Математика-Ч.2-2012г.-Столбов-П.В

1.

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования «Нижегородский государственный
архитектурно-строительный университет»
Институт экономики, управления и права
П.В. Столбов
Математика
Часть II
Утверждено редакционно-издательским
советом университета в качестве
учебного пособия
Нижний Новгород
ННГАСУ 2012

2.

ББК 22.1
С 81
Столбов П.В. Математика. Часть II [текст]: учебное пособие / П.В. Столбов;
Нижегород. гос. архит.-строит. ун-т.- Н.Новгород: ННГАСУ, 2012. - 62 с.
ISBN 978-5-87941-880-0
Учебное пособие и контрольные задания по математике предназначены
для студентов заочной формы обучения всех специальностей.
ББК 22.1
ISBN 978-5-87941-880-0
© Столбов П.В., 2012
2

3.

§ 1. ФУНКЦИЯ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
1. Основные понятия
Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости,
существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие
функциональной зависимости и ввести понятие функции двух переменных, для
которой можно дать наглядную геометрическую интерпретацию.
Пусть задано множество D упорядоченных пар чисел (х, у) плоскости
О х у.
Правило f, по которому каждой паре чисел (х, у) множества D ставится в
соответствие одно и только одно действительное число z называется функцией
двух переменных, заданной на множестве D со значениями в R и обозначается:
z = f ( Х У ), ( х , у ) е D .
Множество D = D(f) называется областью определения функции.
Множество значений, принимаемых z в области определения, называется
областью изменения этой функции и обозначается E = E (f).
При этом х и у называются независимыми переменными (аргументами), а
z - зависимой переменной (функцией).
Пример. Площадь S прямоугольника со сторонами, длины которых равны
х и у является функцией двух переменных: S = х ■ у. Область
определения D этой функции S есть множество {(х, у) х > 0, у > б}. (См. рис. 1).
3

4.

Функцию z = f (x, y), где (x, y)e D можно рассматривать как функцию точки M (x,
y) координатной плоскости Oxy. В частности, областью
определения D может быть вся плоскость R2 или ее часть, ограниченная
некоторыми линиями.
Пример. Найти область определения функции z
1
7—7—7'
Решение. Функция z существует для тех пар значений x и y, которые
удовлетворяют неравенству 9 — х2 — у2 > 0 или х2 + у2 < 9, то есть представляет
собой круг, не включая границу, с центром в начале координат и радиусом R = 3.
Графиком функции двух переменных z = f (x, y) называется множество
точек (x, y, f (x, y)) трехмерного пространства, представляющее собой некоторую
поверхность (рис. 3), которая геометрически изображает данную функцию z.
4

5.

Z=f(x,y)
Рис. 3
Пример. Функция z = ^J9 - x2 - y2 имеет областью определения D
замкнутый круг x2 + y2 < 9 и изображается верхней полусферой с центром в
точке 0(0,0,0) и радиусом R = 3 (см. рис. 4).
x
Рис. 4
Функция двух переменных, как и функция одной переменной, может быть
задана различными способами: таблицей, аналитически, графиком. Будем
пользоваться аналитическим способом: когда функция двух переменных
задается с помощью формулы.
Как правило, построение поверхности оказывается довольно трудной
задачей. Поэтому для изучения функции используют линии уровня. Понятие
линии уровня широко используется, прежде всего, в геодезии, картографии, а
5

6.

также при описании различных физических полей (температура, давление и пР).
Линией уровня функции двух переменных z = f (x, у) называется кривая, f
(x, у)= C на плоскости Oxy в точках которой функция сохраняет постоянное
значение z = C.
Геометрически придание функции z постоянного значения C означает
пересечение поверхности z = f (x, у) с плоскостью z = C, параллельной
координатной плоскости Oxy.
Пример. Построить линии уровня функции z = х2 + у2 — 2 у.
Решение. Линии уровня данной функции - это семейство кривых на
плоскости Oxy, задаваемое уравнением х2 + у2 — 2у = С или х2 + (у — 1)2 = С
+1. Это уравнение определяет семейство окружностей с
центром в точке (0,1) и радиусом VC+1; точка (0,1) - это вырожденная линия
уровня, соответствующая минимальному значению функции z = —1(рис. 5).
2. Предел и непрерывность функции двух переменных
Большая часть понятий математического анализа, определенных ранее
для функций одной переменной, может быть перенесена на случай двух
переменных.
6

7.

£ -окрестностью точки М0 (х0, у0) е Х называется круг, с центром в точке
М0 и радиусом £.
Пусть функция z = f (x, у) определена в некоторой окрестности точки
(х0, у0), за исключением, может быть, самой этой точки. Число А называется
пределом функции z = f (x, у) при х — х0 и у — у0 (или в точке (х0, у0)), если для
любого, сколь угодно малого положительного числа £> 0, найдется
положительное число 8 > 0 (зависящее от £), такое, что для всех точек из 8 окрестности точки (х0, у0), выполняется неравенство
\ f (x у) - А \<£.
Обозначается предел так: lim f (x, у) = А.
Х^Хо
у— Уо
Геометрический смысл предела функции двух переменных состоит в
следующем: каково бы ни было число £ > 0, найдется 8 - окрестность точки (х0,
у0), что во всех ее точках (х, у), отличных от (х0, у0), аппликаты
соответствующих точек поверхности z = f(x, у) отличаются от числа А по
модулю меньше, чем на £.
ln(1 - x2 - у2)
Пример. Найти предел lim 2
x —
x + у2
—0
у—0
Решение. Обозначим ^х2 + у2 = а. Условие х — 0, у — 0 равносильно
тому, что а — 0. Тогда данный предел запишется в виде
ln(1 - x2 - у2) ln(1 -а2)
lim—I , , = limx—0 Л x + V а—0 а
у—0
'
v
0
0
неопределенность раскрывается по правилу Лопиталя
= lim
а—0
1
• (-2а)
2
1
-а
= 0.
lim
1
а—0
ln(1 -а2)’
а
7

8.

Полным приращением функции z = f (x, у) в точке (x0, у0) называется
выражение Az = f (x, у) — f (x0, y0), где (x, у) - любая точка из области
определения функции.
Обозначим Ax = x — x0, Ay = у — у 0, тогда
Az = f (x0 +A^ У 0 +АУ) — f (x0, У 0).
Функция z = f (x, у) называется непрерывной в точке М0(^у0) е Х-если ее
полное приращение в этой точке стремится к нулю при Ax ^ 0 и Ay ^ 0 , то
есть lim Az = 0-
Ax
^-0
Ay
^0
3. Частные производные и дифференцируемость
функции двух переменных
Частным приращением функции z = f (x, у) в точке (х0, у0) по переменной
х называется выражение Axz = f (x0 + Ax, у0) — f (x0, у0).
Частным приращением функции z = f (x, у) в точке (х0, у0) по переменной
у называется выражение Ayz = f (x0, у0 + Ay) — f (x0, у0).
Частной производной от функции z = f (x, у) по переменной х
называется предел отношения частного приращения Axz к приращению Ax
аргумента x при стремлении Ax к нулю.
Обозначают частные производные одним из символов
' ^
д
z , V или Vf (x у).
x
dx dx
dz f (x + Ax, у) — f (x, у)
Итак, по определению — = lim-.
dx Ax^0 Ax
Т/Г
Аналогично определяется частная производная по переменной у:
8

9.

Oz
л.
f(x, y + Ay) - f(x, y)
— = lim---
Oy Ay^o Ду
Из определения частных производных следует, что их нахождение
сводится к обычному дифференцированию данной функции одной выделенной
переменной
при
условии,
что
все
остальные
переменные
считаются
константами.
Пример. Найти частные производные функций:
а) z = x sin y + y ,
б) z = xy
Решение. а) z = x3 sin y + y4. Чтобы найти частную производную по x,
_ Oz 2
считаем y постоянной величиной. Таким образом, — = 3х • sin y.
Ox
Аналогично, дифференцируем по y, считая x постоянной, находим частную
Oz
.3
производную по y: — = х •3cos y + 4y
Oy
б) z = xy. При фиксированном y имеем степенную функцию от x.
Oz _х
Таким образом, — = у • ху . При фиксированном x функция является
Ox
Oz y ,
показательной относительно y и — = xy • ln x.
Oy
Функция z = f (x, y) называется дифференцируемой в точке (х0, у0),
если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде
Az = А •Ax + В •Ay + aAx + p^Ay, (1)
где A и B - некоторые числа; а и 3 - бесконечно малые при Дх ^ 0, Ду ^ 0 функции
z, то есть Lima = 0 и Lim3 = 0.
!
Ax^0 Ax^0
Ay^-0 Ay^-0
9

10.

