Применение производной к исследованию функции

1.

Применение производной к
исследованию функции

2.

План урока
Пиши правильно
Схема исследования функции
Практикум

3.

Пиши правильно
абсцисса
внутренние точки
вычисление
дробно-рациональная функция
исследование
критические точки
наибольшее и наименьшее значения
область определения
ордината
оси координат
периодичность
промежутки возрастания
производная
симметрия
точки пересечения
функция ни чётная, ни нечётная
экстремумы

4.

Схема исследования функции
Область определения функции
Чётность, нечётность функции
Периодичность функции
Точки пересечения графика с осями
координат
Вычисление производной
Критические точки
Промежутки возрастания
и убывания функции
Точки экстремума функции
Область значений функции

5.

Область определения – множество значений x, на котором
определена функция f (x).
1) y f ( x ), D ( y ) R
y = 2x3 + 3x2 - 5x
y
D( y ) R
2) y
a
p ( x)
,
g ( x)
Область определения дробнорациональных функций – это
множество всех действительных
чисел, кроме корней g (x), т.е.
x
o
b
g ( x) 0 x m, x n.
D( y ) R, кроме x m, x n
или D( y ) ( ; m) (m; n ) (n; ).
1
x(x - 3)
x ( x 3) 0 x 0, x 3
f(x)
D (y) = (а; b)
D ( y ) ( ;0) (0;3) (3; )

6.

Чётность, нечётность функции
.

7.

y
o
x
Функция называется чётной,
если для любого х из её
области определения
выполняется равенство
f (-x) = f (x).
f ( x) x 4 x 2
f ( x) ( x) 4 ( x) 2
График чётной функции
симметричен относительно
оси ординат (oy).
x 4 x 2 f ( x)
f ( x) f ( x)

8.

y
Функция называется нечётной,
если для любого х из её области
определения выполняется
равенство f (-x) = - f (x).
o
x
f ( x) x 3 2 x
f ( x ) ( x ) 3 2( x )
x 3 2 x ( x 3 2 x )
График нечётной функции
симметричен относительно
начала координат (0;0).
f ( x)
f ( x) f ( x)

9.

y
Равенства не выполняются
f (-x) = f (x),
f (-x) = - f (x).
f ( x) 3 x 2 2 x 3
o
x
f ( x) 3( x) 2 2( x) 3
3x 2 2 x 3 3x 2 2 x 3 f ( x)
f ( x) f ( x)
f ( x) (3 x 2 2 x 3)
3 x 2 2 x 3 3 x 2 2 x 3 f ( x)
f ( x) f ( x)
Симметрии нет.

10.

Периодичность функции
Функции, описывающие процессы и явления
повторяющегося характера, называются
периодическими.
функции
периодические
y
o
x
f ( x) f ( x T ), T период
непериодические
y
o
x

11.

Точки пересечения графика с осями
координат
А). Точки пересечения графика с осью ординат (oy): x=0.
y f ( 0)
y
D(0;d)
d
f ( x) 3x 2 8 x 7
o
f ( 0 ) 3 * 0 2 8 * 0 7 7
x
т.А (0; 7)
B). Точки пересечения графика с осью абсцисс (ox): y=0 – нули функции.
y
f ( x) 0 x a, x b, x c
A(a;0), B (b;0), C (c;0)
f ( x) x 3 10 x 2 9 x, f ( x) 0
x
o
a
b
c
x( x 2 10 x 9) 0
x 0 или x 2 10 x 9 0
D 10 2 4 *1* 9 64
10 8
10 8
1, x2
9
2 *1
2 *1
A(0;0), B (1;0), C (9;0)
x1
A(a;0), B(b;0), C(c;0).

12.

Вычисление производной
Производную вычисляем по формулам и
правилам.
(C ) / 0; (kx) / k ; ( x n ) / nx n 1 ;
(u v ) / u / v /
(Cu ) / Cu /
(uv ) u v v u
/
/
/
u / u / v v /u
( )
v
v2
(ax ) anx
n /
n 1
; ( x)
an
a
n n 1 ;
bx bx
/
(sin x) / cos x;
1
/
2 x
;
n
1
n n 1
x x
/
(cos x) / sin x;
1
1
/
(tg x)
; (ctg x) 2 .
2
cos x
sin x
/

13.

Критические точки
Это внутренние точки области определения
функции, в которых производная равна нулю
или не существует.
Критические точки
f ( x) 0
/
f ( x) не существует
/

14.

Критические точки
f ( x) 0
/
y
f ( x) 4 x 2 3 x 7
находим производную
x
o
-1
3
В критических точках
касательная параллельна
оси абсцисс (ох).
f / ( x) (4 x 2 3x 7) / 8 x 3
находим критические точки
f / ( x) 0 8 x 3 0 8x 3
3
x
8
критическая точка

15.

