11_Алгебра_16.10.26_Решение логарифмических уравнений

1.

«РЕШЕНИЕ
ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ»
«ИЗОБРЕТЕНИЕ
ЛОГАРИФМОВ, СОКРАТИВ
РАБОТУ АСТРОНОМА,
ПРОДЛИЛО ЕМУ ЖИЗНЬ»
Французский математик
и астроном П. С. Лаплас

2.

УСТНАЯ РАБОТА.
ВЫЧИСЛИТЕ
ЗНАЧЕНИЯ
ВЫРАЖЕНИЯ
log 2 8
lg100
log 51
log 4 64
1
log 3
27
log2 5
2
10 lg15
РЕШИТЕ
УРАВНЕНИЯ
log 5 x = 2
1
log 9 x = −
2
log 2 x = log 2 3 + log 2 5
log 3 ( x 2 + 1) = 0.

3.

Свойства логарифмов
№
a≠ 1,a> 0,b> 0,c> 0
Название
Формулы
1.
Основное логарифмическое
тождество
a
2.
Логарифм единицы
loga 1= 0
3.
Логарифм числа а по основанию а
loga a= 1
4.
Логарифм произведения
5.
Логарифм частного
b
loga = loga b− loga c
c
6.
Логарифм степени
log a b r = rlog a b
loga b
=b
loga bc= loga b+ loga c

4.

Найдите ошибку!

5.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ:
Уравнения, содержащие неизвестное
под знаком логарифма или в основании
логарифма называются
логарифмическими.
loga f ( x) =b
logf ( x) b=a

6.

Основные методы решения
логарифмических уравнений
1)по определению логарифма;
например, уравнение loga х = b (а > 0,
а≠ 1, b>0 ) имеет решение х = аb.
2) функционально-графический метод;
3) метод потенцирования;
если , loga f(х) = loga g(х),
то f(х) = g(х),
где f(х)>0, g(х)>0 , а > 0, а≠ 1.

7.

4. Метод введение новой переменной
(метод подстановки).
5. Метод логарифмирования обеих
частей уравнения.

8.

Этапы решения уравнения
•Найти область допустимых
значений (ОДЗ) переменной;
•Решить уравнение, выбрав метод
решения;
•Проверить найденные корни
непосредственной
подстановкой в исходное уравнение
или выяснить, удовлетворяют ли
они условиям ОДЗ.

9.

Введение новой переменной

10.

Пример 1. Решить уравнение lg 2 x – lg x – 6 = 0.
Решение: ОДЗ x > 0
Введём новую переменную t = lg x.
Уравнение примет вид t 2 – t – 6 = 0.
Его корни t1 = –2, t2 = 3.
Вернёмся к первоначальной переменной:
lg x = –2 или lg x = 3,
−2
x = 10 или x = 10
3
Оба значения x удовлетворяют
области допустимых значений данного
уравнения (х > 0).
Ответ: х = 0,01; х = 1000.

11.

Пример 2: lg x + lg x + 1 =
2
7
x
lg
10
x
Т.к. lg
= lg x − lg 10 = lg x − 1,
10
7
2
то lg x + lg x + 1 =
lg x − 1
7
2
Пусть lg x = t , t + t + 1 =
, где t 1
t −1
2
(t − 1)(t + t + 1) = 7
t 3 −1 = 7
t3 = 8
Обратно : lg x = 2
x = 100
t=2

12.

Метод логарифмирования
ЕСЛИ В ПОКАЗАТЕЛЕ СТЕПЕНИ
СОДЕРЖИТСЯ ЛОГАРИФМ, ТО ОБЕ
ЧАСТИ УРАВНЕНИЯ
ЛОГАРИФМИРУЮТ ПО ТОМУ
ОСНОВАНИЮ, КОТОРОЕ СОДЕРЖИТСЯ
В ОСНОВАНИИ ЛОГАРИФМА,
НАХОДЯЩЕГОСЯ В ПОКАЗАТЕЛЕ
СТЕПЕНИ.

13.

Пример 1. x log3 x+1 = 9;
ОДЗ : x > 0 , x 1
Логарифмир уем обе части уравнения по основанию 3
log x+1
log 3 x 3
= log 3 9;
( log 3 x +1 )log 3 x = 2;
log 32 x + log 3 x − 2 = 0;
пусть log 3 x = t, тогда t 2 + t − 2 = 0;
t = −2,t 2 = 1;
1
Обратная замена : log 3 x = −2 или log 3 x = 1
x=
1
9
1
Ответ : ;3.
9
x = 3;

14.

x 0
ОДЗ :
x 1
log2 x
Прологарифмируем по основанию 2 : log 2 x
= log 2 4 x
Пример 2: x log2 x = 4 x.
log 2 x log 2 x = log 2 4x
log 22 x − log 2 4 x = 0
log 22 x − ( log 2 4 + log 2 x) = 0
log 22 x − log 2 x − log 2 4 = 0
log 22 x − log 2 x − 2 = 0
Пусть log 2 x = t, ттогд t 2 − t − 2 = 0.
t1 = 2, t 2 = −1
Обратно : log 2 x = 2 или log 2 x = −1
x1 = 4
x2 =
1
2

15.

x
log0,5
x
1
=
;
16
2log 52 x + 5log 5 x + 2 = 0;
x lgx = 100x;
x
log 2x 49 − 6log x 49 = −8;
log2
x+4
= 32.

16.

Домашнее задание