Теорема. Если функция z = f (х, у) дифференцируема в точке M(х0, у0) то она
непрерывна в этой точке и имеет в ней частные производные по
л dz dz
dz
каждому
аргументу — и —, причем
= А dz
— =В
дх ду
дх
у д
м
Ум
В силу теоремы, равенство (1) можно записать в виде
dz dz
Az = --Ax + —
дх
•Ay + а • Ax + 3 • Ay,
(2)
ду
4. Дифференцирование сложных функций
Пусть задана функция z = f (х, у), где переменные х и у, в свою очередь,
являются функциями независимой переменной t: х = х^),. у = уХ) Тогда функция
z = f [х(t), у(t)] будет сложной функцией независимой переменной t, а
переменные х и у будут для нее промежуточными переменными.
Теорема. Если функции х = х(t) и у = у(t) дифференцируемы в точке t, а
функция z = f (х, у) дифференцируема в точке M{y(t); у(t)), то сложная функция
z = f [х(t), у(t)] также дифференцируема в точке t, причем
dz дz йх дz dv
— =---+---21 . (1)
dt дх dt ду dt
dz х _ 2
Пример. Найти —, где z = co^, х = 2t +1 . dt у
Решение. Найдем сначала
дz
дх
дz дz dx dy дх ду ’
dX dt
х 1 (- sin —)
•—
уу
дz
ду
10
( - s i n х) • ( - х), у у

11.

dx _ _ dy 1
— = 2 + 2/, -^- = —F.
dt dt 2d t
Тогда, согласно формуле (1), имеем
r .x^
dz _ dz dx dz dy _ dt dx dt
dy dt
(_ x_ Л
( . xЛ
1
1
241
- sin — — (2 + 2t) + - sin —
y
VyJ
VyJ
V2 y
J
2
\
f
f
f
2t +1
2t
+1
1 (2 + 2t) +
1
2t +12 Л
- sin
- sin 4t
2
4
1
■'ft J -ft
tJ
V
V
V
f
2t +1 2 — (1 + 1,5t).
- sin
■ft J -'ll
2
V
5. Дифференцирование неявных функций
Функция z = f (x, y) называется неявной, если она задается уравнением
F(x, y, z) = 0, (1)
неразрешенным относительно z.
Найдем частные производные — и — неявной функции z, заданной
dx dy
уравнением (1). Для этого, подставив в уравнение вместо z функцию f (x, y),
получим тождество F(x, y, f (x, y)) = 0. Частные производные по x и по y
функции, тождественно равной нулю, также равны нулю:
d dF dF dz
- F (x, y, f (x, y)) = — + — • — = 0,
dx dx dz dx
Откуда
d dF dF dz
- F (x, y, f (x, y)) = — + — • — = 0.
dy dy dz dy
dz
F1
dx
F1
F1
F (F * °).
dz
и
dy
11
(2)

12.

dz dz z 2
Пример. Наити —, —, где e + z — x y +1 = 0. dx dy
Решение. Здесь F(x, y, z) = ez + z — x2 y +1,
F' = —2xy, F' =—x2, F' = ez +1.
x ✓5y
5z
Тогда по формуле (2) имеем:
dz _ 2 xy
dz x2
dx ez +1 dy ez +1
6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Пусть функция z = f (x, y), дифференцируемая в точке (х0, ), задает
в пространстве поверхность S. Пересечем эту поверхность плоскостями х = х0 и
у = у0 (см. рис.4). Плоскость х = х0 пересекает поверхность S по
некоторой линии z0 (y), уравнение которой получается подстановкой в
выражение исходной функции z = f (x, y) вместо x числа х0. Точка
М о(хо, У о, f (xo, y о)) принадлежит кривой zo( y ).
12

13.

В силу дифференцируемости функции z — f (X, у) в точке М0 функция
z ( у ) также является дифференцируемой в точке у
0
— у 0 . Следовательно, в
этой точке плоскости X — Х0 к кривой Z 0 ( у ) может быть проведена
касательная l 1 . Проводя аналогичные рассуждения для сечения У — У0,
построим касательную l2 к кривой z 0 (x) в точке X — Х0 . Прямые l 1 и l2
определяют плоскость ( X , которая называется ка са т ел ьн о й
Мг
плоскостью к поверхности SS
в точке - — 0.
Прямая, проходящая через точку М0 (х0, у0, z0) и перпендикулярная
касательной плоскости, построенной в этой точке поверхности, называется
нормалью к поверхности в точке М 0( х0> Уо, z 0) ■
Теорема. Если функция z — f (x, у) дифференцируема в точке (х0, у0), то
касательная плоскость к поверхности, заданной уравнением z — f (x, у), в точке
М0 (х0, у0, z0) определяется уравнением
z - z 0 = fx (X0?Уо) • (x - X0) + f'(x0,Уо) • (у - Уо).
(!)
а нормаль к этой поверхности в заданной точке имеет уравнение
X - X,
у - у0
f x( Xo> уо) f y ( X о , у o')
z — zо
-1
(2)
Если поверхность задана неявно уравнением F ( X, у, z ) — 0 и
функция F ( X, у, z ) дифференцируема в точке М0 (х0, у0, z0), то касательная
плоскость к этой поверхности в точке М0 (х0, у0, z0) определяется
уравнением F' • (X - X0 ) + Fv • (у - у0) + F' • (z - zn) — 0,
X M v 0J у M
z
0/
0
0 s°s
M0 v
а нормаль к этой поверхности в заданной точке имеет уравнение
13
(3)

14.

* “ *0 У - У 0 z - z0
F'
F<
*
Mоу
(4)
F/
M оM 0
z
Замечание. Формулы касательной плоскости и нормали к поверхности
получены для обыкновенных, то есть не особых точек поверхности. Точка М0
поверхности называется особой, если в этой точке все частные производные
равны нулю или хотя бы одна из них не существует. Такие точки мы не
рассматриваем.
Пример. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к
поверхности: а) * = *2 + у2 в точке М0 (1,-1, 2), б) *2 - 4y2 + 2z2 = 6 в точке
Мо(2, 2, 3).
Решение. а) Поверхность задана явно, поэтому воспользуемся формулами
(1), (2). Здесь
/ = 2*, /*'(1-1Д) = 2 -1 = 2,
/ = 2у, /:(1,-1,2) = 2 - (-1) = -2.
Тогда искомое уравнение касательной плоскости имеет вид: z - 2 = 2 - (* 1) + (-2) - (у - (-1)) или 2 * - 2у - z - 2 = 0 и уравнение нормали:
* -1 у +1 z - 2 2 - 2 1'
б) Поверхность задана неявно, поэтому воспользуемся формулами (3), (4).
Здесь
F (*, у, z) = *2 - 4у2 + 2z2 - 6,
F = 2 *, F* (2,2,3) = 2 - 2 = 4, F; =-8у, F‘y (2,2,3) = -8 - 2 = -16,
F/ = 4z, F (2,2,3) = 4 - 3 = 12.
Тогда искомое уравнение касательной плоскости имеет вид:
14

15.

4 • (x - 2) + (-16) • (y - 2 ) + 12 • (z - 3) = 0
или
x - 4y + 3z - 3 = 0
x-2y-2z-3
и уравнение нормали: -=-=4 -16 12
7. Полный дифференциал функции двух переменных и его
геометрический смысл
Дифференциалом dz дифференцируемой в точке (х0, у0) функции
z = f (x, у) называется главная линейная часть полного приращения этой
функции в точке (х0, у0), то есть
dz dz
(1)
dz =--Ах +---Ду.
dx dy
Если положить z = х, то dz = dx = 1 • Дх + 0 • Ду = Ax, то есть dx = Ax.
Аналогично, полагая z = у, получим, что dy = Ду. Таким образом,
дифференциалы независимых переменных совпадают с приращениями этих
переменных, то есть
Геометрический
функции
Az
dz dz
dz =--dx +---dy.
dx dy
смысл дифференциала:
представляет
геометрически
(2)
если
полное
приращение
AC
приращение
аппликаты
поверхности z = f (x, y), то дифференциал функции dz есть приращение AB
аппликаты касательной плоскости к поверхности z = f (x, y) в данной точке,
когда переменные x и y получают приращения Ax и Ay (см. рис.7).
15

16.

Напомним, что если функция z — f (x, у) дифференцируема в точке (х0,
у0), то ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде
dz dz
Az — — ( XQ, Уо) - Ax + — (x0, уо) • Ay + а(Лх, Лу) - Ax + j3(Ax, Ay) • Ay
(3)
Из соотношений (2) и (3) следует, что при достаточно малых | Ax | и | Ay |
имеет место приближенное равенство Az ^ dz. Отсюда получаем формулу
приближенных вычислений:
f 0 + Лх, УО + Ay) — f (x0, УО) + f!(xо, УО) -Ax + f (хо, УО) ‘АР
(4)
(x
Пример. Вычислить приближенно ln(l,98 — ТШ).
Решение. Рассмотрим функцию
f (x, у) — ln(x — ^/y). Тогда
ln(l,98 — д/l0l) — ln((x0 + Ax) — yly0 + Ay),
где
x0 — 2, Ax — —0,02,.
y0 — 1, Ay — 0,01. Воспользуемся формулой (4), предварительно найдя f'x и
fx'( Хо, Уо) = fx'(2,1)
16
1
2—
VI
—1,

17.

