Лекция 5. СЛАУ

1. Линейная алгебра

Теорема Кронекера – Капелли
Метод обратной матрицы решения системы n
линейных уравнений с n неизвестными
Метод Крамера
Метод Гаусса решения систем линейных
уравнений
Исследование систем линейных уравнений
Однородные системы линейных уравнений

2. Исследование систем линейных уравнений

Теорема Кронекера - Капелли.
Для того, чтобы система линейных алгебраических уравнений
была совместна (имела решение ), необходимо и достаточно,
чтобы ранг расширенной матрицы системы равнялся рангу
основной матрицы :
r ( A) r ( A)
Если r ( A) r ( A) n(числу неизвестных), то система
совместна и определенна (имеет единственное решение).
Если r ( A) r ( A) n ,то система совместна и
неопределенна (имеет бесконечное множество решений).
Если r ( A) r ( A) ,то система несовместна (не имеет
решений).
При решении систем линейных алгебраических уравнений нет
необходимости заранее вычислять ранги основной и расширенной
матриц. Их определение производится автоматически при
выполнении метода исключения Гаусса.

3.

Леопольд
Кронекер
Немецкий математик
07 декабря 1823 29 декабря 1891
Иностранный членкорреспондент Петербургской
Академии наук (1872), член
Берлинской АН (1861),
профессор университета в
Берлине. Основные труды по
алгебре и теории чисел, где он
продолжил работы своего
учителя Э. Куммера по теории
квадратичных форм и теории
групп. Большое значение имеют
его исследования по
арифметической теории
алгебраических величин.

4.

Альфре́до Капе́лли
5 августа 1855 — 28
января 1910
Итальянский математик,
член Национальной
академии деи Линчеи.
Известен прежде всего
как человек, который
открыл Тождество
Капелли.

5.

Доказательство:
1. Необходимость.
Так как система совместна - это значит она имеет хотя
бы одно решение (по определению совместной СЛАУ)
=> решение существует, а значит столбец свободных
членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А,
=> добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход
основной матрицы к расширенной не изменяют ранга.
2. Достаточность.
Если r ( A) r ( A) r . Возьмем в матрице А какойнибудь базисный минор. Так как r ( A) r, то он же и
будет базисным минором и матрицы A . Тогда,
согласно теореме о базисном миноре, последний
столбец матрицы A будет линейной комбинацией
базисных столбцов, то есть столбцов матрицы А.
Следовательно, столбец свободных членов системы
является линейной комбинацией столбцов матрицы А.

6. Метод обратной матрицы решения систем линейных уравнений

Метод обратной матрицы рассмотрим на примере
решения квадратной системы 3 порядка.
a11x1 a12 x 2 a13 x 3 b1
a21x1 a22 x 2 a23 x 3 b2
a x a x a x b
33 3
3
31 1 32 2
Запишем эту систему в матричном виде. Обозначим:
a11 a12
A a21 a22
a
31 a32
a13
a23
a33
x1
X x2
x3
b1
B b2
b3
Основная матрица
Матрица - столбецМатрица - столбец
системы свободных членов
неизвестных

7. Метод обратной матрицы решения систем линейных уравнений

Тогда систему можно записать так:
a11 a12
A X a21 a22
a
31 a32
a13 x1 a11 x1 a12 x 2 a13 x 3 b1
a 23 x 2 a 21 x1 a 22 x 2 a 23 x 3 b 2
a x a x a x b
a33 x 3 31 1 32 2
3
33 3
A X B
Найдем решение системы в матричном виде.
Предположим, что det A отличен от нуля и, следовательно,
существует обратная матрица А-1.
Умножим слева матричную запись системы на обратную матрицу:
A 1 A X A 1 B
E X A 1 B X A 1 B
Замечание: Метод обратной матрицы применим для решения
квадратных систем с невырожденной основной матрицей.

