все о функции

1. Функции

2.

Определение функции.
Обозначение функции.
у( х ) - функция
х - аргумент
зависимая переменная
независимая переменная

3. Являются ли изображенные на рисунках линии графиками некоторых функций?

Не функция
1
Не функция
Функция
2
3

4.

Определите, какая из данных зависимостей
является функциональной
1) x
y
2) a
q
3) x
d
4) n
f

5.

1. Функция , т.к. каждому значению переменной х
ставится в соответствие единственное значение
переменной у
2. Не функция, т.к. не каждому значению
переменной а ставится в соответствие
единственное значение переменной q
3. Не функция, т.к. одному из значений переменной
х ставится в соответствие не единственное
значение переменной d
4. Функция , т.к. каждому значению переменной n
ставится в соответствие единственное значение
переменной f
1)
x
y
2) a
q
3)
x
d
4)
n
f

6.

Область определения функции
Область определения функции –
множество всех значений, которые может
принимать х.
у = 5х + 1
х – любое число
х – любое число
х – любое число, кроме 0
х – любое не отрицательное число
х≥0

7.

Найти область определения функции
у = 10х − 3
х – любое число
х+4≠0
х ≠ −4
х – любое число х – любое число,
кроме −4
х – любое число
х – любое число

8.

Найти область определения функции
5х + 12 ≠ 0
5х ≠ −12
х ≠ −12 : 5
х ≠ −2,4
х – любое число,
кроме −2,4
х – любое число

9.

Найти область определения функции
−3х + 4 ≥ 0
2х + 14 ≥ 0
−3х ≥ −4
2х ≥ −14
х ≤ −4 : (−3)
х ≥ −14 : 2
х ≥ −7
[−7;+∞)

10.

Найти область определения функции
(х − 4)(х+2) ≠ 0
х(2х − 6) ≠ 0
х ≠4
х ≠0
х ≠ −2
х – любое число,
кроме 4 и -2
2х−6 ≠0
2х ≠ 6
х≠6:2
х≠3
х – любое число,
кроме 0 и 3

11. Область значений функции.

Область значений функции у(х)
это все значения -
У_
Обозначение области значений - Е(у)

12.

Укажите область определения и область
значений функции, которая задана
таблицей:
x
y
-4
-8
-3
-6
-2
-4
-1
-2
0
0
1
2
2
4
3
6

13.

Укажите область определения и область
значений функции.

14.

Функция задана графом. Заполните
пропуски.
1)
g(2) =
2)
g(- 2) =
3)
g(x) = 0 при x =
4)
g(x) = 1 при х =
или х =
5)
D(g) =
6)
E(g) =

15.

Функция задана графиком. Заполните
пропуски.
1)
f(-3) =
2)
f(- 1) =
3)
f(x) = - 1,5 при x =
4)
f(x) = 2 при х =
х=
5)
D(f) =
6)
E(f) =
,x=

16. Область определения и область значений функции

№
Аналитическая
модель
График
функции
1
у = кх + в
у
у=
3
к
х
у = ах + вх + с
а 0
2
Область значений
D( y ) = (− ;+ ) Е ( y ) = (− ;+ )
0
2
Область определения
х
у
к 0
0
х
у
к 0
а 0
ув
0
а 0
х
ув
D( y) = (− ;0) (0;+ ) Е ( y ) = (− ;0) (0;+ )
D( y ) = (− ;+ )
Е ( y) = ув ;+ )
Е ( y) = (− ; ув

17. Область определения и область значений функции

№
4
Аналитическая
модель
График
функции
у
у= х
0
5
у=
х
Область значений
D( y ) = (− ;+ )
Е( y) = 0;+ )
D(y) = 0;+ )
Е( y) = 0;+ )
х
у
0
Область определения
х

18.

Повторим:
Какая функция
называется
четной?
f (− x ) = f (x )
Какая функция
называется
нечетной?
g (− x) = − g (x)

19.