1
fy(X» Ус) = fy(2,1)
1^
2 V1 .2
1
2-Л
-0,5.
\
Следовательно,
ln(l,98 —Д,01)»ln(2 —71)+1 • (-0,02) + (-0,5) • 0,01 = -0,025.
Для сравнения: используя микрокалькулятор, находим:
ln(1,98 - 7Ш) « -0,025305051.
8. Производная по направлению. Градиент
Пусть в области D, в которой определена функция z = f (х, у), в некоторой
внутренней точке М0 (x0, у0) задано направление вектором i (см. рис.8). Нас
интересует поведение функции при движении точки М( х, у) в этом
направлении. Пусть t расстояние между точками М0 и M, а
e = cosai + sin a j - единичный вектор заданного направления i. Тогда
координаты точки М (х, у) равны: x = x° +t cosa’ y = yo +t sina. Если точка M
стремится к точке М0 в заданном направлении, то t ^ 0.
Производной функции z = /(х, у)
в точке М0 (х0, у0) в заданном
направлении i называется предел
lim / (хр +1 CoSa,У° + 1 sina)- f (XQ,У0 ^ / t ^°
17
t
di

18.

dzdz
В частности, частные производные —; — это производные по
дxду
направлению координатных осей Ox и Оу соответственно. Оказывается, что для
функции, имеющей непрерывные частные производные, производная по
направлению выражается через частные производные в данной точке. Чтобы
это доказать, нам необходимо научиться находить частные производные
сложных функций.
Производная
dz
д1
характеризует скорость изменения функции в
направлении l .
Теорема. Если функция z = f (x, у) дифференцируема в точке (х0, у0).
dz то производная — по направлению l = {cosa, sin а} в точке (х0, у0)
dl
определяется формулой
dz
f ( х , Уо) •cos а
dl ( х 0 , У о ) =
l 0
+ fy (
а,
(1)
х , , уу0 )V•'s i n0 ’ Л 0 w
где e = {cos а, sin а} - единичный вектор заданного направления e
Замечание. Если направление l задано вектором a = {ах, а2}, то
производная — функции z = f (x, у) по направлению l может быть
dl
подсчитана по формуле
dz а
Т7 (xo, уо) = f/( x0, уо) -7=2=^-
dl Ца 2 + a
2
,
+ fA xo, уо)
_2 J у \ о 5Jо -
a2
I2
-фах + a2
о4
3
Пример. Найти производную от функции z = 3x — xy + у в точке
М(1,2) в направлении, составляющим с осью Ox угол в боо.
Решение. Направление задано углом наклона к оси Ox, поэтому
воспользуемся формулой (1).
18
(2)

19.

f x = 12x’ - у,
y ri ) = f(1,2) = 12-13 -2 = 10
f = -x + 3y2, / ; ( X o , Уо ) = / (1,2) = -1 + 3 • 22 = 11,
dz
(1,2) = 10 • cos 60° +11 • sin 60° =
dl
= 10 • 0,5 +11 • 0,W3 = 5 + 5,5л/3.
Пример. Найти производную от функции z = ln(X2 + 2y) в точке
М(1;2) найти производную по направлению a = 3i — 4J .
Решение. Направление задано координатами вектора a, поэтому
воспользуемся формулой (2).
2
21
/ I = - г ^ , / : X(X0, У0) = / : (1,2) =^—=0,4
x+2у
fу
2 г-» ,
уx+2уу
//(X0, У0) = fy (1,2)
^ У (х0 , у 0
dz (1,2)
3 = 0,4 • , . 3
дГ"
л/32 + (-4)2
?1 5
12 + 2 • 2
2
= 0,4,
12 + 2 • 2
. + 0,4
’
-4
= -0,08
V32 + (-4)2
Рассмотрим понятие градиента функции z = f (x, у).
Градиентом grad z функции z = f (x, у) называется вектор с
координатами {fx', f } .
Свойства градиента
1. Производная функции z = f (x, у) по направлению l есть скалярное
произведение градиента grad z и единичного вектора e = {cosa,cos^}, задающего
направление l .
dz = grad z • e di
19

20.

2. Градиент grad z функции z = f (x, y) в данной точке характеризует
направление максимальной скорости изменения функции в этой точке, причем
.
J= =1 gradz
3. Если градиент grad z дифференцируемой функции z = f (x У) в
точке М0 (х0, у0) отличен от нуля, то вектор grad z перпендикулярен линии
уровня, проходящей через данную точку.
Пример. Найти градиент функции z = 3x4 - xy + у3 в точке М(1,2).
Решение. Находим
fX = 12x5 - у, fX ( x 0 , y „ ) = fx (1,2) = 12 • 13 - 2 = 10 , fl = - x + 3y\ fy(Xo,
Уо) = fy (1,2) = -1 + 3 • 22 = 11.
Следовательно, grad z(1,2) = {10, 11}.
§ 2. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
1. Частные производные высших порядков. Экстремумы
функции двух переменных
Если частные производные fX и f функции z = f (x, у) сами являются
дифференцируемыми функциями, то можно найти также и их частные
производные, которые называются частными производными второго порядка, то
есть
f77 = (f7 У f" = (f7) f" = ( f / )
J xx \J x Zx ’
d xy \d x /у ’
j yx V у /x ’
f 77 = ( f 7)
j yy \d У /у '
Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и т.д. порядков.
Частная производная второго и более высокого порядка, взятая по
20

21.

различным переменным, называется смешанной частной производной. Имеет
место следующая теорема.
Теорема. Если частные производные второго порядка функции z = f (x, у)
непрерывны в точке М0 (х0, у0), то в этой точке смешанные
частные производные равны, то есть fxy (Х0, у0) = fyx (x0, у0).
Пример. Найти частные производные второго порядка функции z = 3x4 xy + у3.
Решение. Так как fX = 12x3 - у, fy =-x + 3у2, то
f l = (l2x3 - у) x = 36x2,
К =(1
У = ( - x + 3 у 2 )x =-1,
x = (-
■у X =-1,
x
;у2 )у. = бу.
Понятие максимума, минимума, экстремума функции двух переменных
аналогичны соответствующим понятиям функции одной переменной.
Пусть функция z = f (x, у) определена в некоторой окрестности точки
(х0, у0 ). Точка (х0, у ) называется точкой максимума (минимума) функции
z = f (x, у), если существует такая 8 - окрестность точки (х0, у ), что во всех
ее точках (х, у), отличных от (х0, у), выполнятся неравенство
f ( x у ) < f ( xo,у о) ( f ( x у ) > f ( у о ) ) .
21

22.

На рисунке 9: N - точка максимума, а N - точка минимума функции z = f (х,
y). Максимум и минимум функции называются ее экстремумами.
Теорема (необходимые условия экстремума). Если в точке (х0, у)
дифференцируемая функция z = f (х, у) имеет экстремум, то ее частные
производные в этой точке равны нулю: f'x (х0, у ) = 0, fy (х0, у ) = 0.
Геометрически равенства fx (х0, у ) = 0 и f1 (х0, у ) = 0 означают, что
в
точке
экстремума
функции
касательная
плоскость
к
поверхности,
изображающей функцию z = f (х, у), параллельна плоскости Оху, так как
уравнение касательной плоскости есть z = z0.
Замечание. Функция может иметь экстремум в точках, где хотя бы одна из
частных производных не существует. Например, функция z = 1 — ^ х + у имеет
максимум в точке х = 0, у = 0 (см. рис. 10), но не имеет в этой точке частных
производных.
Точки, в которой частные производные первого порядка функции z = f (х,
у) равны нулю, то есть f = 0 и f = 0, и точки, в которых хотя бы
одна частная производная не существует, называются критическими точками.
22

23.

В критических точках функция z = f (x, у) может иметь экстремум, а может
и не иметь. Условия f = 0 и f = 0 являются необходимыми, но не достаточными
условиями существования экстремума. Так, например, для функции z = x2 — у2
точка (0,0) является критической (в ней z'x = 2x и
z'y = —2у обращаются в ноль), однако, очевидно, никакого экстремума в этой
точке нет (см. рис. 11).
Рис. 11
Теорема (достаточные условия экстремума). Пусть в некоторой
окрестности стационарной точки (х0, у) функция z = f (x, у) имеет
непрерывные частные производные до второго порядка включительно причем
fL&o’ Уо) = A > fУ(xо, Уо) = B. fy'Cv Уо)
C.
Обозначим
Л( ^ У о)
A
B
B
C
= AC — B2.
Тогда:
1) если Л(Х0, у0) > 0, то функция z = f (x, у) в точке (х0, у ) имеет
экстремум: максимум, если A < 0, и минимум, если A > 0;
2) если Л(x0, у0) < 0, то функция z = f (x, у) в точке (х0, у ) экстремума
не имеет;
23

24.

