешанных частных производных:
Если в некоторой окрестности точки М0(х0;у0) функции
◼
имеет смешанные частные производные
f (х; у )
2 f 2 f
;
x y y x
Причём эти производные непрерывны в точке М0, то они равны в
этой точке
2 f
2 f
=
x y y x

5. Задание 1: Найдите частные производные первого порядка функции

z (х; у ) = x − y + 2 xy + 5
z
2
= 3x + 2 y
x
z
= −2 y + 2 x
y
3
2

6. Задание 2: Найдите полный дифференциал функции

z (х; у ) = е
ху
z
z
dz = dx + dy
x
y

7. Задание 2: Найдите полный дифференциал функции

z ( х; у ) = е
ху
z
ху
ху
= е ( ху)х = у е
x
z
z
z
ху
dz = dx + dy
= х е
x
y
y
dz = у е dx + х е dy
ху
dz = е
ху
ху
( уdx + хdy)

8. Задание 3: Найдите полный дифференциал функции

z
z
z ( х; у ) = x + y
2
dz =
2
x
dx +
y
dy

9. Задание 3: Найдите полный дифференциал функции

z
z
dz =
z (х; у ) = x 2 + y 2
z
1
=
2x =
2
2
x 2 x + y
x
x2 + y2
z
1
=
2y =
2
2
y 2 x + y
dz =
dz =
x
x +y
2
2
xdx + ydy
x2 + y2
dx +
y
x2 + y2
y
x +y
2
2
dy
x
dx +
y
dy

10. Задание 4: Найдите все частные производные второго порядка для функции

z (х; у ) = у − 4 х у − 6 xy + 2 х − у + 5
5
2
4
3

11. Задание 4: Найдите все частные производные второго порядка для функции

z ( х; у ) = у 5 − 4 х 2 у 4 − 6 xy3 + 2 х − у + 5
z
= −4 у 4 2 x − 6 y 3 + 2 = −8 у 4 x − 6 y 3 + 2
x
z
= 5 у 4 − 4 х 2 4 у 3 − 6 x 3 y 2 − 1 = 5 у 4 − 16 х 2 у 3 − 18 xy2 − 1
y

12. Задание 4: Найдите все частные производные второго порядка для функции

z (х; у ) = у 5 − 4 х 2 у 4 − 6 xy3 + 2 х − у + 5
z
= −8 у 4 x − 6 y 3 + 2
x
2 z
4
3
4
=
−
8
у
x
−
6
y
+
2
=
−
8
у
х
2
х
2 z
= − 8 у 4 x − 6 y 3 + 2 у = −8 x 4 у 3 − 6 3 y 2 = −32 ху3 − 18 y 2
х у
(
)
(
)

13. Задание 4: Найдите все частные производные второго порядка для функции

z ( х; у ) = у 5 − 4 х 2 у 4 − 6 xy3 + 2 х − у + 5
z
= 5 у 4 − 16 х 2 у 3 − 18 xy2 − 1
y
2z
4
2 3
2
3
2
2
=
5
у
−
16
х
у
−
18
xy
−
1
=
5
4
у
−
16
х
3
у
− 18 x 2 y =
у
2
у
(
)
= 20 у 3 − 48 х 2 у 2 − 36 xy
2z
= 5 у 4 − 16 х 2 у 3 − 18 xy2 − 1 х = −16 у 3 2 х − 18 y 2 = −32 ху3 − 18 y 2
у х
(
)

14. Задание 5: Показать, что функция удовлетворяет уравнению

Задание 5:
Показать, что функция z(х; у) = sin (2x − 3 y)
удовлетворяет уравнению
2 f
2 f
=
x y y x

15. Задание 5: Показать, что функция удовлетворяет уравнению

Задание 5:
Показать, что функция z(х; у) = sin (2x − 3 y)
удовлетворяет уравнению
2 z
2 z
=
x y y x
z
= cos(2 x − 3 y ) (2 x − 3 y )x = 2 cos(2 x − 3 y )
x
z
= −3 cos(2 x − 3 y )
y

16. Задание 5: Показать, что функция удовлетворяет уравнению

Задание 5:
Показать, что функция z(х; у) = sin (2x − 3 y)
удовлетворяет уравнению
2 z
2 z
=
x y y x
z
= 2 cos(2 x − 3 y )
x
2z
= (2 cos(2 x − 3 y ))у = −2 sin (2 x − 3 y ) (− 3) =
х у
= 6 sin (2 x − 3 y )

17. Задание 5: Показать, что функция удовлетворяет уравнению

Задание 5:
Показать, что функция z(х; у) = sin (2x − 3 y)
удовлетворяет уравнению
z
= −3 cos(2 x − 3 y )
2 z
2 z
=
x y y x
y
2z
= (− 3 cos(2 x − 3 y ))х = 3 sin (2 x − 3 y ) 2 =
у х
= 6 sin (2 x − 3 y )
Вывод : Смешанные производные второго порядка равны.