Четная функция
Нечетная функция
у
у
х
-x
x
-x
х
x
f(–x) = f(x)
f(-x) = – f(x)

20.

На одном из следующих рисунков изображен
график четной функции. Укажите этот график.
у
у
Это нечетная функция!
ПОДУМ
АЙ!
х
1
2
ПОДУМу
АЙ!
3
4
х
х
Верно!
График
симметричен
у
относительно
оси Оу
х

21.

На одном из следующих рисунков изображен
график нечетной функции. Укажите этот график.
Верно!
у
График симметричен
относительно точки О
ПОДУМАЙ!
у
1
х
3
х
Это четная функция!
у
у
ПОДУМАЙ!
4
2
х
х

22.

На одном из следующих рисунков изображен
график нечетной функции. Укажите этот график.
Верно!
График симметричен
относительно точки О
ПОДУМАЙ!
3
1
Это четная
функция!
2
4
Это четная
функция!

23.

Найдите значение выражения f(3) + f(–5),
если известно, что у = f(x) – четная функция и
f(–3)=2, f(5)= –3.
1
–1
Верно!
Функция четная, тогда
2
1
3
5
4
–5
ПОДУМАЙ!
f(3) = f(–3) =2,
f(–5) = f(5) = –3,
ПОДУМАЙ!
f(3) + f(5) = 2 + (– 3) = –1
ПОДУМАЙ!

24.

Найдите значение выражения f(4) – f(-5),
если известно, что у = f(x) – нечетная функция
и f(-4)=2,5, f(5)= 1,3.
1
3,8
Функция нечетная, тогда
ПОДУМАЙ!
f(4) = - f(-4) = -2,5,
2
3
- 3,8
-1,2
f(-5) =ПОДУМАЙ!
- f(5) = -1,3,
f(4) – f(-5) = - 2,5 - (-1,3) = - 1,2
ПОДУМАЙ!
4
1,2
Верно!

25.

Достройте график так, чтобы функция f(x)
была четная.
Проверить

26.

Достройте график так, чтобы функция
f(x) была нечетная.
Проверить

27.

Достройте график так, чтобы функция f(x)
была четная.
Проверить

28.

Достройте график так, чтобы функция f(x)
была нечетная.
Проверить

29. Обратимые функции

30. Свойства обратной функции

31. Обратные функции

32.  

33.

34. Обратные функции

• Область определения обратной функции
совпадает с областью значений исходной
функции.
• Область значений обратной функции
совпадает с областью определения
исходной функции.

35. Периодические функции

Определение 4. Функция называется периодической, если
существует такое отличное от нуля число T, что для
любого x из области определения функции справедливо
равенство:
f ( x + T ) = f ( x) = f ( x − T )
T
y=cos
x

36.

Функция у = f(x) задана графиком. Укажите
промежуток возрастания этой функции.
y
3
2
IIIIIIIIIIIII
-4 -3
-1
–2
–3
IIIIIIIII
1 2 3 4 5
x

37.

Функция у = f(x) задана графиком. Укажите
промежуток убывания этой функции.
y
3
2
-4 -3
-1
IIIIIIIIIIIIIIIII
1 2 3 4 5
–2
–3
x

38.

Функция у = f(x) задана графиком. Укажите длину
наибольшего из промежутков убывания этой
функции.
y
O
1
x

39.

Функция у = f(x) задана графиком. Найдите
значения х, при которых у ≥ 0
y
x1
x0
x2
x3
O x4
-1
x5
x6
x

40.

Функция у = f(x) задана графиком. Найдите
значения х, при которых у < 0
y
b
x1
x2
x0
x3
O x4
-1
x5
x6 a

41.

Свойства функции
Функция называется периодической, если
существует такое число Т 0, что для
любого х из области определения этой
функции выполняется равенство:
f (x – T) = f(x) = f (x + T)
число T называют периодом
функции y = f(x)

42.

43.

44.