3) если Д( *0, у с) = 0 ■ то экстремум в точке (х0, у0) может быть,
может не быть. Необходимы дополнительные исследования.
Пример. Найти точки экстремума функции z = 3*2 у — X3 — у4. Решение.
1) Найдем частные производные первого порядка:
fl = 6xy — 3х2, f = 3x2 — 4у3. Точки, в которых частные производные не
определены отсутствуют.
2) Найдем стационарные точки, решая систему уравнений:
6 ху — 3х2 = 0,
3х2 — 4 у3 = 0.
Отсюда получаем две точки: Мх (6,3) и М2 (0,0).
3) Находим частные производные второго порядка данной функции:
fX = 6у — 6х, fxy = 6х, fyy = —12у2.
4) В точке М1(6,3) имеем: A = 6 • 3 — 6 • 6 = —18, B = 6 • 6 = 3 6 , C = —
12 • 32 = —108, отсюда Л(6,3) = —18 • (—108) — 362 = 648 > 0, то есть
Мх (6,3) - точка экстремума. Так как A = —18 < 0, то Мх (6,3) - точка максимума.
В точке М2(0,0): A = 0, B = 0, C = 0, отсюда Л(0,0) = 0. Проведем
дополнительное исследование. Значение функции z = 3X2у — X3 — у4 в точке М2
(0,0) равно нулю. Рассмотрим точки из
окрестности точки М2 (0,0) такие, что х = 0, тогда z(х = 0, у) = — у4 < 0, а теперь
рассмотрим точки из той же окрестности, но с условием у = 0, х < 0:
z(х < 0, у = 0) = — X3 > 0. Таким образом, в любой окрестности точки
М (0,0) функция z = 3x2 у — X3 — у4 принимает как отрицательные, так и
положительные значения. Следовательно, в точке М2 (0,0) функция экстремума
не имеет.
24

25.

2. Наибольшее и наименьшее значение функции в
замкнутой области
Пусть функция z = f (х, у) определена и непрерывна в ограниченной
замкнутой области D. Тогда она достигает в некоторых точках D своего
наибольшего и наименьшего значений. Эти значения достигаются функцией в
точках, расположенных внутри области D, или в точках, лежащих на границе
области.
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений
дифференцируемой в области D функции z = f (х, у):
Найти все критические точки функции, принадлежащие D, и
1)
вычислить значения функции в них;
2)
Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (х, у) на
границах области;
3)
Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них
наибольшее и наименьшее.
Пример. Найти наибольшее и наименьшее значение функции z = х2у + ху2
+ ху в замкнутой области, ограниченной линиями: х = 1, х = 2,
^1
у = -1,5, у = -.
х
Решение. Здесь z/ = 2ху + у2 + у, z/ = 2ху + х2 + х.
1) Находим все критические точки:
2 ху + у2 + у = 0, Г у(2 х + у +1) = 0,
<^<
2 ху + х2 точки
+ х = 0,
( х + (0,-1),
2 у +( 1) = 0. 1
Решением системы являются
(0,0)[ ,х (-1,0),
з,
из найденных точек не принадлежит области D .
25
1
3
) . Ни одна

26.

2) Исследуем функцию z = х2 у + х у 2 + х у на границе области,
состоящей из участков А В , В С , С Е и Е А (см. рис. 12).
а)
У1 1
^ I----н
B
0
1
3
2
--»'
х
A
х = 1
Рис. 13 3
3
Участок A B -отрезок вертикальной прямой х = 1 при - — < у < 1 (см.
рис. 13). При х = 1 функция z ( y )= у 2 + 2у является функцией одного
переменного у . Находим производную z = ( у 2 + 2у ) = 2у + 2 . Приравнивая
26
ее

27.

2'
. Значение
к нулю 2у + 2 = 0, находим стационарную точку у = -1е
функции z(y) = у2 + 2у при у = -' равно: z(-') = (- ')2 + 2 • (- ')=' - 2 = -', а
2'
значение функции
Г 3
z 2
z (у) на концах отрезка
3V + 2
2у
v2у
9 3
4
4
3
z(') = 12 + 2 •' =' + 2 = 3.
Следовательно, наименьшее значение функции z на отрезке AB равно
- ' , а наибольшее 3 , то есть z„aHM. = - ', ^аиб. = 3.
б)
Рис. 14
Участок BC - дуга гиперболы у = ' при ' < х < 2 (см. рис. 14). При
х
у
'/\'
— функция z(х) = х +---+' является функцией одного переменного
х х
27
х.

28.

1 л = 1 —1. Приравнивая ее к нулю
x ь---ь 1
x
Vx
f
Находим производную z =
1--у = 0 , находим Xj =-1, х2 = 1, из которых только одна точка х2 = 1
х
принадлежит отрезку [1;2] (см. рис. 14). Значение функции z (х ) = х + — +1 при
X
х = 1 равно: z(1) = 1 +1 +1 = 3, а значение z(х) на правом конце отрезка [1;2] равно
z(2) = 2 +1 +1 = 3,5.
Следовательно, наименьшее значение функции z на участке BC равно 3, а
наибольшее 3,5, то есть zHaHM. = 3, zHail6. = 3,5.
в) 3
у
L
1
'
►—---------1
2
(C
2х
0
_3 >----------<
E
2
х=2
Рис. 15
3 1
Участок C E - отрезок вертикальной прямой х = 2 при - — < у <— (см.
рис. 15). При х = 2 функция z(y)= 2у 2 + 6у является функцией одного
переменного у . Находим производную z = (2у 2 + 6у ) = 4у + 6. Приравнивая ее
28

29.

3
к нулю: 4у + 6 = 0, находим точку у = -—, совпадающую с левым концом
отрезка
3 I (см. рис. 15). Значение функции z(y) = 2у2 + 6у при у =
2’2
с 3 3\ ( 3^2
+6
2
равно: z
V2У
V2у
3
2
3Л
II4,5, а значение z(x) на правом конце
1
аз
2у
У
1 + 6 •-1= 3,5. 2
3
Г1 = 2 —
отрезка
2
1
\
1
— равно: z—
2’
V2
2Следовательно, на отрезке CE наименьшее значение равно - 4,5, а
2-4 5 = 3 5У
наибольшее 3,5, то есть z„. 4 5 Зz
, , наиб. 3,5 .
г)
уi 1
1
4
1
2
f
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
1,
1
0
3
I
A
2
рис.16). При у =
переменного x .
3
у = -~
2
E
Рис. 16
отрезок горизонтальной прямой у
Участок AE
х
3
2
при 1 < x < 2 (см.
3 , / ч 3х2 3х ,
— функция z(х) = —— + — является функцией одного
Находим производную z =
29
^ 3х2 3х^ --+ — —3х
—
+
—
V2 4у
.4

30.

3 1
Приравнивая ее к нулю: - 3х + — = 0 находим точку x = —, которая не
4 4
принадлежит отрезку [1;2] (см. рис. 16). Значения функции z(x) на концах
отрезка 3[1;2]
• 12 равны:
3•1 333
z (1)
=- “2“+"4“=-2+-4 =-4;
(2) = - llH + 111 = -6 + 3 =-4,5
zw2 4 2
Следовательно, наименьшее значение z на отрезке AE равно - 4,5, а
наибольшее - —, то есть = -4,5, z ,
^ 5 наим. “ 5 наиб.
3)
3
4'
Сравнивая полученные результаты в пунктах а), б), в), г), имеем:
z (2;1) = 3,5
3
z наиб
z наим
z (2;- 2
4,5.
Замечание. Площадь поперечного сечения канала называют его живым
сечением, а длину Р границы такого сечения называют смоченным периметром
канала. С помощью теоретических расчетов и эксперимента установлено [4],
что из всех каналов с заданным живым сечением наибольшей пропускной
способностью и одновременно наименьшей фильтрацией отличаются каналы с
наименьшим смоченным периметром. Про такие каналы говорят, что они имеют
гидравлически наивыгоднейший профиль.
Наиболее часто сооружают каналы, а также оросительные и водосточные
канавы с сечением формы равнобочной трапеции ( АВ=СЭ, см. рис. 17).
30

31.

