Уравнение плоскости

1. Уравнение плоскости

21.09.26
Уравнение плоскости

2. Этапы решения задач методом координат

• 1. Выбор системы координат в пространстве
• 2. Нахождение координат необходимых точек и
векторов, или уравнения плоскостей, кривых и
фигур
• 3. Решение примера, используя ключевые задачи
или формулы данного метода
• 4. Переход от аналитических соотношений к
метрическим.
21.09.2026
2

3. Общее уравнение плоскости

Если в пространстве фиксирована произвольная декартова
система координат Oxyz, то всякое уравнение первой степени с
тремя переменными x y z определяет относительно этой системы
плоскость.
Ax + By + Cz + D = 0 (1)
A; B; C; D – некоторые постоянные, причем из чисел A; B; C хотя
бы одно отлично от нуля.
Общее уравнение плоскости
Общее уравнение плоскости называется полным, если все
коэффициенты А; B; C; D отличны от нуля.
В противном случае уравнение называется неполным.

4. Виды неполных уравнений

D = 0;
2) A = 0;
1)
3)
B = 0;
Ax + By + Cz = 0 Плоскость проходит через точку О.
By + Cz + D = 0 ll (OX )
z
Ax + Cz + D = 0
ll (OY )
4) C = 0;
Ax + By + D = 0 ll (OZ )
5) A = 0; B = 0 Cz + D = 0 ll ( XOY )
Ax + D = 0 ll (YOZ )
6) B = 0; C = 0
7) A = 0; C = 0
By + D = 0 ll ( XOZ ) x
8) B = 0; C = 0; D = 0
Ax = 0 x = 0
A = 0; C = 0; D = 0
10) A = 0; B = 0; D = 0
By = 0 y = 0
Cz = 0 z = 0
9)
0
(YOZ )
( XOZ )
( XOY )
y

5. Алгоритм составления уравнения плоскости, проходящей через три точки

М(x¹,y¹,z¹), N(x²,y²,z²), K(x³,y³,z³)
• Подставить координаты точек в уравнение плоскости
Ax + By + Cz + D = 0
Получится система трех уравнений с четырьмя переменными
Решить систему уравнений и найти коэффициенты А; В; С
Подставить найденные значения А, В и С в общее уравнение
плоскости
Замечание :
Если плоскость проходит через начало координат, положить D = 0,
если не проходит, то D = 1

6. Упражнение 1

Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки:
а) A (1,0,0), B (0,1,0) и C (0,0,1); б) M(3,-1,2), N(4,1,-1) и K(2,0,1).
Решение:
Подставим координаты точек в уравнение плоскости
Ax + By + Cz + D = 0
а)
б)
Ответ: а) x + y + z – 1 = 0;
б) x + 4y + 3z – 5 = 0.

7. Метод Гаусса

Метод Гаусса — классический метод решения системы линейных
алгебраических уравнений. Это метод последовательного исключения
переменных, когда с помощью элементарных преобразований система
уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или
треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по
номеру) переменных, находятся все остальные переменные.
Система т линейных уравнений с п неизвестными имеет вид:
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
a 21 x1 + a 22 x2 + ... + a 2 n xn = b2
...............................................
a m1 x1 + a m 2 x2 + ... + a m n xn = bn
x1 , x2, …, xn – неизвестные.
ai j - коэффициенты при неизвестных.
bi - свободные члены (или правые части)

8. Уравнение плоскости, проходящей через три точки (способ 2)

Пусть точки М1(х1 ; у1 ; z1 ), М2(х2 ; у2 ; z2 ) и М3(х3 ; у3 ; z3 )
не лежат на одной прямой.
М3
М1
x − x1
x 2 − x1
x3 − x1
y − y1
y 2 − y1
y 3 − y1
z − z1
z2 − z1 = 0
z3 − z1
М
М2
Уравнение плоскости,
проходящей через 3 точки

9.

Матрицы
Матрицей размера m n называется совокупность mn чисел,
расположенных в виде таблицы из m строк и n столбцов:
a11 a12 ... a1n
Пример:
a
a22 ... a2 n
21
.
A=
.
.
.
.
a
a
...
a
mn
m1 m 2
− 2 1 4
A = 6 2 − 8
0 3 6
размера 3 3
Числа, составляющие матрицу, называются элементами
матрицы. Если m≠n, то матрица называется прямоугольной.
Если m=n, то матрица называется квадратной порядка n.

10.

Диагонали матрицы
a1
a Матрица размера m 1 вида состоит из одного столбца и
2 называется вектор-столбцом, а матрица A=[a1 a2…an]
размера 1 n, состоящая из одной строки –
a m вектор-строкой.
В случае квадратной матрицы
элементы a11, a22,…ann
a11 a12 ... a1n
a
a
...
a
22
2n
A = 21
.
.
.
.
an1 an 2 ... ann
образуют главную диагональ, а
элементы an1, an-1 2,…a1n – побочную диагональ матрицы.

11.

Определители
Понятие определителя вводится только для квадратных матриц.
Определителем n-го порядка матрицы А называется алгебраическая
сумма всевозможных произведений элементов, взятых точно по одному из
каждой строки и каждого столбца матрицы А. Знак каждого слагаемого
определяется специальным правилом.
Определители n-го порядка содержат n! членов.
a11
A=
a 21
Пример:
a12
= a11a22- a12a21 –
a 22
определитель второго порядка.
2 −5
A=
= 2 7 − (−5) 3 = 14 − (−15) = 29.
3 7

12.

Определитель третьего порядка
a11
A = a 21
a31
a12
a 22
a32
a13
a 23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a11a23a32 - a12a21a33
a33
Правило треугольника: три положительных члена определителя третьего
порядка представляют собой произведения элементов главной диагонали и
элементов, находящихся в вершинах двух равнобедренных треугольников,
основания которых параллельны главной диагонали. Три его отрицательных
члена представляют собой произведения элементов побочной диагонали и
элементов, находящихся в вершинах двух равнобедренных треугольников,
основания которых параллельны побочной диагонали.
«+»
«-»

13.

Правило треугольников:
= −

14.

Вычислить определители матриц
1 2
A =
− 3 5
1 −1 1
B = 2 1 1
1 1 2

15.

Решение:
1
A=
−3
2
= 1 5 − (−3) 2 = 11
5
1 −1 1
B=2 1 1
1 1 2
= 1 1 2 + (−1) 1 1 + 1 2 1 − 1 1 1 − (−1) 2 2 − 1 1 1 = 5

16. Упражнение 2

Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки:
а) A (1,0,0), B (0,1,0) и C (0,0,1); б) M(3,-1,2), N(4,1,-1) и K(2,0,1).
Решение:
Подставим координаты точек
в уравнение плоскости
а)
x − x1
y − y1
z − z1
x 2 − x1
y 2 − y1
z2 − z1 = 0
x3 − x1
y 3 − y1
z3 − z1
б)
=0
=0
=0
=0
Ответ: а) x+y+z–1=0;
б) x+4y+3z-5=0.

17. Домашнее задание

1. В кубе АВСDА1В1С1D1 на серединах ребер АВ, ВВ1 ,
В1С1, С1D1, D1D, DА отметили точки. Составьте
уравнения плоскостей А1ВD и КМN.
2. Найдите векторное
произведение векторов c = a b ,
если a (− 3,2,−1) , b (1,0 ,2 ) .
i
c = ax
bx
j
ay
by
k
ay
az =
by
bz
az
ax
i −
bz
bx
ax
az
j+
bx
bz
ay
k.
by