Ранг_матрицы_и_теорема_кронекера

1.

IThub
ТЕМА ЗАНЯТИЯ
Ранг матрицы и теорема Кронекера — Капелли
Как находить ранг и определять, сколько решений имеет
система уравнений
01 Ранг матрицы
МАТЕМАТИКА • ITHUB
02 Метод Гаусса
03 Решения СЛАУ
01

2.

IThub
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Что такое ранг матрицы?
Простыми словами
Как его быстро найти
Ранг показывает максимальное количество
линейно независимых строк матрицы.
Привести матрицу к ступенчатому виду и
подсчитать ненулевые строки.
У нулевой матрицы ранг равен 0.
МАТЕМАТИКА • ITHUB
02

3.

IThub
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Какие преобразования строк разрешены?
1. Перестановка
2. Умножение
3. Сложение
Поменять две строки
местами.
Умножить строку на
ненулевое число.
Прибавить к строке другую,
умноженную на число.
R₁
R₂ ← 2R₂
R₃ ← R₃ − 2R₁
R₂
Эти операции не изменяют ранг матрицы.
МАТЕМАТИКА • ITHUB
03

4.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
IThub
Как найти ранг: алгоритм
01
Выберите ведущий ненулевой элемент в рабочем столбце.
02
Обнулите элементы под ведущим элементом.
03
Повторяйте для следующих столбцов до ступенчатого вида.
04
Посчитайте ненулевые строки: это и есть ранг.
МАТЕМАТИКА • ITHUB
04

5.

IThub
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Пример 1: ранг равен 3
Начальная матрица
[
Ступенчатый вид
1
-3
4
2
-5
6
-3
3
4
]
→
1
-3
4
[ 0
1
-2
0
0
1
]
Три ненулевые строки → rank(A) = 3.
МАТЕМАТИКА • ITHUB
05

6.

IThub
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Пример 2: ранг равен 2
Исходная матрица
[
После преобразований
-1
-2
1
2
3
0
0
1
-2
]
→
1
2
-1
[ 0
1
-2
0
0
0
]
Одна нулевая строка → две ненулевые → rank(A) = 2.
МАТЕМАТИКА • ITHUB
06

7.

IThub
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Матрица системы и расширенная матрица
СЛАУ:
2x + 3y = 6
x−y=½
Матрица коэффициентов A
2
[ 1
3
-1
Расширенная матрица [A|b]
]
2
[ 1
3
6
-1
½
]
[A|b] = матрица A + столбец свободных членов.
МАТЕМАТИКА • ITHUB
07

8.

IThub
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Теорема Кронекера — Капелли
Система совместна ⇔ rank(A) = rank([A|b])
Ранги разные
Ранги равны n
Ранги равны < n
Нет решений.
Одно решение.
Бесконечно много
решений.
n — число неизвестных: x, y, z и т. д.
МАТЕМАТИКА • ITHUB
08

9.

IThub
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Случай 1: единственное решение
2x + 3y = 6
x−y=½
2
[1
3
6
]
-1
½
→
1
[ 0
-1
1
½
]
1
rank(A) = rank([A|b]) = n = 2 → одно решение.
МАТЕМАТИКА • ITHUB
09

10.

IThub
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Случай 2: решений нет
2x + y = 1
4x + 2y = 6
2
[4
1
2
1
]
6
→
2
[ 0
1
0
1
]
4
0x + 0y = 4 невозможно → rank(A) = 1, rank([A|b]) = 2.
МАТЕМАТИКА • ITHUB
10

11.

IThub
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Случай 3: бесконечно много решений
3x + 4y = 12
6x + 8y = 24
3
[6
4
8
12
3
→ [
]
24
0
4
0
12
]
0
rank(A) = rank([A|b]) = 1 < n = 2 → бесконечно много решений.
МАТЕМАТИКА • ITHUB
11

12.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
IThub
Чек-лист: как исследовать СЛАУ
1.
Записать матрицу коэффициентов A и расширенную [A|b].
2.
Привести расширенную матрицу к ступенчатому виду.
3.
Определить rank(A) и rank([A|b]).
4.
Сравнить ранги между собой и с числом неизвестных n.
5.
Сделать вывод: решений нет, одно или бесконечно много.
МАТЕМАТИКА • ITHUB
12

13.

IThub
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Практика: определите ранг
A
B
1 3
0 7
D
1 5
8 92
12 6
2 14
22 6
E
10 14
7 2
5 61
МАТЕМАТИКА • ITHUB
C
F
6 12
14 5
0 9
78 17
15 4
13

14.

IThub
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Практика: исследуйте СЛАУ
Система A
Система B
Система C
3x + 2y − 4z = 8
2x + 4y − 5z = 11
x − 2y + z = 1
x+y+z=1
x − y + 2z = −5
2x + 3y = −2
3x − 3y + 2z = 2
4x − 5y + 2z = 1
x − 2y = 5
Для каждой системы сравните два ранга и определите число решений.
МАТЕМАТИКА • ITHUB
14

15.

IThub
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Итоги: основные правила
Ранг матрицы
Число ненулевых строк ступенчатой матрицы.
Метод Гаусса
Преобразования строк сохраняют ранг.
Ранги различаются
Система не имеет решений.
Ранги равны n
Система имеет одно решение.
Ранги равны и меньше n
Система имеет бесконечно много решений.
МАТЕМАТИКА • ITHUB
15