B
C
Рис. 17
Пример. Найти наивыгоднейший с точки зрения гидравлики профиль
канала трапецеидальной формы.
Решение. Найдем размеры поперечного сечения канала заданной
площади S с наименьшим периметром P. Пусть AB = CD, CE L AD, BF L AD, CE
= h, ZEDC = a. Тогда
P = AB + BC + CD = 2AB + BC
(1)
S = 1 (AD + BC)-CE = 1 (AD + BC)-CE (2)
A CED - прямоугольный
CF h
или sin a =-, откуда
sin Z EDC =CD CD
h
CD = AB =
sina
Подставив (3) в (1), получаем:
P = J^ + BC
sina
Так как AD = AF + FE + ED, а FE = BC, AF = ED, находим:
AD = 2ED + BC (5)
CE h h
Из A EDC: tg a =- или tg a =-, откуда ED =-. Подставив
ED ED tga
2h
последнее равенство в (5), находим AD =--+ BC. Тогда равенство (2)
tg a
31
(3)
(4)

32.

\
о 1 ( 2h
+
2
BC
запишется: S = —
2 tg а
h, откуда BC = — ——. Подставив последнее
h tg а
равенство в (3), находим P{h,a) = 2h + — h
sina h tg а
Таким образом, требуется найти такую точку (h0 ,а0) из области D = |(h
,a)/0 < а <Л, h > о|, в которой функция P(h,a)принимает наименьшее значение.
Найдя частные производные функции P(h,a) и приравняв их к нулю,
получим систему уравнений:
—
Я
0
2
sina
2 h tg1а
2h • cosa
h
2
2
,
2
sin
а
cos
а
tg а
P =----+
=0
или
S = h:
2
1
sum tg а
h(l - 2cosa)
sin а
=
0.
Откуда cosa = 1 или а0=Л = 60 °, тогда
S-д3^ v—
ho =
S • sin 60° • tg 60°
2tg 60° - sin 60°
2л/3 - л/э V3
2
В рассматриваемой области D функция P(h,a) имеет единственную
Л
критическую точку
Л
V3 ;з
, значение функции в ней равно P=V48S2 .
Исследуем функцию P(h,а) на границе области D:
32

33.

л
S S IS
1) a = — , h > 0. Имеем P(h, a ) = 2 h л — ^ Pl = 2 — — ^ h = J— 2
h h \2
Тогда
rSЛ
Pv
l4lS > V48 S2 = P(h ;a)
2 ’ 2 J
2) При приближении точки (h,a) к прямым h = 0 и a = 0, а также при
удалении в бесконечность по h функция P(h,a) неограниченно возрастает.
Поэтому точку (h0,a0) можно окружить таким прямоугольником
л
D1 = {(h,a)l а < a < — , с < h < d}, что вне его и на его границе P(h;a) > P(h0,a0).
Отсюда следует, что P(h0,a0) - наименьшее значение функции P(h,a) в области D,
и оно же будет наименьшим значением этой функции в области
D.
VS
Итак, функция P(h,a) имеет наименьшее значение при a = —, h = V3
3
Таким образом в трапеции ABCD: AB = BC = CD =
-и
2VS
ААВС = 120°
§ 3. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ОСНОВНЫЕ
ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
1. Основные понятия
Одной из основных задач дифференциального исчисления является
нахождение производной функции или дифференциала заданной функции.
Первой основной задачей интегрального исчисления является обратная
задача - отыскание функции по ее производной или заданному ее
33

34.

дифференциалу. Второй основной задачей интегрального исчисления является
определение площади плоской области и объема тела вращения.
Функция F(х) называется первообразной для функции f (х), если функции
F (х) и f (х ) связаны следующим соотношением:
F '(х ) = f (х )
Пример. Функция F(х) = sin х вяляется первообразной для функции
?
f (х ) = cos х, так как (sin х) = cos х.
Если для данной функции f (х) существует первообразная, то она не
является единственной. Так, в предыдущем примере в качестве первообразных
можно взять следующие функции:
F (х) = sin х +1, F (х) = sin х - 2
или в общем виде
F (х) = sin х + C,
где C - произвольная постоянная, так как при любом значении C
???
(sin х + C) =(sin х) +(C) = cos+ 0 = cos х.
В связи с этим возникает вопрос, исчерпывает ли функция вида sin х + C
все возможные первообразные для cos х или существуют еще функции другого
вида, которые также будут первообразными для cos х .
Ответ на него дает следующая теорема.
Теорема. Если F(х) есть какая-либо из первообразных для данной
функции f (х), то самое общее выражение для первообразной имеет вид:
F (х) + C,
где C - есть первообразная постоянная.
Доказательство. Пусть F (х) есть любая функция, имеющая своей
производной F (х) = f (х).
34

35.

С другой стороны, рассматриваемая функция F(х) также имеет f (х ) своей
производной, то есть F '(х ) = f (х).
Вычитая это равенство из предыдущего, имеем:
F (х) - F' (х) = (F (х) - F (х)) = f (х) - f (х) = 0
и, следовательно,
F (х)-F (х ) = C,
где C есть постоянная, что и требовалось доказать.
Действительно, если производная некоторой дифференцируемой функции
р'(х) = 0, то сама функция (р(х) может быть только постоянной.
Полученный результат можно сформулировать и так: если производная
(или дифференциалы) двух функций тождественно равны, то сами функции
отличаются лишь постоянным слагаемым.
Если функция F (х) является первообразной для f (х), то семейство всех ее
первообразных функций F (х) + C называется неопределенным
интегралом от функции f (х) и обозначается как I f ( х )^х.
Таким образом, по определению
| f (х )dх = F (х) + C,
если
F' (х) = f (х ).
При этом функцию f (х) называют подынтегральной функцией, f (х подынтегральным выражением, переменную х - переменной интегрирования, а
знак | - знаком интеграла. Действие, с помощью
которого по данной функции f (х) находим ее первообразную F (х), называется
интегрированием функции f (х).
Пример. Найти неопределенный интеграл от функции f (х) = х.
35

36.

Решение. Первообразной от x будет функция F(х)= —, так x
= х . В таком случае Jxdx = Х + C, где C - произвольная постоянная.
V2у
2. Таблица основных интегралов
Степенные функции:
И+1
Jxndx = —--+ C (n Ф-—;
n +1
J—dx = ln x + C.
Jx
Показательные функции:
J exdx = ex + C;
Jaxdx = ——+ C (a > 0, a Ф l). ln a
Тригонометрические функции:
J sin xdx = - cos x + C;
J cos xdx = sin x + C;
J tgx dx = - ln cos x + C;
J ctgx dx = - ln sin x + C;
I
i
cos2 x
dx = tgx + C;
J . 2 dx = -ctgx + C.
sin2 x
Дробные рациональные функции:
1
dx = arctgx + C;
1+x
36
как

37.

f 2 l 2 r = 1 arctg- + C (a > 0); a + x dx
aa
r1 , 1,x-a
f —-2 dx = — lnx - a 2 a x + a + C.
Иррациональные функции:
f
1
VT
dx = arcsin x + C;
x
f , 1 г dx = arcsin x + C f4a2-7
a
f
1
dx = ln x ч—ч/x + A + C.
л/x + A
3. Основные свойства неопределенного интеграла
1. Если f (x) = g(x), то | f (x)dx = | g(x)dx + C, где C - произвольная
постоянная.
2.
(1)
(f f (x )dx) = f (x).
3. f F '(x )dx = F (x) + C , где C - произвольная постоянная.
4. f af (x)dx = af f (x)dx, a e R, a ^ 0.
5. f(f (x)± g (x))dx = f f ( x )dx ± f g (x )dx.
f
Пример. Найти f
Решение.
2
3x---ч v x
Vxj
Л
dx.
/ 2 Л 2
f 3x---ч 4x dx = f 3xdx -f—dx + f4xdx =
V x j x
37

38.

1 1 x1+1 X2
3f xldx — 2\—dx + f x2 dx =3---2ln x + ---+ C
J f x J 1 +1 1 ,
+1
2
3 2
— x2 - 2ln x + — xVx + C.
3
2
4. Простейшие способы интегрирования.
Непосредственное интегрирование
Под непосредственным интегрированием понимают такой способ
интегрирования, при котором данный интеграл удается привести к одному или
нескольким табличным интегралам. К табличному виду обычно удается
привести не очень сложные интегралы путем элементарных тождественных
преобразований
подынтегральных
функций,
а
также
воспользовавшись
основными свойствами неопределенного интеграла. Поясним сказанное
примерами.
Пример. Найти f (x — 3)— dx.
Решение.
f (x — 3)2 dx = f (x2
3
3
2
6 x + 9)dx = f x2 dx — f 6 xdx + f 9dx =
3
= — — 6f xdx + 9f dx = — — 6— + 9 x + C = x— 3x2 + 9 x + C. 3 J
1 3 2 3
Выполнив под знаком интеграла очевидные тождественные преобразования
(возвести разность в квадрат), свели данный интеграл к трем табличным
интегралам f xndx, n = 2; 1; 0. постоянная C (которая в данном примере равна
сумме трех постоянных C = Q + C2 + C3) появляется тогда, когда исчезают
знаки интеграла.
Пример. Найти
x2 +1
dx.
x
38

39.

