02 Метод мат. индукции. Бином Ньютона

1. Раздел 4 Введение в математический анализ Метод математической индукции Бином Ньютона

• Метод математической индукции
• Неравенство Бернулли
• Бином Ньютона

2. Метод математической индукции

T (n) – высказывание, зависящее от п.
T(n): любые п прямых, расположенных на одной плоскости, никакие
две из которых не параллельны, и никакие три не пересекаются в
одной точке, пересекаются ровно в n(n – 1)/2 точках.
• База для индукции: проверяется истинность утверждения
с номером 1, то есть истинность T(1).
• Индукционный переход: доказывается, что, если верно
утверждение с номером n, то верно и следующее
утверждение с номером n + 1.
T (n) T (n + 1)
Раздел 4. Введение в математический анализ. Метод математической
индукции. Бином Нбютона.
2

3.

http://www.youtube.com/watch?v=Fj2g_PgCUO0&feature=related
Раздел 4. Введение в математический анализ. Метод математической
индукции. Бином Ньютона.
3

4. Неравенство Бернулли

a = −1
a −1
n N
(1 + (− 1)) 1 − n
a −1
База для индукции
(1 + a) n 1 + na
n
n = 1 1 + a 1 + 1 a
Индукционное предположение
Индукционный переход
истина
n = k (1 + a)k 1 + ka
n = k +1
?
k N
(1 + a) k +1 1 + (k + 1)a
(1 + a) k +1 (1 + ka)(1 + a) = 1 + ka + a + ka 2 =
= 1 + (k + 1)a + ka2 1 + (k + 1)a
Мы доказали наличие базы для индукции и обосновали законность
индукционного перехода, т.о. неравенство верно для
n N
Раздел 4. Введение в математический анализ. Метод математической
индукции. Бином Ньютона.
4

5. Бином Ньютона

(a + b) = a 2 + 2ab + b 2
3
3
2
2
3
(a + b) = a + 3a b + 3ab + b
2
n(n − 1) n − 2 2 n(n − 1)(n − 2) n −3 3
(a + b ) = a + na b +
a b +
a b +
2 1
3 2 1
n(n − 1) (n − k + 1) n − k k
+ +
a b + + bn
k (k − 1) 2 1
n
n
n −1
Исаак
Ньютон
Isaac Newton
1643 – 1727
n
(a + b) n = C nk a n − k b k
k =0
Cnk =
n! = n(n −1) (n − k +1)
k!(n − k)!
k!
n!= 1 2 3 n
факториал
биномиальные коэффициенты
n
a1 + a2 + + an = ak
k =1
Раздел 4. Введение в математический анализ. Метод математической
индукции. Бином Ньютона.
5

6. Треугольник Паскаля

(a + b) =
7
= a 7 + 7 a 6b + 21a 5b 2 +
+ 35a b + 35a b +
4 3
3 4
+ 21a b + 7 ab + b
2 5
6
7
Раздел 4. Введение в математический анализ. Метод математической
индукции. Бином Ньютона.
6

7.

7