Тела вращения

1.

Тела вращения
Цилиндр · Конус · Шар · Сфера
Тело вращения — пространственная фигура, полученная вращением
плоской области вокруг оси, лежащей в той же плоскости.

2.

Цилиндр
Цилиндр — тело, описываемое
прямоугольником при вращении вокруг оси,
содержащей его сторону.
• Основания — два круга в параллельных
плоскостях
• Ось — прямая через центры оснований
• Образующая l — отрезок, параллельный оси
• Радиус r — радиус основания
• Высота h — перпендикуляр между основаниями
Виды: прямой круговой, прямой некруговой,
наклонный круговой

3.

Сечения цилиндра
• Осевое сечение (через ось) —
прямоугольник
• Сечение, параллельное оси —
прямоугольник
• Сечение, параллельное основанию —
круг

4.

Площадь поверхности цилиндра
Sосн = πr²
Sбок = 2πrh (развертка — прямоугольник)
Sполн = 2πr(h + r)
r — радиус, h — высота

5.

Конус
Конус — тело, ограниченное конической
поверхностью и кругом.
• Вершина — точка S
• Основание — круг
• Образующая l — отрезок от вершины до
окружности основания
• Высота h — перпендикуляр от вершины к
основанию
• Радиус r — радиус основания

6.

Сечения конуса
• Осевое сечение — равнобедренный
треугольник
• Сечение, параллельное основанию — круг

7.

Площадь поверхности конуса
Sосн = πr²
Sбок = πrl (развертка — сектор)
Sполн = πr(l + r)
r — радиус основания, l — образующая

8.

Сфера. Шар
Сфера — поверхность из всех точек
пространства, равноудалённых от центра.
Шар — тело, ограниченное сферой.
• R — радиус сферы
• Диаметр — отрезок через центр, соединяющий
точки сферы
• Шар получается вращением полукруга вокруг
диаметра

9.

Сечения шара
• Любое сечение шара — круг
• Сечение через центр — большой круг
(наибольший радиус)
S = 4πR²
(площадь поверхности шара = 4 площади
большого круга)

10.

Взаимное расположение сферы и плоскости
d — расстояние от центра до плоскости, R —
радиус сферы
r = √(R² − d²) — радиус сечения
d < R — секущая плоскость (круг в сечении)
d = R — касательная плоскость (1 общая точка)
d > R — нет общих точек

11.

Задачи для самостоятельного решения
1. Площадь осевого сечения цилиндра = 20 см². Найдите Sбок.
2. Высота конуса 12 см, образующая 13 см. Найдите Sполн.
3. Плоскость проходит на расстоянии 8 см от центра шара. Радиус сечения = 15
см. Найдите S поверхности шара.