8. Метод обратной матрицы решения систем линейных уравнений

Решить систему методом обратной матрицы.
3x 2 x 3 1
2x1 4x 2 x 3 2
2x 2x 3
2
1
X A 1 B
1 1 0,5
A 1 1 1
1
2 3 3
x1
0 3 1
A 2 4 1 X x 2
2 2 0
x3
1
B 2
3
1
B 2
3
-0,5
2
-5
0,5
X 2
5

9. Системы из n линейных уравнений с n неизвестными

Для сокращения выкладок запишем систему из трех уравнений с
тремя неизвестными:
a11x1 a12 x 2 a13 x 3 b1
a21x1 a22 x 2 a23 x 3 b2
a x a x a x b
33 3
3
31 1 32 2
a11 a12 a13
a 21 a 22 a 23
a31 a32 a33
Вспомогательные определители получаются из главного
определителя, если заменить соответствующий столбец столбцом
свободных членов:
b1 a12 a13
a11 b1 a13
a11 a12 b1
1 b 2 a 22 a 23
2 a 21 b 2 a 23
3 a 21 a 22 b 2
b3 a32 a33
a31 b3 a33
a31 a32 b3

10. Системы из n линейных уравнений с n неизвестными

По величине главного и вспомогательных определителей можно
судить о характере системы:
Если
0 то система совместна и определенна.
Если 0, 1 2 3 0
неопределенна.
то система совместна и
Если 0, но 1 0 или 2 0 или 3 0 то
система несовместна.
В общем случае будем иметь n +1 определителей n – ого порядка
, 1, 2 , 3 , , n 2 , n 1, n
и, если 0 , то решение системы находится по формулам
Крамера:
1
x1 ;
2
x2
;
n
xn
Формула Крамера

11.

Швейцарский математик,
ученик и друг Иоганна
Бернулли, один из
создателей линейной
алгебры.
Габриэ́ ль Кра́мер
31 июля 1704 —
4 января 1752

12.

Метод Крамера
Теорема (Крамера). Если в системе линейных уравнений число уравнений m и число неизвестных n
совпадает и A 0 , то система совместна и имеет
единственное решение, которое может быть найдено по
формулам
i
xi
i 1,2, n
где A , а i – определитель, получаемый из
определителя заменой его i -го столбца на столбец
свободных членов.

13.

2 x 1 3x 2 1
3x 4 x 1
1
2
2 3
8 9 1 0
3 4
1 3
1
1
1 4
1
1
x1
1
1
2 1
2
1
3 1
2
1
x2
1
1

14. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Следующие действия над расширенной матрицей системы
называются элементарными преобразованиями.
Умножение элементов строк на одно и то же число, не равное
нулю
Перестановка местами двух строк
Прибавление к элементам строки элементов другой строки,
умноженных на произвольный множитель.
Конечной целью элементарных преобразований является
получение верхнетреугольной матрицы, у которой все элементы,
стоящие под главной диагональю равны нулю. Преобразования
стараются производить так, чтобы на главной диагонали
появлялись единицы.
a11 a12
a 21 a 22
a
31 a32
a13
a 23
a33
b1
1 c 12
b2 0 1
0 0
b3
c 13
c 23
1
d1
d2
d3

15.

Иога́нн Карл
Фри́ дрих Га́усс
30 апреля 1777—
23 февраля 1855
Немецкий математик,
механик, физик,
астроном и геодезист.
Считается одним из
величайших
математиков всех
времён, «королём
математиков». Лауреат
медали Копли (1838),
иностранный член
Шведской (1821) и
Российской (1824)
Академий наук,
английского
Королевского общества.

16. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

5x 2y 4z 5
2x 3y z 7
3x y 2z 3
Ко второй строке
Запишем
прибавим третью строку,
расширенную
умноженную на (-5)
матрицу системы
( 2)
5 2 4 5 ( 2) 1 8 6 9 ( 3)
~
1 строке
7 прибавим
2 К3первой
~
2 3 1 7
строку,
3 1 вторую
3 1 2 3
2
3
умноженную
на (-2)
6
9 1Ко второй
8
6строке
9 ( 5)
1 8
прибавим
первую
строку,
вычтем
Из третьей строки
0 19 13на (-2),
25
~
0 19 13 25 ~ умноженную
вторую строку
строке
0 23 16 30
0 К третьей
4 первую
3 строку,
5
прибавим
умноженную на (-3).

17. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

( 1)
: 5
~
1 8 6 9 4 1 8 6 9
0
~
0 1 2
0 1 2 0
строке
0 4 3 5
0 К0третьей
прибавим
5
5
вторую строку,
умноженную на 4
1 8 6 9
Вторую строку умножим
на (-1), третью
строку
Восстановим
систему:
0 1 2 0
разделим на 5
0 0
1
1
x 8y 6z 9
x 9 8y 6z
x 9 16 6 1
y
2
z
0
y 2
y 2z 2
z 1
z 1
z
1
x 1 y 2
z 1

18.

Схема метода Гаусса.
Прямой ход
1. Элементарными преобразованиями приводим систему
к эквивалентной системе, имеющей расширенную
матрицу ступенчатого вида.
2. Выясняем, будет ли система совместна, сравнивая
ранги основной и расширенной матриц полученной
системы.
3. Выбираем в основной матрице полученной системы
базисный минор треугольного вида.
4. Переносим в правую часть системы слагаемые с
неизвестными, коэффициенты которых не вошли в
базисный минор.

19.

Обратный ход
5.
Начиная с последнего уравнения (в обратном
порядке) выражаем все зависимые переменные через
свободные. Система, в которой зависимые переменные
выражены через свободные, называется общим
решением системы.
6. Придавая свободным переменным конкретные
числовые значения, получаем бесконечно много решений
исходной системы. Каждое из этих решений называют
частным решением системы.

20. Исследование систем линейных уравнений

2x1 2x 2 2x 3 4
x1 x 2 x 3 0
3 x1 3 x 2 x 3 2
x1 x 2 3 x 3 2
1 1 1 2 ( 3) 1
0
1 1 1 0 V
~
0
3 3 1 2
0
1 1 3 2
2 2 2 4
:2
1 1 1 0
3 3 1 2 ~
1 1 3 2
1 1
2 ( 11 )
( 12)
0 2 2 V 4
~4
0 4 4
0 4
4

21. Исследование систем линейных уравнений

1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
2 1
1 V 0
~
0
1
0
1
r ( A) r ( A) 2
1
0
0
0
1
1
0
0
2
1
0
0
система совместна
n 3 - число неизвестных
r ( A) n система неопределенна
n r 3 2 1 - число свободных переменных
Восстановим систему:
Пусть x 2 t.
x1 1 t
x1 2 t x 3 1 t
x1 t x 3 2
x2 t
x3 1
x3 1
x 1
3

22. Исследование систем линейных уравнений

( 2)
1 2 4 1
2 1 5 1
~
1 1 1 3
1 2 4 1 1 2 4 1
~
0 3 3 3
0 3 3 3
0 3 3
0 0
2
0
5
x 2y 4z 1
2x y 5z 1
x y z 3
r ( A) 3
r( A ) 2
r ( A) r ( A) система несовместна

23. Однородные системы линейных уравнений

Система линейных уравнений называется однородной, если все
свободные члены ее равны нулю.
a11x1 a12 x 2 a1n x n 0
a21x1 a22 x 2 a2n x n 0
am1x1 am2 x 2 amn x n 0
Однородная система всегда имеет решение:
x1 0
x 2 0 xn 0
Это решение называется тривиальным. Оно является
единственным решением системы в случае, когда r( A ) n
Если r( A ) n , то система имеет бесконечное множество
решений.