Критические точки
f ( x) не существует или f / ( x) 0
/
y
f ( x)
1
1
x 4 x 5
находим производную
-2
1
1 /
1
1
f ( x) (
)
x 4 x 5
( x 4) 2 ( x 5) 2
/
o
3
x
находим критические точки
f / ( x) 0 x 4 0 и x 5 0
x 4, x 5
критические точки

16.

Промежутки возрастания и убывания
функции
f ( x) x 3 3 x 2 9 x 1
Находим производную.
f / ( x) ( x3 3x 2 9 x 1) / 3x 2 6 x 9
x 2 2 x 3 0; D 2 2 4 *1* ( 3) 16
Находим критические точки.
f / ( x) 0 3 x 2 6 x 9 0
2 16 2 4
3
2 *1
2
2 4
x2
1
2
x1 3, x2 1
x1
Разбиваем числовую ось критическими
точками на промежутки.
Определяем знак производной
(+или-) на каждом промежутке.
Если f / (x) > 0 в каждой точке
интервала I, то функция f (x)
возрастает на I.
Функция возрастает при x ( ; 3) (1; )
-
+
-3
+
1
x
f / ( 4) 3 * ( 4) 2 6 * ( 4) 9 15 0
f / (0) 3 * 0 2 6 * 0 9 9 0
f / (2) 3 * 2 2 6 * 2 9 15 0
Если f / (x) < 0 в каждой точке
интервала I, то функция f (x)
убывает на I.
Функция убывает при
x ( 3;1)

17.

Промежутки возрастания и убывания
функции
y
Функция возрастает при
x (a; b) (d ; m)
a
d
o
b
c
x
m
Функция убывает при
x (b; c) (c; d )

18.

Точки экстремума функции
Если функция f непрерывна в
точке x0 , f /(x)>0 на интервале
(a;x0) и f /(x)<0 на интервале
(x0;b), то точка x0 является
точкой максимума функции f.
Если функция f непрерывна в
точке x0 ,f /(x)<0 на интервале
(a;x0) и f /(x)>0 на интервале
(x0;b), то точка x0 является
точкой минимума функции f.
Если в точке x0 производная
меняет знак с + на -, то x0
точка максимума функции.
Если в точке x0 производная
меняет знак с - на +, то x0
точка минимума функции.
max
min
-
+
a
x0
b
a
-
+
x0
Находим значение функции в точке x0.
y f ( x0 ) ...
b

19.

Точки экстремума функции
max
(x1; y1)
y
x
o
min
(x2; y2)
По графику
определяем
координаты
точек
min и max.

20.

Точки экстремума функции
3
x
f ( x) 16 x 2
3
x3
3x 2
/
f ( x) ( 16 x 2)
16 x 2 16
3
3
/
Находим критические точки.
f / ( x) 0 x 2 16 0
x 2 16 x 16 x1 4, x2 4
Разбиваем числовую ось критическими
точками на промежутки.
Определяем знак производной
(+или-) на каждом промежутке.
max
+
-4
-
min
+
Находим производную.
4
x
f / ( 5) ( 5) 2 16 9 0
f / (0) 0 2 16 16 0
f / (5) 52 16 9 0
Функция возрастает при x ( ; 4) (4; )
Находим значение функции в точке x0.
( 5)
1
f ( 5)
16 * ( 5) 2 40 40,3
3
3
3
Функция убывает при x ( 4;4)
max A ( 4;40,3)
экстремумы
53
1
f (5) 16 * 5 2 36 36,3
3
3
min B (4; 36,3)

21.

Область значений функции
Область значений функции -это множество, состоящее
из всех чисел f (x), таких, что x принадлежит области
определения функции f.
y
Область значений функции –
это множество значений y.
p
E (y) = (k;p)
o
x
k - y наименьшее
p - y наибольшее
k

22.

План исследования функции
1. Область определения.
2. Чётность, нечётность функции.
3. Периодичность.
4. Точки пересечения графика с координатными осями:
а).x=0, f(0)=… → (0;y),
б). f (x)=0 → x=a, x=b …→ A(a;0), B(b;0) …
5. f/ (x)=…
6. Критические точки:
f/ (x) =0 или f / ( x) 0 →
m
n
x
x
m
,
x
n
x=m, x=n или
7. Промежутки возрастания и убывания функции. Определяем
знак f/ (x) на промежутках: если f/ (x) > 0, то функция возрастает,
если f/ (x) < 0, то функция убывает.
8. Экстремумы.
max
min
Находим значения функции в точках min и max.
9. Строим график.
10. По графику определяем область значений функции,
наибольшее и наименьшее значения функции.

