Окружность, эллипс. Кривые второго порядка

1. Кривые второго порядка

Общее уравнение кривой второго порядка
Окружность
Эллипс
Гипербола
Парабола

2. Общее уравнение кривой второго порядка

К кривым второго порядка относятся: эллипс, частным случаем
которого является окружность, гипербола и парабола.
Они задаются уравнением второй степени относительно x и y:
Ax 2 2Bxy Cy 2 2Dx 2Ey F 0
Общее уравнение кривой
второго порядка
В некоторых частных случаях это уравнение может определять
также две прямые, точку или мнимое геометрическое место.

3. Окружность

Окружностью называется геометрическое место точек на
плоскости, равноудаленных от точки А(a; b) на расстояние R.
Для любой точки М справедливо:
y
М(x; y)
А
0
AM R
R
x a y b R
2
2
х
x a y b R
2
Каноническое уравнение
окружности
2
2

4. Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма
расстояний от каждой из которых до двух точек той же плоскости
F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная,
равная 2а.
Зададим систему координат и начало координат выберем в
середине отрезка [F1 F2]
r1 r2 2a
y
r1
F1( c; 0);
F2 (c; 0)
r2
r1 F1M
x c y
r2 F2M
x c y
2
2
F
F1
-c
M(x; y)
0
c2
х
2
2

5. Эллипс

x c y x c y 2a
2
2
2
2
x c y 2a 2 a x xc c y y
2
2
2
2
2
22
2
2
x c y 4a 4a x c y x c y
2
4a
2
2
2
2
2
x c y 4a x 2xc c x 2xc c
2
2
2
2
2
22
2
4a
a xx
cc
yy 4a
4
xc
a xc : 4
22
22
2
2
a cb x a y a (ba : (ca22)b2 )
22
2
2
2
x2 y 2
2 1
2
a
b
2
22
2
a 2 x 2 2a 2 xc a 2c 2 a 2 y 2 a 4 2a 2 xc x 2c 2
2
2
b2
Каноническое уравнение
эллипса

6. Эллипс

y
b
r1
-c
r2
Fмалая
2c
1F2 полуось
F
F1
-а
M(x; y)
x2 y 2
2 1
2
a
b
0
c2
а х
r1 r2 2a
c 2 a2 b2
cполуось
большая
фокальное
расстояние
фокальные радиусы точки
М
a
r1 a x; r2 a x
-b
эксцентриситет эллипса
Эксцентриситет характеризует форму эллипса (ε = 0 – окружность)
Для эллипса справедливы следующие неравенства:
a c;
a b;
0 1

7. Пример

Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат в
точках F1(-4; 0) F2(4; 0), а эксцентриситет равен 0,8.
c 4
c
0 .8
a
c 2 a2 b2
b 2 a 2 c 2 25 16 9
Каноническое уравнение эллипса:
y
3
-5
0
-3
c
4
a
5
0 .8
5 х
x2 y 2
1
25 9
b 3