11_Алгебра_09.10.26_Решение логарифмических уравнений

1. Тема урока:

Решение
логарифмических
уравнений

2.

Логарифмическим
уравнением
называется уравнение, в
котором переменная содержится
только под знаком логарифма

3.

Logа х =b
(a>0,a≠1)
-простейшее
логарифмическое
уравнение

4.

log a x = b
y
(a>0,a≠1)
y = log a x
y = log a x
a 1
0 a 1
y
b
ab
o
1
ab
x
x=a
o
b
b
1
x

5.

Методы
решения
логарифмических
уравнений

6. Методы решения логарифмических уравнений

1. По определению логарифма
Пример 1
Решите уравнение log 2 ( x + 4 x + 3) = 3.
По определению логарифма имеем:
2
3
2
x + 4x + 3 = 2 ,
2
x + 4 x + 3 − 8 = 0,
2
x + 4 x − 5 = 0,
x1 = 1,
Ответ : −5;1
x2 = −5.

7. Методы решения логарифмических уравнений

2. Потенцированием
log а f ( x) = log а g ( x),
где
a 0, a 1
f ( x) = g ( x),
f ( x) 0 и g ( x ) 0

8. Методы решения логарифмических уравнений

Пример 2
Решите уравнение
ОДЗ:
log 2 (2х − 4) = log 2 ( x −1).
2 x − 4 0, x 2,
x 1.
х − 1 0;
x 2.
2 х − 4 = х − 1,
2 х − х = −1 + 4,
х = 3.
x = 3 удовлетворяет условию x 2, следовательно, x = 3
является корнем исходного уравнения.
Ответ : 3.

9. Методы решения логарифмических уравнений

Пример 2
Решите уравнение
log 2 (2х − 4) = log 2 ( x −1).
x − 1 0,
2 х − 4 0,
2 x − 4 = x − 1;
x 1,
x 2,
х = 3;
Ответ : 3.
x 2,
х = 3.
x 1,
2 x 4,
2 х − х = −1 + 4;
x = 3.

10. Методы решения логарифмических уравнений

Пример 2
Решите уравнение
log 2 (2х − 4) = log 2 ( x −1).
2 х − 4 = х − 1,
2 х − х = −1 + 4,
х = 3.
Проверка:
Если х = 3, то log 2 (2 • 3 − 4) = log 2 (3 −1),
Ответ : 3 .
log 2 (6 − 4) = log 2 2,
log 2 2 = log 2 2,
1 = 1 − верно.

11. Методы решения логарифмических уравнений

3. Введения новой переменной
Пример 3
log 22 x + log 2 x = 6.
Пусть log 2 x = t , тогда
t 2 + t − 6 = 0,
t2 = 2.
t1 = −3,
Решите уравнение
ОДЗ: x>0
Переходя к переменной х, получим:
1) log 2 x = −3,
2) log 2 x = 2,
2
x = 2 −3 ,
x
=
2
,
1
x =
.
x = 4.
8
1
х = ; х = 4 удовлетворяют условию х>0, следовательно,
8
1
1
Ответ : ;4
8
8
;4 - корни исходного уравнения.

12.

Домашнее задание
№1 Найдите произведение корней уравнения
log ( х 2 + 0,1) = 0.
1) - 1,21
2) - 0,9
3) 0,81
4) 1,21
№2 Укажите промежуток, которому принадлежит
корень уравнения
log 0, 4 (5 − 2 х) − log 0, 4 2 = 1.
1) (- ∞;-2]
2) [-2;1]
3) [1;2]
4) [2;+∞)
№3 Найдите сумму корней уравнения
2
log 5 х − log 5 x = 2.
1) 5
2) 25,2
3) -25,2
4) - 5

13.

Спасибо
за работу