45.

I
y= f (x)
y
I
1
OI
I
I
I
I
-1
T
график периодической
функции y = f(x)
T – период функции
x

46.

На одном из рисунков изображен график
периодической функции. Укажите номер этого
рисунка
1)
y
2)
1
0
3)
1
1
0 1
x
y
4)
1
x
0 1
y
x
y
1
0 1
x

47.

На одном из рисунков изображен график
периодической функции. Укажите номер этого
рисунка
1)
y
2)
1
1
0 1
3)
x
y
0 1
4)
1
0 1
y
y
1
x
x
0 1
x

48.

На одном из рисунков изображен график
периодической функции. Укажите номер этого
рисунка
1)
y
2)
y
1
0 1
3)
1
x
y
1
0 1
0 1
4)
x
x
y
1
0
1
x

49.

Функция у =f (x), имеющая период Т = 4 задана
графиком на промежутке [-1; 3].
Найдите значение этой функции при х = 10.
1 способ
y
11
–5
15
Не верно!
1
4
3
2
1
–1 –112 2 32 x 3
Не верно!
Не верно!
2 1
3 3
4
f(x+Т) = f(x) = f(x-T)
Проверка (2)
x
10 7
Верно!
4 2
2 способ
f(10) = f(6) = f(2) = …

50.

Периодическая функция y=f(x) определена для всех действительных
чисел. Её период равен 3 и f(1)=4. Найдите значение выражения 6
f(7)- 5 f(-2).
Решение: 1) f(7)= f(1+2∙3)= f(1)=4;
2) f(-2)= f(1 - 3)= f(1)=4;
3) 6 f(7)- 5 f(-2) =6∙4-5∙4=4.
Ответ: 4

51.

Периодическая функция y=f(x) определена для всех действительных
чисел. Её период равен 3 и f(1)=7. Найдите значение выражения 4
f(10)- 3 f(-5).
Решение: 1) f(10)= f(1+3∙3)= f(1)=7;
2) f(-5)= f(1 - 2∙3)= f(1)=4;
3) 6 f(10)- 5 f(-5) =6∙7-5∙7=7.
Ответ: 7

52.

Замечаем:
Если Т=2, то
f(5)=f(3)=f(1)=f(-1)=f(-3)…
Если Т=3, то
f(5)=f(2)=f(-1)=f(-4)=f(-7)…

53.

Функция y=f(x) имеет период Т =2 и f(x) =х2 + 2х
при х ϵ [-2;0]. Найдите значение выражения
-2 f(-3)- 4 f(3,5).
Решение: 1) f(-3)= f(-1).
-1 ϵ [-2;0], значит f(-1)=(-1)2 +2∙(-1)=-1.
Получили : f(-3)= f(-1)=-1.
2) f(3,5)= f(1,5)= f(-0,5), -0,5 ϵ [-2;0],
значит f(-0,5)=(-0,5)2 +2∙(-0,5)=0,25-1=-0,75.
Получили : f(3,5)= f(-0,5) =-0,75.
3) -2 f(-3)- 4 f(3,5)=-2∙(-1)-4 ∙(-0,75)=2+3=5.
Ответ: 5

54.

Периодическая функция у = f(х)
определена для всех действительных
чисел. Ее период равен 3
и f (2) = 7. Найти значение выражения
5 f (− 4 ) − 3 f (5 )

55.

Периодическая функция у = f(х)
определена для всех действительных
чисел. Ее период равен 2,5
и f (–1,5) = 3. Найти значение выражения
− 2 f (6 ) + 7
4 f (− 4 ) − 2

56.

