4c8776b726a3b4eec41f8cf9bb130bf4

1. Кривые второго порядка

• Общее уравнение кривой второго порядка
• Окружность
• Эллипс
• Гипербола
• Парабола

2. Общее уравнение кривой второго порядка

К кривым второго порядка относятся: эллипс, частным случаем
которого является окружность, гипербола и парабола.
Они задаются уравнением второй степени относительно x и y:
Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0
Общее уравнение кривой
второго порядка
В некоторых частных случаях это уравнение может определять
также две прямые, точку или мнимое геометрическое место.

3. Окружность

Окружностью называется геометрическое место точек на
плоскости, равноудаленных от точки А(a; b) на расстояние R.
Для любой точки М справедливо:
y
М(x; y)
А
0
AM = R
R
(x − a ) + (y − b ) = R
2
2
х
(x − a ) + (y − b ) = R
2
Каноническое уравнение
окружности
2
2

4. Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма
расстояний от каждой из которых до двух точек той же плоскости
F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная,
равная 2а.
Зададим систему координат и начало координат выберем в
середине отрезка [F1 F2]
r1 + r2 = 2a
y
r1
F1(−c; 0);
F2 (c; 0)
r2
r1 = F1M =
(x + c ) + y
r2 = F2M =
(x − c ) + y
2
2
F
F1
-c
M(x; y)
0
c2
х
2
2

5. Эллипс

(x + c ) + y + (x − c ) + y = 2a
2
2
2
2
( (x + c ) + y )= =2a(2−a −(x (−xc−)c+) y+ y )
2
2
2
2
2
2
2
2
(x + c ) + y = 4a − 4a (x − c ) + y + (x − c ) + y
2
4a
(
2
2
2
2
2
(x − c ) + y = 4a + x − 2xc + c − x − 2xc − c
2
2
2
2
2
)
22
2
4a
a (xx −
− cc ) +
+ yy = =4a
−
4
xc
(a − xc ) : 4
22
22
2
2
(a − cb )x + a y = a (ba −: (ca2 2)b2 )
22
2
2
2
x2 y 2
+ 2 =1
2
a
b
2
22
2
a 2 x 2 − 2a 2 xc + a 2c 2 + a 2 y 2 = a 4 − 2a 2 xc + x 2c 2
2
2
b2
Каноническое уравнение
эллипса

6. Эллипс

y
b
r1
-а
r2
Fмалая
2c
1F2 = полуось
F
F1
-c
M(x; y)
x2 y 2
+ 2 =1
2
a
b
0
c2
а х
r1 + r2 = 2a
c 2 = a2 − b2
cполуось
большая
фокальное
расстояние
=
фокальные радиусы точки
М
a
r1 = a + x; r2 = a − x
-b
эксцентриситет эллипса
Эксцентриситет характеризует форму эллипса (ε = 0 – окружность)
Для эллипса справедливы следующие неравенства:
a c;
a b;
0 1

7. Пример

Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат в
точках F1(-4; 0) F2(4; 0), а эксцентриситет равен 0,8.
c=4
c
= = 0 .8
a
c 2 = a2 − b2
b 2 = a 2 − c 2 = 25 − 16 = 9
Каноническое уравнение эллипса:
y
3
-5
0
-3
c
4
a= =
=5
0 .8
5 х
x2 y 2
+
=1
25 9
b=3

8. Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек, разность
расстояний от каждой из которых до двух точек той же плоскости
F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная,
равная 2а.
y
r1 − r2 = 2a
M(x; y)
F1
-c
r1
F
0
2
c
r2
х
F1(−c; 0);
F2 (c; 0)
r1 = F1M =
(x + c ) + y
r2 = F2M =
(x − c ) + y
2
2
2
2

9. Гипербола

(x + c ) + y − (x − c ) + y
2
2
2
2
= 2a
(x + c ) + y − (x − c ) + y = 2a
2
2
2
2
После тождественных преобразований уравнение примет вид:
(c − ab2 2)x 2 − a2 y 2 = a2 (bc22 −: (aa22)b2 )
2
x2 y 2
− 2 =1
2
a
b
b2
Каноническое уравнение
гиперболы

