бином ньютона 10 класс

1.

2. Бином

Бином (лат. bis - два, nomen - имя) или двучлен —
частный случай многочлена (полинома), который состоит из
двух слагаемых одночленов (мономов).
Например:
a+b,
a-b,
a2 +b2,
Abramova N.K.
3b-4b3
Abramova N.K
2

3. Формулы сокращенного умножения

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
n=0
n=1
n=2
n=3
n=4
1
1
1
1
1
1
2
3
4
1
3
6
1
4
1
5-я строка (n=4) получается так:
1, 4=1+3, 6=3+3, 4=3+1, 1
Abramova N.K.
Abramova N.K
3

4. Треугольник Паскаля.

1
1
2
1
3
1
1
7
1
8
28
3
10
21
1
4
10
20
35
56
1
6
15
6
1
1
4
5
1
1
1
5
15
35
70
Abramova N.K.
1
6
21
56
1
7
28
1
8
1
Abramova N.K
4

5. Разложение бинома с помощью треугольника Паскаля.

Пример 1
(a b) 7 1 a 7 7 a 6 b1 21 a 5 b 2 35 a 4 b 3
35 a 3 b 4 21 a 2 b 5 7 a1 b 6 1 b 7
a 7 7a 6b 21a 5b 2 35a 4b 3 35a 3b 4 21a 2b 5 7ab 6 b 7
Abramova N.K.
Abramova N.K
5

6. Разложение бинома с помощью треугольника Паскаля.

Пример 2
(1 x) 7 1 17 7 16 x1 21 15 x 2 35 14 x 3
35 13 x 4 21 12 x 5 7 11 x 6 1 x 7
1 7 x 21x 2 35 x 3 35 x 4 21x 5 7 x 6 x 7
Пример 3
(2 x 3) 4 1 (2 x) 4 4 (2 x)3 31 6 (2 x) 2 32
4 (2 x)1 33 1 34
16 x 4 96 x 3 216 x 2 216 x 81
Abramova N.K.
Abramova N.K
6

7. Биномиальные коэффициенты

В основе построения треугольника Паскаля лежит свойство
сочетаний Cmn 11 Cmn Cmn 1.
Поэтому коэффициенты разложения степени бинома можно
записать с помощью числа сочетаний:
(a b)1 C10 a C11b
(a b) 2 C20 a 2 C21ab C22b 2
(a b)3 C30 a 3 C31a 2b C32 ab 2 C33b 3
(a b) 4 C40 a 4 C41a 3b C42 a 2b 2 C43 ab 3 C44b 4
Abramova N.K.
Abramova N.K
7

8. Общий вид биномиальной формулы Ньютона

(a b) m Cm0 a m Cm1 a m 1b Cm2 a m 2b 2 ... Cmm 1ab m 1 Cmmb m
Бином Ньютона –формула, выражающая целую положительную степень
суммы двух слагаемых (двучлена, бинома) через степени этих слагаемых.
Частными случаями бинома Ньютона являются формулы квадрата
и куба суммы двух слагаемых a и b
Abramova N.K.
Abramova N.K
8

9. Свойства разложения бинома

(a b) m Cm0 a m Cm1 a m 1b Cm2 a m 2b 2 ... Cmm 1ab m 1 Cmmb m
1. Число всех членов разложения на единицу больше показателя бинома.
2. Сумма показателей степеней a и b каждого члена разложения равна
показателю степени бинома
3. Общий член разложения имеет вид:
Tk 1 Cmk a m k b k
4. Сумма коэффициентов разложения (a+b)m равна 2m.
5. Биномиальные коэффициенты членов, равноотстоящих от концов
разложения равны
Cmk Cmm k
Abramova N.K.
Abramova N.K
9

10. Применение формулы бинома Ньютона

Пример 4
1
1 2
1 5
1
4
2
3
5
(2a ) (2a) C5 (2a ) ( ) C5 (2a ) ( )
2
2
2
1 3
1 4
1 5
4
1
C ( 2 a ) ( ) C5 ( 2 a ) ( ) ( )
2
2
2
5
1
5
4
3
2
32a 40a 20a 5a a
8
32
3
5
2
Abramova N.K.
Abramova N.K
10