Периодическая функция у = f(х)
определена для всех действительных
чисел. Ее период равен 4
и f (–1) = 1, f (0) = 2, f (2) = 3.
Найти значение выражения
f (− 2 ) + 3 f (6 )
3 f (3 ) − f (8 )

57. Монотонность функции

y
A
-4 -3
C
4
3
2
1
-2
B
-1 0 -1 1
-2
-3
-4
D
2
3
− 4 ; − 2 − функция убывает
− 2 ; 3 − функция возрастает
3 ; 4 − функция убывает
4
x

58. Постоянные функции

y
6
5
y = 2
4
3
2
1
-7 -6 -5
-4 -3 -2
-1 0
-1 1
-2
2
3
4
5
6
7
x

59. Непрерывность функции. Точки разрыва

Функция непрерывна
y
6
5
4
3
2
1
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -11
y = f (x)
2 3 4 5 6 7
x
-2
y
y = f (x)
Функция в точке
x=3
6
5
4
3
2
1
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -11
-2
X=3 – точка
разрыва
2 3 4 5 6 7
x

60. Исследуйте функцию

1. ОДЗ
y
− 6 ; 6
6
5
y = f (x)
4
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
3
− 2 ; 5
2
3. Четность
1
Общего вида
-1 1
-2
5. Промежутки
монотонности
2. Область значений
x
2
3
4
5
6
7
4. Периодичность
непериодическая
(− 6 ; − 4) ,(− 1 ; 2) − функция возрастает
(− 4 ; − 1) , (2 ; 6 ) − функция убывает

61.

Вариант 1
Вариант 2

62. Проверка задания

63. Самостоятельная работа. Исследуйте функцию

y
Вариан
6
5
т1
4
3
2
1
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -11
2 3 4 5 6 7
x
-2
y
Вариан
т2
6
5
4
3
2
1
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -11
-2
2 3 4 5 6 7
10
x

64. График функции

(х; у)- координаты точки в плоскости
у – ордината точки
(координата оси ОУ)
х – абсцисса точки
(координата оси ОХ)
у( х )- функция
х - аргумент

65. График функции

Графиком функции f называют множество всех точек
(х; у) координатной плоскости, абсциссы которых равны
значениям аргумента, а ординаты равны соответствующим
значениям функции.
Задание 2.
Определите, какой из данных графиков является графиком
функции
Рис.1
Рис.2
у
х
у
у
х
Рис.3
Рис.4
у
х
НЕ ЯВЛЯЮТСЯ графиками функций рис.1, рис. 3,рис. 4
х

66. График функции

О точке М(х; у), принадлежащей графику функции
( D = [2; 6] ), говорят, что ее координаты
удовлетворяют уравнению
4
у
x +7
y=
x
.
М(х; у)
3
2
1
О
1
2
3
4
5
6 х

67.

1.Область определения
Область определения функции – все значения,
которые принимает независимая переменная.
Обозначается : D (f).
Пример. Функция задана формулой у =
6
х 2 −9
Данная формула имеет смысл при всех значениях
х ≠ -3, х ≠ 3,
поэтому D( y )=(- ∞;-3) U (-3;3) U (3; +∞)

68.

2. Область значений
Область (множество) значений функции – все
значения, которые принимает зависимая
переменная.
Обозначается : E (f)
Пример. Функция задана формулой у =
х +9
2
Данная функция является квадратичной , график – парабола,
вершина (0; 9)
поэтому E( y )= [ 9 ; +∞)

69.

3. Нули функции
Нулем функции y = f (x) называется такое значение
аргумента x0, при котором функция обращается в нуль:
f (x0) = 0. Нули функции - абсциссы точек пересечения с Ох
Y
х1
х2
Х
x1,x2 - нули функции

70.

4. Четность
Четная функция
Нечетная функция
Функция y = f(x) называется четной,
если для любого х из области
определения выполняется равенство
f (-x) = f (x).График четной функция
симметричен относительно оси
ординат.
Функция y = f(x) называется нечетной,
если для любого х из области
определения выполняется равенство
f (-x) = - f (x). График нечетной
функции симметричен относительно
начала координат.
y
y
1
1
0 1
x
0 1
x

71. Четная функция

Если
значения
функции,
соответствующие
любым
двум
противоположным значениям аргумента (т.е.
х и –х), равны между собой, то такая функция
называется четной.
Определение.
1)
у
-3
1
О
1
3
3
у(-3) = у(3) = -3.
D(у) симметрична
относительно нуля, т.е.
если х D(у), то и (-х) D(у).
2)
у(-х) = у(х).
х
График четной функции
симметричен относительно
оси Оу.