23.

Практикум
Исследуй функцию и построй график.
a). f ( x) 4 x 2 x 4
б ). f ( x) x 8 x 9
4
2
в). f ( x) 3x x
2
3
г ). f ( x) 27 x x 3
д). f ( x) x 4 2 x 2 3

24.

a). f ( x) 4 x 2 x 4
D( y ) ( ; )
1. Область определения.
2. Чётность, нечётность.
чётная
3. Периодичность.
не периодичная
4. Точки пересечения
a) х = 0
(0;0)
б) f (х) = 0
(0;0), (-2;0), (2;0)
5. f/ (x) = …
f / ( x) 8 x 4 x 3
6. Критические точки
f/ (x) = 0
x 0, x 2 , x 2
7. Промежутки возрастания
и убывания функции
функция возрастает
max
min
9. Область значений.
y - наибольшее
y - наименьшее
+
2
0
-
х
2
x ( ; 2) (0; 2 )
функция убывает
8. Экстремумы:
+
x ( 2 ;0) ( 2 ; )
( 2 ;4)
( 2 ; 4)
(0;0)
E ( y ) ( ;4)
y=4

25.

б ). f ( x) x 4 8 x 2 9
D( y ) ( ; )
1. Область определения.
2. Чётность, нечётность.
чётная
3. Периодичность.
не периодичная
4. Точки пересечения
а) х = 0
(0;-9)
б) f (х) = 0
(-3;0), (3;0)
5. f/ (x) = …
f / ( x) 4 x3 16 x
6. Критические точки
f/ (x) = 0
7. Промежутки возрастания
и убывания функции
функция возрастает
x 0, x 2, x 2
+
2
-
x ( 2;0) (2; )
x ( ; 2) (0;2)
max
min
9. Область значений.
(0; 9)
(2; 25)
E ( y ) ( 25; )
y - наибольшее
y - наименьшее
х
2
0
функция убывает
8. Экстремумы:
+
y = - 25
( 2; 25)

26.

в). f ( x) 3x x
2
3
D( y ) ( ; )
1. Область определения.
2. Чётность, нечётность.
ни чётная, ни нечётная
3. Периодичность.
не периодичная
4. Точки пересечения
а) х = 0
(0;0)
б) f (х) = 0
(0;0), (3;0)
f / ( x) 6 x 3 x 2
5. f/ (x) = …
6. Критические точки
f/ (x) = 0
7. Промежутки возрастания
и убывания функции
x 0, x 2
-
2
0
x (0;2)
функция возрастает
x ( ;0) (2; )
функция убывает
8. Экстремумы:
max
min
9. Область значений.
y - наибольшее
y - наименьшее
-
+
(2;4)
(0;0)
E ( y ) ( ; )
х

27.

г ). f ( x) 27 x x
3
D( y ) ( ; )
1. Область определения.
2. Чётность, нечётность.
нечётная
3. Периодичность.
не периодичная
4. Точки пересечения
а) х = 0
(0;0)
б) f (х) = 0
x 0, x 27 , x 27
5. f/ (x) = …
f / ( x) 27 3x 2
x 3, x 3
6. Критические точки
f/ (x) = 0
7. Промежутки возрастания
и убывания функции
+
-
3
функция убывает
x ( ; 3) (3; )
max
min
9. Область значений.
y - наибольшее
y - наименьшее
3
x ( 3;3)
функция возрастает
8. Экстремумы:
-
(3;54)
( 3; 54)
E ( y ) ( ; )
х

28.

д). f ( x) x 4 2 x 2 3
D( y ) ( ; )
1. Область определения.
2. Чётность, нечётность.
чётная
3. Периодичность.
не периодичная
4. Точки пересечения
а) х = 0
(0;-3)
б) f (х) = 0
x 3, x 3
f / ( x) 4 x 3 4 x
5. f/ (x) = …
6. Критические точки
f/ (x) = 0
x 0, x 1, x 1
+
-
7. Промежутки возрастания
и убывания функции
-
функция возрастает
x ( 1;0) (1; )
1
8. Экстремумы:
x ( ; 1) (0;1)
max
min
9. Область значений.
(0; 3)
(1; 4)
E ( y ) ( 4; )
y - наибольшее
y - наименьшее
х
1
0
функция убывает
+
y=-4
( 1; 4)

29.

а)
y
y
б)
4
0
0
-2
2
x
-3
3
x
-9
д)
y
y
в)
- 25
4
0
√3
-√3
x
y
-3
0
3
54
0
-4
√27
-√27
г)
- 54
x
x