10. Гипербола

x2 y 2
− 2 =1
2
a
b
y
M(x; y)
r1 − r2 = 2a
r1b
F
F1
-c -а
0
-b
а2 c
r2
b
y = x
a
х
c 2 = a2 + b2
c
мнимая полуось
полуось
=
фокальные
действительная
a
радиусы
точки М
Для гиперболы справедливо: 1
эксцентриситет гиперболы
асимптоты
гиперболы

11. Пример

Составить уравнение гиперболы, проходящей через точку
А(6; -4), если ее асимптоты заданы уравнениями:
6
y =
x
3
b
6
=
a
3
3b = 6a
62 ( −4)2
x2 y 2
− 2 =1 2 −
=1
Точка А лежит на гиперболе
2
2
a
a
b
b
36b 2 − 16a 2 = a 2b 2
2
3b = 6a
b2 = a2
Решим систему:
3
2
2
2 2
2
2
2 2
36b − 16a = a b
36
b
−
16
a
=
a
b
2 2
2
2
b
=
a
a = 2 3
a
= 12
3
2
2
b =8
b = 2 2
24a 2 − 16a 2 = a 4
3

12. Пример

Каноническое уравнение гиперболы:
x2 y 2
−
=1
12 8
y
2 2
−2 3
0
2 3 х
−2 2

13. Парабола

Параболой называется геометрическое место точек на
плоскости, для каждой из которых расстояние до некоторой
фиксированной точки той же плоскости
p
p
x
=
−
,
называемой
фокусом,
равно
расстоянию
до
прямой:
F ( ;0)
2
2
y
r =d
d
−
p
2
M(x; y)
r
p
2
p 0
2
F
0
p
F ( ; 0)
2
х
p
r = FM = x − + y 2
2
d =x+
p
2

14. Парабола

каноническое
уравнение параболы
2
p
p
2
x
−
+
y
=
x
+
2
2
2
2
p
p
x 2 − px +
+ y 2 = x 2 + px +
4
4
y
p
2
директриса параболы
p
r =x+
d
−
y 2 = 2px
M(x; y)
r
фокальный радиус
F
0
p
2
2
х
фокус параболы
Эксцентриситет параболы: = 1

15. Преобразование общего уравнения к каноническому виду

Ax + 2Bxy + Cy + 2Dx + 2Ey + F = 0
2
2
Составим из коэффициентов уравнения два определителя:
=
A B
B C
A B D
= B C E
D E F
Дискриминант
уравнения
Дискриминант старших
0
членов уравнения = 0
0
Эллипс
Точка
0
Гипербола
Пара пересекающихся
прямых
=0
Парабола
Пара параллельных
прямых

16. Преобразование общего уравнения к каноническому виду

Общее уравнение кривой называется пяти-членным, если 2Bxy=0:
Ax 2 + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0
Приведение пяти-членного уравнения к каноническому виду
рассмотрим на примере:
16x 2 + 25y 2 − 32x + 50y − 359 = 0
(16x 2 − 32x ) + (25y 2 + 50y ) − 359 = 0
16(x 2 − 2x ) + 25(y 2 + 2y ) = 359
16(x 2 − 2x + 1) + 25(y 2 + 2y + 1) = 359 + 16 + 25
16(x − 1) + 25(y + 1) = 400
2
2
(x − 1) + (y + 1) = 1
2
25
2
16

17. Преобразование общего уравнения к каноническому виду

(x − 1) + (y + 1) = 1
2
25
Перенесем начало координат
в точку (1; -1), получим новую
систему координат:
2
16
x ' = x − 1;
y
y’
x '2 y '2
+
=1
25 16
4
0
-1
5
1
4 5
y' = y + 1
x’
х

18. Преобразование общего уравнения к каноническому виду

Если слагаемое 2Bxy в общем уравнении не равно нулю, то для
приведения уравнения к каноническому виду необходимо
повернуть оси координат на угол α. При этом зависимость между
старыми координатами и новыми определяются формулами:
x = x ' cos − y ' sin
y = x ' sin + y ' cos
Угол α удовлетворяет условию:
2B
tg 2 =
A −C
В случае, если A = C, то
2 = 900 = 450

19.

Спасибо за внимание!!!