Osnovnoe_trigonometricheskoe_tozhestvo

1.

МАТЕМАТИКА
·
ТРИГОНОМЕТРИЯ
Основное
тригонометрическое
тождество
sin²α + cos²α = 1
Вывод · Применение · Радианы

2.

01
·
ЦЕЛИ
Чему научимся
01
02
03
04
02 / 12
Определения
Синус, косинус, тангенс и котангенс в прямоугольном треугольнике
Вывод тождества
Как из теоремы Пифагора получается sin²α + cos²α = 1
Радианы
Что такое радиан и как переводить градусы
радианы
Практика
Находить значения функций с помощью основного тождества
ВВЕДЕНИЕ

3.

02
·
ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Тригонометрические функции
в прямоугольном треугольнике
Определения
В треугольнике ABC
(∠C = 90°, ∠A = α)
sin α
противолежащий катет / гипотенуза
cos α
прилежащий катет / гипотенуза
tg α
противолежащий / прилежащий
ctg α
прилежащий / противолежащий
03 / 12
sin α = BC / AB
cos α = AC / AB
tg α = BC / AC
ctg α = AC / BC
ТРЕУГОЛЬНИК

4.

03
·
ПИФАГОР
Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов
равна квадрату гипотенузы.
BC² + AC² = AB²
где AB — гипотенуза, BC и AC — катеты
04 / 12
ВЫВОД

5.

04
·
ВЫВОД
Шаг 1. Делим на квадрат гипотенузы
Чтобы получить отношения сторон, разделим обе части
равенства на AB²:
BC² + AC² = AB² → (BC² + AC²) / AB² = AB² / AB²
BC² / AB² + AC² / AB² = 1
05 / 12
ШАГ 1

6.

05
·
ВЫВОД
Шаг 2. Переходим к синусу и косинусу
Вспомним, что sin α = BC / AB и cos α = AC / AB.
Значит квадраты этих отношений — это именно то, что у нас получилось:
(BC / AB)² = sin² α
(AC / AB)² = cos² α
sin² α + cos² α = 1
06 / 12
ШАГ 2

7.

06
·
ТОЖДЕСТВО
Основное тригонометрическое тождество
sin² α + cos² α = 1
Это тождество верно для любого угла α (где определены sin и cos).
С его помощью можно находить одну функцию, зная другую.
07 / 12
ГЛАВНОЕ

8.

07
·
РАДИАНЫ
Что такое радиан?
Радиан — это единица измерения углов, которая удобна в математике
и особенно в высшей математике и физике.
1 радиан — это центральный угол, опирающийся на дугу,
длина которой равна радиусу окружности.
Полный оборот (360°) = 2π радиан ≈ 6,28 радиан
Прямой угол (90°) = π/2 радиан ≈ 1,57 радиан
08 / 12
ЕДИНИЦЫ

9.

08
·
ПЕРЕВОД
Как переводить градусы и радианы
Градусы → Радианы
Радианы → Градусы
α рад = α° · (π / 180)
α° = α рад · (180 / π)
Пример:
90° = 90 · π/180 = π/2 рад
180° = π рад
30° = π/6 рад
Пример:
π/2 = 90°
π/3 ≈ 60°
π/4 = 45°
Запомнить легко: π радиан = 180°
Поэтому коэффициент перехода всегда π/180 или 180/π
09 / 12
ФОРМУЛЫ

10.

09
·
ТАБЛИЦА
Основные углы: градусы и радианы
10 / 12
Градусы
Радианы
sin
cos
tg
0°
0
0
1
0
30°
π/6
1/2
√3/2
1/√3
45°
π/4
√2/2
√2/2
1
60°
π/3
√3/2
1/2
√3
90°
π/2
1
0
—
ЗНАЧЕНИЯ

11.

10
·
ПРАКТИКА
Примеры применения тождества
Задача 1
Найдите sin α, если cos α = 3/5 и α ∈ (0; π/2).
Решение: sin²α + (3/5)² = 1 → sin²α = 1 − 9/25 = 16/25 → sin α = 4/5
(берём «+», потому что в I четверти синус положительный)
Задача 2
Найдите cos α, если sin α = −√2/2 и α ∈ (π; 3π/2).
Решение: cos²α + (−√2/2)² = 1 → cos²α = 1 − 2/4 = 1/2 → cos α = −√2/2
(в III четверти косинус отрицательный)
11 / 12
ЗАДАЧИ

12.

11
·
ИТОГ
Что нужно запомнить
Тождество
Вывод
sin²α + cos²α = 1 — всегда
Из теоремы Пифагора делением на гипотенузу в
квадрате
Радиан
Перевод
1 рад — угол с дугой, равной радиусу; π рад = 180°
° → рад: · π/180
12 / 12
рад → °: · 180/π
ЗАКЛЮЧЕНИЕ