Лекция 3 Цепи переменного тока

1. БГТУ «ВОЕНМЕХ» им. Д.Ф. Устинова Кафедра электротехники, О8

Лекция 3
Расчет электрических цепей
переменного тока
1

2. Однофазный синусоидальный ток

Основные понятия
Um
t = 2
Т
U m , I m -амплитудное значение напряжения u, и тока i
u , i -начальная фаза напряжения u, и тока i
2
=
= 2 f -циклическая частота или угловая скорость
T
Период Т и
частота
1
f = [Гц]
T
В России и Европе
f=50 Гц,
Т=20 миллисекунд
2

3. Мгновенные значения напряжения u(t), тока i(t) и фазовый сдвиг 

Мгновенные значения напряжения u(t), тока i(t) и фазовый сдвиг
i (t ) = I m sin( t + i )
u (t ) = U m sin( t + u )
i,u
u
Um
u 0
t
Im
0
i
i 0
Фазовый сдвиг:
= i − u
3

4.

Однофазный синусоидальный ток
Средние и действующие значения величин
Среднее значение переменной величины за период Т:
T
1
U ср =
udt
T 0
Аналогично вычисляются
Еср и Iср
Среднее значение для мощности за период времени Т:
T
1
P=
pdt
T 0
Для оценки периодически изменяющегося напряжения (также ЭДС и
тока) используется и понятие «действующее значение»
Действующим значением переменного периодического сигнала (i(t)) называется
значение такого постоянного сигнала (I), который за один период совершает ту же
работу, что и рассматриваемый переменный.
4

5.

Действующее значение переменной величины
Величина
Мгновенное значение
Действующее значение
Напряжение
u(t)=Umsin( t+ u)
U
Ток
i(t)=Imsin( t+ i)
I
ЭДС
e(t)=Emsin( t+ e)
E
Работа, совершаемая при приложении напряжения на резистор с сопротивлением r
Постоянное напряжение
Переменное напряжение
T
u2
A=
dt
r
0
2
U
A=
T
r
Если мгновенное напряжение
u = U M sin t
То постоянное напряжение вычислим из равенства работ
T
T
1
1 1 − cos 2 t
1
U=
U M2 sin 2 tdt = U M
dt =
UM
T0
T0
2
2
I=
1
IM
2
E=
1
EM
2
5

6.

Мощность в сети переменного тока
1T
1T
P = uidt = U M sin t I M sin( t + )dt =
T0
T0
1T
= UI (1 − cos 2 t ) cos + UI sin 2 t sin dt.
T0
UI (1 − cos 2 t ) cos 0
Мощность отбирается от сети и совершает полезную работу
P = UI cos
UI sin 2 t sin
Активная мощность. Единица измерения - Вт
Q = UI sin
Реактивная мощность. Единица измерения - ВАр
Знакопеременная величина. Средняя значения за период =0!
Наибольшее значение активной мощности, возможное при данных значениях
напряжения и тока, называется полной мощностью и обозначается S:
S=UI
[ВА]
S = P2 + Q2
6

7.

Соотношение действующих значений напряжения и тока и сдвиг по фазе в цепи
синусоидального переменного тока
Мгновенные значения тока i(t) и
напряжения u(t) на зажимах двухполюсника:
i = 2 I sin t
u = 2U sin( t + )
Составим уравнение на основании второго закона Кирхгофа для замкнутого контура:
di 1
+
idt
dt C
Закон Ома:
Для резистора:
u r = 2 Ir sin t
U r = Ir
Для индуктивности:
u L = 2 I L cos t = 2 Ix L cos t
u = ur + u L + uC = ir + L
u L = 2 Ix L sin( t +
Для емкости:
uC = − 2 I
2
)
U L = Ix L
1
cos t = − 2 IxC cos t
C
uC = 2 Ix C sin( t −
2
)
U C = IxC
7

8.

Реактивное напряжение:
Полное напряжение:
Введем величину:
Тогда можем написать:
x = x L − xC
u реак. = uL + uC = 2 Ix cos t
u = ur + u реак. = 2 I ( r sin t + x cos t )
z = r 2 + x2
r
x
u = 2 Iz ( sin ωt + cos t )
z
z
Отсюда получим:
= arctg
x
r
Мгновенное значение напряжения на входе двухполюсника
где:
r
= cos ;
z
x
= sin
z
u(t):
u = 2 Iz[sin( ωt ) cos( ) + cos( t ) sin( )] = 2 Iz sin( ωt + )
- фазовый сдвиг между входным напряжением u(t) и током i(t)
8

9.

введённые выше величины:
xL , xC , x, z - имеют размерность сопротивления (Ом).
Поэтому в соответствии с их физическим смыслом – они называются:
x
xL
- реактивное сопротивление;
- индуктивное сопротивление;
- ёмкостное сопротивление;
U r = Ir
U L = Ix L
xC
z – полное сопротивление
U C = IxC
Подставляя данные величины в формулы мощности:
U = Iz
2
P = I r;
Q = I 2 x;
Закон Ома:
S = I 2z
Реактивную мощность можем представить в виде:
Q = I 2 ( x L − xC ) = I 2 x L − I 2 xC = QL − QC
9

10.

Параллельное соединение элементов:
Приложенное напряжение:
u = 2U sin t
Входящий ток можем найти в виде:
i = 2 I sin( t + )
bL
индуктивная проводимость;
ёмкостная проводимость;
реактивная проводимость;
b
полная проводимость;
y
Единица измерения – (Сим) Сименс
bС
Закон Ома:
Для данной схемы:
1
bL =
;
L
bC = C ;
b = bL − bC ;
y=
g 2 + b2
I r = Ug
-для активной проводимости (g);
I L = UbL
-для индуктивной проводимости (bL);
I C = UbC
-для ёмкостной проводимости (bС);
I реак. = Ub -для реактивной проводимости(b);
I = Uy
-для полной проводимости (y);
10