Решение.
J—dx = J
x
x2 11
f
11 dx = J xdx + J—dx = x
— + — dx = J x +
,xx.
xу
= — + ln x + C.
2
Интегрирование подстановкой.
Во многих случаях J f (x')dx можно упростить, если вместо x ввести новую
переменную t, положив
x = P(t),
(2)
тогда
dx = (p'(t)dt.
Для приведения данного интеграла к новой переменной достаточно
привести к новой переменной его подынтегральное выражение
J f (x)dx = J f (<p( t)) • (p'( t) dt,
(3)
где
x = (p(t),
в справедливости чего легко убедиться, продифференцировав обе части
равенства (3) и воспользовавшись затем формулами (1) и (2).
Метод подстановки, или, как его также называют, метод замены
переменной интегрирования, является одним из наиболее эффективных и
распространенных методов интегрирования. С другой стороны, не существует
общих правил, которые во всех случаях позволяли бы найти подстановку,
ведущую к желаемой цели. Поэтому, чем больше примеров самостоятельно
решить, тем с большим успехом можно овладеть методом подстановки.
Пример. Найти J в1 X+I>dx.
Решение. Данный интеграл не табличный, но есть интеграл J вхdx,
сходный с данным. Поэтому введем новую переменную t, связанную с x
39

40.

=1 (t -3).
х
зависимостью:
2 х + 3 = t,
Дифференцируя это равенство,
f f
получим: (2x + 3) dx = (t) dt,
2dx = dt,
откуда
dx = — dt. Подставив
2
результат в данный интеграл, имеем:
f е2х+3dx = f e ■1 dt = 1 f e'dt =1 e' + C. 1 1 2
21 2
Возвращаясь к переменной x, находим:
f e2 х+3 dx =1 e2 x+3 + C. 1
2
Для надежности проверяем результат дифференцированием:
(1 ^
1f1
1 е2 x+3 + C 12
=1 е2x+3 (2x + 3) =1 е2x+3 ■ 2 = е2x+3 22
)
верно.
Интегрирование по частям.
Пусть и и v - две любые дифференцируемые функции от x. Тогда
дифференциал произведения и ■ v вычисляется по следующей формуле:
d (uv) = udv + vdu.
Отсюда, интегрируя обе части последнего равенства, находим:
f d (uv) = f (udv + vdu),
или
u ■ v = f udv + f vdu,
откуда
f udv = u ■ v - f vdu. (4)
Полученная формула называется формулой интегрирования по частям
для неопределенного интеграла. Она сводит нахождение интеграла f udv к
нахождению интеграла f vdu, и если функции u и v удается подобрать так,
чтобы последний интеграл брался проще, чем исходный, то цель будет
достигнута.
40

41.

Пример. Найти J xexdx.
f
Решение. Пусть u = x, dv = exdx, тогда du = (x) dx = 1 • dx = dx, v = Jexdx =
ex . По формуле (4) находим:
Jxexdx = xex - J exdx = xex - ex + C,
J xexdx = (x - l)ex + C.
Пример. Найти J x2 ln xdx
f
Решение. Пусть u = ln x, dv = x2dx,
тогда du = (ln x) dx,
x По формуле (4) находим:
v = J x2dx = —.
3 1 3 1 3
1 x;
J x2 ln xdx = — ln x - J —---dx = — ln x — J x2 dx = — ln x -1 • — + C.
J 3 J 3 x 3 3J 3 33
J x2 ln xdx =
' 1 ^ x3
ln x —
V 3)
— + C.
3
§ 4. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Важным средством исследования в математике, физике, механике и
других дисциплинах является определенный интеграл - одно из основных
понятий математического анализа.
1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
К понятию определенного интеграла приводят задачи вычисления
площадей плоских фигур, длин дуг, объемов тел, вычисление работы, массы
неоднородных стержней, центров тяжести плоских фигур и дуг и т.д.
Рассмотрим некоторые из них.
41

42.

2. Площадь криволинейной трапеции
Криволинейной трапецией назовем плоскую геометрическую фигуру,
ограниченную двумя прямыми x — а и x — b (a ^ b), отрезком [a, b] оси OX и
графиком некоторой непрерывной функции y — f (x), x е [а, b] (f (x)> 0)-
Найдем площадь S этой фигуры. Для этого:
1) разобьем отрезок [a, b]
произвольно расположенными, но
следующими друг за другом точками x0 — а, xl, x2,..., xn — b;
2) в каждом из полученных отрезков длины
Ax — x - (i — 1,n —1,2,...,n) выберем произвольную точку р (x. -1 ^ P ^ x)
и вычислим значение функции в этих точках f (р ) (i — 1, n);
3)
рассмотрим прямоугольники с основаниями Ax. и высотами f (р) (i —
1,2,..., n) и найдем их площади f (р )-Axt (i —1,2 ,..., n). Сложив эти
числа, получим сумму S — ^ f (р )Ax.. Значение полученной суммы S
i—1
42

43.

приближенно равно площади S криволинейной трапеции S « Z f (Д )Ах. (чем
i= 1
мельче отрезки Ах. (i = 1,2,..., п), тем лучше будет это приближение).
4) введем обозначение: Я = max {Ах.}. Для получения точного выражения
площади S криволинейной трапеции надо перейти к пределу в полученной
сумме S при Я ^ 0 и n, т.е.
S = fe Z f (Д )Ахi.
i=1
3. Масса линейного неоднородного стержня
Рассмотрим стержень постоянного сечения длины b — а (отрезок \а, b]).
Если стержень однородный, т.е. плотность в каждой точке х которого постоянна
и равна у, то масса стержня M вычисляется по формуле
M = у-(Ь — а).
Пусть стержень неоднородный и в каждой точке х известна плотность f
(х). Найдем массу M этого неоднородного стержня. Для этого:
1) разобьем отрезок \а, b] на n отрезков точками
а = х0 < х <... < хи = b;
2) в каждом из полученных отрезков Ах. = х. — хм (i = 1, п) выберем
произвольную точку Д е Ах., i = 1, п и вычислим плотность f (Д ) (i = 1, п) в
каждой точке Д. Будем считать, что на каждом отрезке Ах. (i = 1,2,..., п)
плотность постоянна и равна f (Д). Тогда масса участка Ах. приближенно равна f (Д
)АХ.
3) составим
сумму Z f (Д )Ах.. Она приближенно равна массе M
i=1
неоднородного стержня.
43

44.

4) для получения точного выражения массы M стержня перейдем к
пределу при Л ^ 0, Л = max {А х } и п ^ ю
м = lim 2. f (P )Ах
i=1
п^ю
4. Работа переменной силы на прямолинейном участке пути
Допустим, что некоторая сила f = f (х), направленная вдоль оси OX, на
отрезке \a, b\ совершает работу (см. рис. 19). Если f = const, то работа А
вычисляется по формуле A = f -(b — a).
Определим работу A переменной силы f (х) на отрезке \a, b\:
f (х)
х
a
х b
Рис. 19
Для
этого:
разобьем
отрезок
\a,
b\
с
помощью
произвольно
расположенных, следующих друг за другом точек х0 = a, х1, х2, ..., хп = b. Это
разбиение производим достаточно мелко, так, чтобы на интервалах Ах = х. — х_j
(i = 1, п) величина f (х) практически не изменялась. Пусть она равняется f (P ), P Е
Ах, Ах = х — х^ i = 1,2,..., п (P - произвольно
выбранные точки). Величина работы силы f (P) на участке Ахг вычисляется по
формуле: АА = f (P )Ахг;
Определение. Предел п -ой интегральной суммы для функции У = f (х) на
отрезке \a, b\ при Л ^ 0 (Л = max {Ахг}) и п ^ ю называется
44

45.

определенным интегралом от функции y = f (х) в пределах от А до b
b
(обозначение J f (х )dx), т.е.:
а
n b
Ё f (pi )лх = Jf (x )dx>
*= а
n^w
где а - нижний предел интегрирования, b - верхний предел интегрирования, f
(х')dx - подынтегральное выражение, f (х ) - подынтегральная функция.
Геометрический
смысл
определенного
интеграла
-
площадь
криволинейной трапеции.
Физический смысл определенного интеграла. Здесь его возможности
очень широки. В частности, можно определить массу стержня, работу силы на
заданном отрезке пути и т.д.
5. Свойства определенного интеграла
Свойства определенного интеграла вытекают из основных свойств сумм
и пределов.
1. Постоянный сомножитель можно вынести за знак определенного
интеграла:
b
b
J к f (х)dx = к J f (x)dx, к = const.
а
а
2. Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций f (х) и
f2 (х)
> интегрируемых на [а, b], равен алгебраической сумме определенных
интегралов от этих функций, т.е.
b
b
b
J [fi (х) ± f2 (х )\}х = J fi (х )dх ± J f2 (х )dх.
а
а
а
45

46.