24.

a11x 1 a12 x 2 a1n x n 0 ,
a21x 1 a22 x 2 a2 n x n 0 ,
am1x 1 am 2 x 2 amn x n 0 .
(**)
x 1 x 2 x n 0 – решение , т.е. система совместна
Это решение называют нулевым или тривиальным.
Другие решения называют нетривиальными.
r ( A) r ( A)
Теорема
(критерий
существования
нетривиальных
решений). Система линейных однородных уравнений
обладает нетривиальным решением тогда и только тогда,
когда ранг её
основной матрицы меньше числа
неизвестных, то есть r(A ) n .

25.

С1, С2, … , Сk – матрицы-столбцы, являющиеся
решениями системы (**)
α1, α2, … , αk – некоторые числа
α1С1 + α2С2 + … + αkСk – линейная комбинация
Теорема (свойство решений системы линейных
однородных уравнений). Любая линейная комбинация
конечного числа решений системы (**) является
решением этой системы.

26.

Теорема (существования фундаментальной системы
решений). Пусть r – ранг матрицы системы (**). Если
система имеет нетривиальные решения, то найдутся n – r
линейно независимых решений таких, что любое другое
её решение будет их линейной комбинацией. Эти
решения
называются
фундаментальной
системой
решений системы (**).
1. Находим общее решение системы.
2. Записываем любой отличный от нуля определитель
порядка n – r.
3. Записываем n – r решений системы, беря в
качестве значений для свободных неизвестных
элементы строк поочередно.

27. Однородные системы линейных уравнений

Пусть: r ( A ) r n
Тогда система имеет r базисных переменных и n – r свободных
переменных.
Общее решение системы запишется в виде:
x1( t1,..., t n r )
...
x r ( t1,..., t n r )
X
t1
...
t
n r
Базисные переменные,
зависящие от свободных
переменных
Значения свободных
переменных
t1 xr 1; t 2 xr 2 ; tn r xn

28. Однородные системы линейных уравнений

Выберем n - r частных решений однородной системы, полученных
из общего решения следующим образом: полагаем одно из
значений свободных переменных равным 1, а остальные равными
0 :
x1(1,0,..., 0)
x1(0,0,...,1)
x1(0,1,..., 0)
x r (0,0,...,1)
x r (1,0,..., 0)
x r (0,1,..., 0)
0
1
0
X
X1
X2
n r
0
0
1
1
0
0
Эти решения образуют фундаментальную систему решений
однородной системы (ФСР).

29. Однородные системы линейных уравнений

( 2)
1 1 5 7 ( 3)
~
1
2 1 4
3 2 1 6
Найти фундаментальную систему решений:
x1 x 2 5 x 3 7 x 4 0
2x1 x 2 4 x 3 x 4 0
3 x 2x x 6 x 0
2
3
4
1
1 1 5 7 1 1 5 7 ( 1)
~
~
0 1 14 15
0 1 14 15
0 0
0 1 14 15
0
0
1 1 5 7
0 1 14 15
r( A ) 2
n 4
n r 4 2 2 - число свободных переменных

30. Однородные системы линейных уравнений

Обозначим:
x 3 t1
x4 t2
(в качестве свободных переменных обычно берут те,
которые имеют 0 на главной диагонали)
x 1 x 2 5t 1 7t 2
x 1 x 2 5t 1 7t 2 0
x 2 14t1 15t 2
x 2 14t1 15t 2 0
x1 14t1 15t2 5t1 7t2 9t1 8t2
x2 14t1 15t2
9t1 8t 2
14t1 15t 2
X
t1
t
2
Фундаментальная
система решений
9
решение
8
Общее
15
14
X1 X 2
0
1
1
0

31.

Пусть система АХ = В совместна и r(A) < n.
Установим связь между решениями системы АХ = В и
соответствующей ей системы АХ = 0.
Теорема 1. Сумма любого решения линейной неоднородной системы и любого решения соответствующей ей
однородной системы является решением неоднородной
системы.
Теорема 2. Разность двух произвольных решений линейной неоднородной системы является решением
соответствующей однородной системы.
Теорема 3. Общее решение линейной неоднородной
системы равно сумме любого частного решения этой
системы и общего решения соответствующей однородной системы.