Общее уравнение кривой второго порядка

1.

Общее уравнение кривой
второго порядка
К кривым второго порядка относятся: эллипс, частным случаем
которого является окружность, гипербола и парабола.
Они задаются уравнением второй степени относительно x и y:
Ax 2 2Bxy Cy 2 2Dx 2Ey F 0
Общее уравнение кривой
второго порядка
В некоторых частных случаях это уравнение может определять
также две прямые, точку или мнимое геометрическое место.

2.

Окружность
Окружностью называется геометрическое место точек на
плоскости, равноудаленных от точки А(a; b) на расстояние R.
Для любой точки М справедливо:
y
М(x; y)
А
0
AM R
R
x a
2
y b R
x a
2
y b R 2
2
х
Каноническое уравнение
окружности
2

3.

Эллипс
Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма
расстояний от каждой из которых до двух точек той же плоскости
F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная,
равная 2а.
Зададим систему координат и начало координат выберем в
середине отрезка [F1 F2]
r1 r2 2a
y
F1( c; 0);
M(x; y)
r2
r1
r1 F1M
x c
r2 F2M
x c
2
y2
F2
F1
-c
F2 (c; 0)
0
c
х
2
y2

4.

Эллипс
x c
2
x c
x c
4a
2
2
x c
y2
2
y 2 2a
2
y 2a2 a x xc c y y
2
y 4a 4a
2
x c
2
2
x c
2
2
2
2
y x c y 2
2
2
22
2
:4
a cb x a y a (ba : (ca22)b 2 )
22
2
2
2
x2 y 2
2 1
2
a
b
2
22
a 2 x 2 2a 2 xc a 2c 2 a 2 y 2 a 4 2a 2 xc x 2c 2
2
y 2 4a 2 x 2 2 xc c 2 x 2 2 xc c 2
22
2
4aa xx cc yy 4a
4
xc
a xc
22
2
2
b2
Каноническое уравнение
эллипса

5.

Эллипс
y
b
F2
F1
-c
M(x; y)
Fмалая
2c
1F2 полуось
r2
r1
-а
x2 y 2
2 1
2
a
b
0
c
а х
r1 r2 2a
c 2 a2 b2
cполуось
большая
фокальное
расстояние
фокальные радиусы точки
М
a
r1 a x; r2 a x
-b
эксцентриситет эллипса
Эксцентриситет характеризует форму эллипса (ε = 0 – окружность)
Для эллипса справедливы следующие неравенства:
a c;
a b;
0 1

6.

Пример
Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат в
точках F1(-4; 0) F2(4; 0), а эксцентриситет равен 0,8.
c 4
c
0 .8
a
c 2 a2 b2
b 2 a 2 c 2 25 16 9
Каноническое уравнение эллипса:
y
3
-5
0
-3
c
4
a
5
0 .8
5 х
x2 y 2
1
25 9
b 3

7.

Гипербола
Гиперболой называется геометрическое место точек, разность
расстояний от каждой из которых до двух точек той же плоскости
F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная,
равная 2а.
y
r1 r2 2a
M(x; y)
F1( c; 0);
F1
-c
r1
F2
0
c
r2
х
F2 (c; 0)
r1 F1M
x c
r2 F2M
x c
2
2
y2
y2

8.

Гипербола
x c
x c
2
y2
x c
2
y2
x c
2
y 2 2a
2
y 2 2a
После тождественных преобразований уравнение примет вид:
c
2
ab x a y a (bc
) )
: (a b
22
2
2
2
x2 y 2
2 1
2
a
b
2
2
2
22
2
b2
Каноническое уравнение
гиперболы

9.

Гипербола
x2 y 2
2 1
2
a
b
y
M(x; y)
r1 r2 2a
r1b
F2
F1
-c -а
0
-b
а c
r2
b
y x
a
х
c 2 a2 b2
c
мнимая полуось
полуось
фокальные
действительная
a
радиусы
точки М
Для гиперболы справедливо: 1
эксцентриситет гиперболы
асимптоты
гиперболы

10.

Пример
Составить уравнение гиперболы, проходящей через точку
А(6; -4), если ее асимптоты заданы уравнениями:
6
y
x
3
b
6
a
3
3b 6a
x2 y 2
6 2 ( 4)2
2 1 2
1
Точка А лежит на гиперболе
2
2
a
b
a
b
36b 2 16a 2 a 2b 2
2
3b 6a
b2 a2
Решим систему:
3
2
2
2 2
2
2
2 2
36b 16a a b
36
b
16
a
a
b
2 2
2
2
b
a
a 2 3
a
12
3
2
2
b
8
b 2 2
24a 2 16a 2 a 4
3

11.

Пример
Каноническое уравнение гиперболы:
x2 y 2
1
12 8
y
2 2
2 3
0
2 3 х
2 2