11. Проверка самостоятельной работы Задание 1

а) x4-8x3 +24x2 -32x+16
I вариант б) 99-70 2
а) 81x4-216x3 +216x2 -96x+16
II вариант б) 32y10-240y9 +720y8 –1080y7 +810y6 –243y5
Задание 2
13! 16 15
a x 1287a16 x15
8!5!
I вариант
T5 1 C135 (a 2 )8 ( x 3 )5
II вариант
12! 4 4
T8 1 C (a) ( x )
a x 495a 4 x 4
8!4!
8
12
4
8
Abramova N.K.
Abramova N.K
11

12. Проверка самостоятельной работы

Задание 3
k 20 k
40 k
I вариант
k 4
k
k
Tk 1 C20
( y ) k ( y ) 20 k C20
y 4 y 2 C20
y 4
По условию
y
40 k
7
4
k 12,
40 k
4
y7
искомый член:
T12 1 125970y 7
II вариант
Пусть искомый член:
Tk 1 C5k (3 3 )5 k ( 2 ) k C5k 3
По условию
5 k
3
2
k
2
5 k k
и - суть целые числа, следовательно k=2,
3
2
искомый член:
T2 1 C52 3 2 60
Abramova N.K.
Abramova N.K
12

13. Блез Паскаль и его треугольник.

На рисунке справа изображено несколько
строк числового треугольника, образованного по следующему правилу:
по краям каждой строки стоят единицы,
а каждое из остальных чисел равно сумме двух
стоящих над ним чисел предыдущей строки.
В такой форме треугольник приведен в
«Трактате об арифметическом треугольнике»
французского математика Б.Паскаля (1623-1662),
опубликованном в 1665 году уже после смерти автора.
Несколько иные варианты этой числовой
таблицы встречались столетием раньше
у итальянского математика Н.Тартальи, а
за несколько веков до этого у среднеазиатского
ученого и поэта Омара Хайяма, некоторых
китайских и индийских ученых.
Abramova N.K.
Abramova N.K
13

14. Популярность чисел треугольника Паскаля.

Числа, составляющие треугольник Паскаля возникают в
самых естественных задачах алгебры, комбинаторики, теории
вероятностей, математического анализа, теории чисел.
Сколько различных к-элементных множеств (сочетаний)
можно образовать из данных n элементов?
Каковы коэффициенты многочлена (1+х)n?
Сколькими разными путями можно спуститься из верхней
точки А в к-й перекресток n-го ряда?
А
C50
C51
C52
C53Abramova
C54 N.K.C55
Abramova N.K
14

15. Популярность чисел треугольника Паскаля.

Из 4 различных элементов можно составить
такие множества:
C41 =4 одноэлементных
C42 =6 двухэлементных
C43 =4 трехэлементных
C44 =1 четырехэлементное
Abramova N.K.
Abramova N.K
15

16. Бином Ньютона.

В 1664-1665 г.г. И.Ньютон установил,
что формула выражающая степень
двучлена в виде суммы одночленов
обобщается на случай произвольных
(дробных и отрицательных) показателей
Исаак Ньютон
1643-1727
Abramova N.K.
Abramova N.K
16

17. Бином Ньютона в художественной литературе

Бином Ньютона появляется в нескольких запоминающихся контекстах,
где речь идет о чем-либо сложном.
В рассказе А. Конан Дойля «Последнее дело Холмса» Холмс говорит о
математике профессоре Мориарти:
«Когда ему исполнился двадцать один год, он написал трактат о биноме
Ньютона, завоевавший ему европейскую известность. После этого он
получил кафедру математики в одном из наших провинциальных
университетов, и, по всей вероятности, его ожидала блестящая
будущность».
Знаменита цитата из «Мастера и Маргариты» М. А. Булгакова:
«Подумаешь, бином Ньютона!».
Abramova N.K.
Abramova N.K
17

18. P.S.

H
S(х)
P.S.
х
Считай несчастным тот день
или час, в который ты не
усвоил ничего нового и ничего
не прибавил к своему
образованию.
Ян Амос Коменский
Abramova N.K.
Abramova N.K
18