72. Нечетная функция

Определение.
Если
значения
функции,
соответствующие любым двум противоположным
значениям аргумента (т.е. значениям х и –х),
противоположны друг другу, то такая функция
называется нечетной.
1)
1
y= x
2
у
1
-2
-1
О
1
2
-1
у(-2) = - у(2) = -1.
х
D(у) симметрична
относительно нуля, т.е.
если х D(у), то и (-х) D(у).
2)
у(-х) = - у(х).
График нечетной функции
симметричен относительно
начала координат О(0;0).

73. 5. Промежутки знакопостоянства

Промежутки, на которых непрерывная функция сохраняет свой
знак и не обращается в нуль, называются промежутками
знакопостоянства.
y > 0 (график
расположен выше оси
ОХ) при х (- ∞; 1) U
(3; +∞),
y<0 (график
расположен ниже OX)
при х (1;3)
y
1
0 1
x

74. 6. Непрерывность

Функция называется непрерывной на промежутке, если она
определена на этом промежутке и непрерывна в каждой точке
этого промежутка.
Непрерывность функции на промежутке Х означает, что
график функции на всей области определения сплошной, т.е. не
имеет проколов и скачков.
Задание . Определите, на каком из рисунков изображен график
непрерывной функции .
подумай
правильно
1
5
2
4
3
2
1
0
-4
-2
-1 0
-2
-3
-4
-5
2
4
6

75. 7. Монотонность

Функцию у = f(х) называют
возрастающей на множестве
Х, если для любых двух точек
х1
и х2
из области
определения, таких, что х1 <
х2, выполняется неравенство
f(х1) < f(х2) .
Функцию у = f(х) называют
убывающей на множестве Х,
если для любых двух точек
х1 и х2 из области определения,
таких, что х1 < х2, выполняется
неравенство
f(х1) >f(х2) .
f(x1)
f(x1)
f(x2)
x1
f(x2) х1
x2
x2
x1
x2

76. 8.Наибольшее и наименьшее значения

Число m называют наименьшим значением функции
у = f(х) на множестве Х, если:
1) в области определения существует такая точка х0, что
f(х0) = m.
2) всех х из области определения выполняется неравенство
f(х) ≥ f(х0).
Число M называют наибольшим значением функции
у = f(х) на множестве Х, если:
1) в области определения существует такая точка х0, что
f(х0) = M.
2) для всех х из области определения выполняется
неравенство
f(х) ≤ f(х0).

77.

y=M
yнаиб
yнаим
y=m

78. 9. Ограниченность

Функцию у = f(х) называют
ограниченной снизу на
множестве Х, если все значения
функции на множестве Х
больше некоторого числа.
у
Функцию у = f(х) называют
ограниченной сверху на
множестве Х, если все значения
функции на множестве Х
меньше некоторого числа.
у
х
х

79. 10. Выпуклость

Функция выпукла вниз на
промежутке Х если, соединив
любые две точки ее графика
отрезком прямой, мы обнаружим,
что соответствующая часть графика
лежит ниже проведенного отрезка.
Функция выпукла вверх на
промежутке Х, если соединив
любые две точки ее графика
отрезком прямой, мы обнаружим,
что соответствующая часть графика
лежит выше проведенного отрезка .

80. Основные свойства функции

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Область определения;
множество значений;
наибольшее и наименьшее значения;
точки пересечения графика с координатными
осями;
нули функции;
промежутки знакопостоянства;
наличие (либо отсутствие) четности,
нечетности;
промежутки возрастания, убывания.