Данное свойство распространяется и на сумму любого конечного числа
интегрируемых функций.
3. Если отрезок интегрирования \a, b\ разбит точкой с на два отрезка [a, с\
и \с, b\, то интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по его
частям:
b
с
b
J f ( х )dx =J f ( х )dx +J f (х )dx.
a
с
a
Точка с может находиться и вне отрезка \a, b\.
4. Интеграл с равными пределами интегрирования (a = b) равен нулю, т.е.
a
J f (х )dx = 0.
a
5.
Если
в
определенном
интеграле
поменять
местами
пределы
интегрирования, то знак интеграла изменится на противоположный:
b
a
J f (x s)dx = -J f (x s)dx.
b
a
6. Теорема о среднем значении.
Если y = f (х) непрерывна на \a, b\, то существует такая точка с е [a, b\, что
справедливо следующее равенство:
b
J f (х)dх = f (с)-(b - a).
a
Нетрудно понять геометрический смысл этого равенства: интеграл,
стоящий слева есть площадь криволинейной трапеции. Произведение, стоящее в
правой части равенства, - площадь равновеликого ей прямоугольника с высотой
f (с) и основанием (b — a) (см. рис. 20).
46

47.

1 называется средним значением функции
Число f (c) =-J f (x')dx
b-a a
f (x) на отрезке [a, b],
7. Производная от определенного интеграла по переменному верхнему
пределу равна подынтегральной функции, взятой при значении верхнего
предела:
x
\ f
J f (t ) d t ] = f ( x ) .
a
J x
6. Вычисление определенного интеграла.
Формула Ньютона-Лейбница
Формула
вычисления
Ньютона-Лейбница
определенных
дает
интегралов
в
практически
удобный
метод
том
когда
известна
случае,
первообразная подынтегральной функции.
Теорема. Если F (x) - одна из первообразных непрерывной на отрезке [a,
b]функции f (x), то справедлива следующая формула Ньютона-Лейбница:
47

48.

b
J f (x )dx = F (x ) a = F (b ) - F (a ).
(4.1)
a
Доказательство. Доказательство проведем, используя свойство 7.
x
обозначим определенный интеграл с переменным верхним пределом J f (t }dt
a
x
через функцию F(x), т.е. F(x) = J f (t}dt. Тогда в силу свойства 7 можно
a
f f x
\ f
записать (F(x)) = 1 J f (t}dt I = f (x). Следовательно, F(x) является одной
V a
J x
x
из первообразных для интеграла J f (t}dt. Так как, все первообразные
a
x
отличаются на постоянную, то имеет место равенство J f (t )dt = F (x) + C,
a
a < x > b, где C - некоторое число. Подставляя в это равенство значение
a
x = a, имеем J f (t)dt = F(a)+C ^ 0 = F(a)+C ^ C = -F(a), т.е. для
a
любого x e [a, b]
x
имеем J f (t )dt = F (x) - F (a). Полагая
x = b, получаем
a
соотношение
J f (x ')dx = F (b ) — F (a ). Обозначим разность
a
F(b) — F(a)= F(x. Тогда формулу Ньютона-Лейбница можно записать в
b
виде J f (x )dx = F (x) = F (b) — F (a). Теорема доказана.
a
Замечание. Из формулы Ньютона-Лейбница следует, что при вычислении
определенного интеграла надо найти первообразную F (x) для подынтегральной
функции f (x) и вычислить разность F (b)— F (a). Следовательно, формально все
сводится к вычислению неопределенного интеграла, и здесь применимы все
методы вычисления неопределенного интеграла.
48

49.

Пример. Вычислить J x2 dx.
1
Решение. Взяв неопределенный интеграл J x2 dx =--- C
и
3
воспользовавшись формулой (4.1), решаем:
2
J2 x2 dx = — = 3 3 = 3 3 = 3 = 3'
J 3
1
1
Ответ: 2 —
3
7. Вычисление определенного интеграла подстановкой
Для вычисления определенного интеграла подстановкой поступают так
же, как и при нахождения неопределенного интеграла подстановкой. Но при
этом
есть
одна
особенность,
суть
которой
заключается
в
том,
что
неопределенный интеграл есть функция, а определенный интеграл есть число.
Как было показано в примере 3, для того, чтобы при помощи подстановки
привести
заданный
неопределенный
интеграл
к
табличному,
аргумент
выражают через новую переменную, затем находят неопределенный интеграл, и
полученный результат снова выражают через первоначальный аргумент. В
случае же определенного интеграла нет необходимости возвращаться к
первоначальной переменной.
Таким образом, для вычисления определенного интеграла подстановкой
пользуются формулой:
b
d
J f (x )dx = J f {<p{t)) • v'(t )dt, (4.2)
a
c
где c и d , отличные от a и b пределы интегрирования, находятся из подстановки
x = <P(( X т. е. a = (p(c), b = p(d).
49

50.

1 dx о 3x
Пример. Вычислить
+2
(3x + 2) dx = (t) dt, или
Решение. Заменяя 3x + 2 = t, находим
dt
3dx = dt, откуда dx
У
. Найдем новые пределы интегрирования по формуле:
t = 3x + 2.
Нижний предел t при x = 0 равен: t = 3 • 0 + 2 = 2, а верхний предел t при
x = 1 равен: t = 3 -1 + 2 = 5.
Тогда вычисление данного интеграла запишется так:
i
dx
5
5
0
3x + 2
2
2
1
-ln t
3
1, 5
Ответ: — ln
—. 3
2
5
2
1
1
= — ln 5 —ln2
5
3
3
1
5
3
2
8. Вычисление определенного интеграла интегрированием по
частям
Формула интегрирования по частям для определенного интеграла
записывается в виде:
b
b
b
J udv = u - v a
J v - du
a
a
1
Пример. Вычислить J xexdx.
о
Решение. Обозначая u = x, dv = exdx, получаем du = dx, v — ex.
Тогда
1
1
J xexdx = xe x 0
0
Ответ: 1.
1
J
exdx = 1 - e1 — 0 - e0 — ex = = e — (e1 — e0 ) = e — e +1 = 1.
1
j
0
0
50

51.

9. Вычисление площади плоской фигуры
Если уравнение заданной линии есть у = f (х), то, как было показано,
площадь S криволинейной трапеции определяется формулой:
a
S = J f (x)dx.
a
Обобщим полученные результаты на случай вычисления площади
произвольной плоской фигуры.
Площадь Q, ограниченная кривыми y = f (х ) и У = f2(х) и прямыми х = a, х
= b, при условии f (х)> f (х), будет, очевидно, равна разности площадей
криволинейных трапеций Sl (a, b) и S2 (a, b), то есть
Q = Si (a, b)-S2 (a, b),
или
b
Q=
J
b
b
fl (х)^ -
J f2(х)^ = J L/i(х) - f2( х ) ¥ х .
a
a
a
(2.7)
Пример. Вычислить площадь, ограниченную кривыми у = л/2х и
У=
хУ
51

52.

Решение. Находим абсциссы точек пересечения заданных кривых:
4
42x = —; 2x = —; 8x = x4; x(x3 - 8)= 0, откуда x = a = 0, x2 ^2
Следовательно,
в
соответствие с
f
242 r xзЛ
2 ( I— x2 ^
2 ^ • 242—
Q = ! V2x-—
dx =
xvx
0V2J
3
6 J
3 6
V
0
= 8 - 8 = 4 (кв. ед.) 3 6
3
4
Ответ: — кв.ед.
3
52
4
формулой
23
b = 2.
(2.7)

53.

Контрольные задания
Задание № 1
Найти уравнения и построить линии уровня функции *
—X
1.1 *
2
X
1.2 * = — .
у
у—X
1.3 *
X
2
2
1.4 * = X2у + у.
1.5 *
=
уX
= X -^/ у — 1. = x у
1.6
*
+ у.
1.7 *
1.8 * — V X — у .
1.9 * = у2 — X.
^_у
1.10 * — —f.
X
53
— f (У ) :

54.

Задание № 2
Для функции Z — f (X, у) в точке M о( Xc Уо) найти: а) градиент, б)
производную по направлению вектора a.
2.1 z — —3х2 + 2у, M0(1; -3), а — {б; 8}.
2.2 z — ln(3x + 2у), M0(—1; 2), а — {— 3; —4}.
2.3 z — arctg — , M0(1; 1), a — {— 5; 12}.
x
2.4
z—
x+у -г)
, 2, Mo(1; —2), a — {1;2}.
x+у
a — {2; —1}.
2.6 z — x • cos у, M (1; T), a — {5; —12}.
2.5 z — xy3 + x3у , Mo(1; 3),
2
o
2.7 z — sin(Txy), Mo(1; 1), a — {1; —1}.
2.8 z — ln(x + у2), Mo(3; 4), a — {б; —8}.
29 z —
x 2 + — 2 + 1,
Mo (0; 1), a — {—1; —1}.
2.10 z — sin(x — у), Mo(—; —X a — {— 3; —4}.
54

55.

Задание № 3
Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности z = f
(х?y) в точке М 0 (х 0 ,y 0 , z 0 ):
3.1 z = 1 + х2 + 2у2, М 0(1; 1; 4).
3.2 х2 + у 2 -z2 = - 1 , М о(2; 2; 3).
3.3 z = ln(х2 + у 2), Мо(1; 0; 0).
3.4 z = 1 + х2 + 2у 2, М 0(1; 1; 4).
3.5 x2 + у 2 + z 2 - 4x + 6y - 8z -1 = 0, М 0 (1; 2; 2).
3.6 z = x 4 + 2x2 у - xy + x, М 0 (1; 0; 2).
3.7 x2 + 2y2 - 3z2 + xy + yz - 2xz +16 = 0, M0(1; 2; 3).
3.8 x2 + 2y2 + 3z2 = 6, Mo(1; -1; 1).
3.9 x2 -4y 2 + 2z2 = 6, M o(2; 2; 3).
3.10 z = 3x4 - xy + y 3, Mo(1; 2; 9).
55

56.

Задание № 4
С помощью дифференциала найти приближенное значение числового
выражения:
4.1 3/7,98 • (1,04)798.
4.2 3/(4,97)2 + (1,06)2 +1.
4.3 ln(V0,98 + 3/1,03 -1).
5,03
4.4 (5,03)3 + (1,96)2.
4.5 arctg
(3,04)2
(2,97)2.
4.6 3/(4,03)2 + (0,96)5 + 1 5 .
4.7 ln(( 2,02)3 + 5/0,96 - 8).
6
4.8
(2,97)4 - (2,03)3 .
4.9
1п(^8,02 -V096).
4.10 (2 - 3/0,97 У’03
56

57.

Задание № 5
Для функции z = f (х, y ) найти точки экстремума.
5.1 f ( х, у)
= X2
— 6 х + у2
— 2 у + 1.
5.2 f ( х у)
= X2
— 2 х + у2
—4у+2
5.3 f ( х у )
= X2
— 6 х + у2
— 8у + 3
5.4 f ( х у )
= X2
— 2 х + у2
— 2 у + 4.
5.5 f ( х у)
= X2
— 4 х + у2
— 6 у+ 5 .
5.6 f (х у)
= X2
— 8х + у2
— 2у + 6
5.7 f (х у) =
= X2
—
10 х + у 2 -
-2 у + 7.
5.8 f ( у)
= X2
— 2 х + у2
— 6 у + 8.
5.9 f ( у) =
= X2 — 10 х + у 2 —
- 8 у + 9.
5.10 f (х, у)
= X2
—
4 у +10.
-2 х + у2 —
57

58.

Задание № 6
Найти наибольшее и наименьшее значение функции z — f (x? y) в
замкнутой области D .
6.1 z — 6 xy — 9 x2 — 9 у2 + 4 x + 4 y,
D : 0 < x < 1,0 < y < 2
6.2 z — xy + x — 2,
D: y — 0, y — 4x2 — 4
6.3 z — 4 xy + 4 x2 — у2 — 8 y,
D : x — 0, y — 2x, y — 2
6.4 z — 2 xy + x — у + 4 x,
D : x — 0, y — 0, y — — x — 2
6.5 z — —3xy + 5x + у ,
D: —1 < x < 1, —1 < y < 1
6.6 z — 0,5x — xу ,
D: y — 2x2, y — 8
6.7 z — — xy + 3x + y,
D : y — x, y — 4, x — 0
6.8 z — xy — 3 x — 2у ,
D: 0 < x < 4, 0 < y < 4
6.9 z — xy + x2 — 3x — y,
D: 0 < x < 2, 0 < y < 3
6.10 z — xy — x — 2 у,
D : y — x, y — 0, x — 3
58

59.

Задание 7
Найти неопределенные интегралы.
а) J (Х 1 dx;
7.01.
x
7.02. a)J(x 2) dx:
X
7.03.
a) J x ^1 dx;
x
P 3x + 4 + xe 7
a) J-dx
7.04.
x
f
r—
\\
)J 3 2 1
V x - vx у
7.05. а
V
2
rx cos x - 3 + x ,
7.06. a) J-dx.
x
2x
a) |( + ll dx;2
7.07.
x
a) JO-H dx;
Jx2
7.08.
7.09.
a
7.10.
)J
wx - 3+x2
dx
в) J(x +1) cos xdx.
Mf;
dx
3
б) J (x +1) ’
dx
л/1 - x ’
б) J
в) J x3 ln xdx. в)
J(3x - 1)exdx. в) J
x 2sin
б) J (x +1)
dx:xdx.
3
dx; б) J xe~x dx; в) J(1 - x )e dx. в)
x
б) J(3 - 4 x )7 dx; J x ln xdx. в) J x
б) J
dx
(2 - x )5’
б) \ xdx
x2 +1; dx
dx; б)J
5’
(x + 3)
dx
3 x - 2;
x
a) j(2Vx -1) dx; б) J
59
cos xdx. в) J x sin
xdx. в) J x5 ln xdx.
в) J( x -1) ln xdx.

60.

Задание 8.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
8.01
y = -x 2 ; x + у + 2 = 0.
16
8.02
у =—; у = 17 - x.
x
x y = 4; x = 1 ; x = 4 ;
у = 0.
8.03
8.04
у = lnx; x = e ; у = 0 .
8.06
8.05 у =
у = уe=2 x9;
; xx == 1;
0. у =
1.
( 1\ x
8.07 у = - ; у = 4; x = 4. V 2
J
8.08
у = 4 - x 2 ; у = 0.
8.09
у = e x ; у = -x 2 ; x = -1; x = 2.
8.10
у = x 3 ; x = 0; у = 8.
60

61.

Литература
1.
Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. - М.:
«АЙРИС-ПРЕСС», 2002. -608.с.
2.
Важдаев В.П., Коган М.М., Лиогонький М.И., Протасова Л.А 64
лекции по математике. Книга 1 (лекции 1-39): монография; Нижегор. гос.
архитектур.-строит. ун-т - Н.Новгород: ННГАСУ, 2012.-284 с.
3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учебн.
пособие / Г. Н. Берман.- СПб.: «Профессия», 2003. - 432 с.
4.
Курганов А.М., Федоров Н.Ф. Справочник по гидравлическим
расчетам водоснабжения и канализации. - Л., 1978.
61

62.

Содержание
§ 1. ФУНКЦИЯ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ...............................................................3
1.
Основные
понятия...................................................................................................3
2.
Предел
и
непрерывность
функции
двух
переменных.........................................6
3. Частные производные и дифференцируемостьфункции двух переменных ....
8
4.
Дифференцирование
сложных
функций.............................................................10
5.
Дифференцирование
неявных
функций.............................................................11
6.
Касательная
плоскость
и
нормаль
к
поверхности.............................................12
7. Полный дифференциал функции двух переменных и его геометрический
смысл..........................................................................................................................15
8.
Производная
по
направлению.
Градиент............................................................17
§ 2. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ.............................20
1. Частные производные высших порядков.Экстремумы функции двух
переменных ................................................................................................................
20
2.
Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой
области.............25
§ 3. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ОСНОВНЫЕ
ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ...............................................33
1.
Основные
понятия.................................................................................................33
2.
Таблица
основных
интегралов.............................................................................36
3.
Основные
свойства
неопределенного
интеграла...............................................37
4. Простейшие способы интегрирования. Непосредственное интегрирование .
38
§ 4. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ...................................................................41
1.
Задачи,
приводящие
к
понятию
определенного
интеграла...............................41
2. Площадь криволинейной трапеции .....................................................................
42
3.
Масса
линейного
неоднородного
стержня.........................................................43
4.
Работа переменной силы на прямолинейном участке
пути..............................44
5.
Свойства
определенного
интеграла.....................................................................45
62
6.
Вычисление определенного интеграла. Формула НьютонаЛейбница...........47

63.

Павел Валерьевич Столбов
Математика
Часть II
Учебное пособие
Печатается в авторской редакции
Подписано в печать_Формат 60x90 1/16. Бумага газетная.
Печать трафаретная. Уч.-изд. л. 3,5 Усл. печ. л. 3,9
Тираж 400 экз. Заказ №_
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет», 603950,
Н.Новгород, Ильинская, 65
Полиграфцентр ННГАСУ, 603950, Н.Новгород, Ильинская, 65
63