МАТРИЦЫ

1. МАТРИЦЫ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

2. 1. Матрицы и операции над ними

Прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов,
называется м а т р и ц е й размера m n и записывается в виде:
a11
a 21
A=
a
m1
a12
a 22
am2
a1n
a2n
a mn
или
A = (aij ) , где i = 1, m (т.е. i = 1, 2, ..., m ),
j = 1, n (т.е. j = 1, 2, ..., n ).
Числа aij называются э л е м е н т а м и матрицы A . Каждый элемент
матрицы имеет два индекса: первый указывает номер строки, второй – номер
столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.
Если число столбцов матрицы n равно числу ее строк, то такая матрица
называется к в а д р а т н о й м а т р и ц е й n -го порядка.

3.

Пример 1.
a11
a
A = 21
a
n1
a12
a 22
an2
a1n
a2n
- матрица n -го порядка,
a nn
− 3 1
- матрица второго порядка,
В =
2 0
4 −1 3
С = 2 0 − 4 - матрица третьего порядка.
5 3 − 2
Элементы a11 , a22 , , ann квадратной матрицы порядка n образуют ее
главную диагональ.
Квадратная матрица называется д и а г о н а л ь н о й , если все ее
элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю
a11
A= 0
0
0
a 22
0
0
0 .
a33

4.

Диагональная матрица называется е д и н и ч н о й , если все ее
элементы, расположенные на главной диагонали, равны единице.
Пример 2.
1 0 0
E = 0 1 0 - единичная матрица третьего порядка.
0 0 1
Матрица называется н у л е в о й , если все ее элементы равны нулю.
Матрица называется т р е у г о л ь н о й , если все ее элементы,
расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.
Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется
вектором.
Пример 3.
Х = (х1 х2 ... хn ) - вектор-строка,
y1
y
Y = 2 - вектор-столбец.
...
y
m

5.

Матрица называется т р а н с п о н и р о в а н н о й к данной
матрице А , если каждую строку данной матрицы А заменить
столбцом с тем же номером, и обозначается АТ .
Пример 4.
− 2 3 1
− 2 4 − 1
Если А = 4 0 − 3 , то АТ = 3 0 2 .
−1 2 5
1 −3 5
1 2
1
0
2
, то ВТ = 0 1 .
Если В =
2 1 4
2 4
Заметим, что (АТ ) = А , ( А + В )Т = АТ + ВТ , ( А В )Т = ВТ АТ .
Т

6. Основные операции над матрицами

1. Сложение и вычитание матриц
Эти операции вводятся только для матриц одинаковой размерности.
Суммой (разностью)
матрица C = (cij ) такая, что
двух матриц A = (aij ) и B = (bij ) называется
cij = aij bij
( i = 1, m; j = 1, n ).
Пример 5.
2 - 3 0 3 3 - 1 5 0 - 1
+
=
.
4 5 6 - 2 - 5 4 2 0 10
2. Умножение матрицы на число
П р о и з в е д е н и е м м а т р и ц ы A = (aij ) н а ч и с л о называется матрица
B = (bij ) такая, что
bij = aij
(i = 1, m; j = 1, n).
Пример 6.
0 -1 2
0 - 2 4
.
, то 2A =
6
8
10
3
4
5
Если A =

7.

3.Произведение матриц
Матрицу А можно умножить на матрицу В , (т.е. найти А В ) только в том
случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В .
Произведением матрицы
называется матрица C = (cik ) такая, что
cik = ai1b1k + ai 2b2k + ... + ainbnk
A = (aij )
на
матрицу
B = (b jk )
(i = 1, m; j = 1, n; k = 1, p ) .
Пример 7.
− 3 2
2 -1 3
Даны матрицы A =
и В = 1 − 2 . Найти произведения А В и В А
4 0 - 2
5 −1
− 3 2
2 (− 3) + (− 1) 1 + 3 5 2 2 + (− 1) (− 2) + 3 (− 1) 8
3
2 −1 3
1 − 2 =
=
А В =
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
4
0
−
2
4
−
3
+
0
1
+
−
2
5
4
2
+
0
−
2
+
−
2
−
1
−
22
10
5 −1
3 − 13
− 3 2
− 6 + 8 3 + 0 − 9 − 4 2
2 −1 3
= 2 − 8 − 1 + 0 3 + 4 = − 6 − 1 7 .
В А = 1 − 2
5 − 1 4 0 − 2 10 − 4 − 5 + 0 15 + 2 6 − 5 17

8.

Отсюда получаем, что А В В А , т.е. умножение матриц не обладает
перестановочным свойством.
Матрицы А и В называются п е р е с т а н о в о ч н ы м и , если
А В = В А.
Пример 8.
1 3
1 2 1
,
B = найти А В и В А .
1 2
2 1 0
Для матриц A =
Произведение матриц А В неопределенно, так как число столбцов
матрицы А , равное трем, не совпадает с числом строк матрицы В , равным
двум.
При этом определено произведение В А :
1 3 1 2 1 1 + 9 2 + 3 1 + 0 10 5 1
=
=
.
B A = •
1 2 3 1 0 1 + 6 2 + 2 1 + 0 7 4 1

9. 2. Определители

Определителем
(или
детерминантом)
п о р я д к а , соответствующим матрице
a
А = 11
a 21
второго
a12
a 22
называется число a11 a22 − a21 a12 . Определитель второго порядка матрицы А
обозначается det A .
Таким образом,
det A =
a11 a12
= a11 a22 − a21 a12 .
a21 a22
Числа ai11 , а12 , а21 , а22 называются э л е м е н т а м и о п р е д е л и т е л я .
Пример 9.
Вычислить определитель
2 −5
.
3 4
2 −5
= 2 4 − (− 5) 3 = 8 − (− 15) = 8 + 15 = 23 .
3 4

10.

Определителем
(или
п о р я д к а , соответствующим матрице
детерминантом)
a11 a12
А = a21 a22
a
31 a32
третьего
a13
a23
a33
называется число, определяемое равенством
a11
a12
a13
a 21
a 22
a 23 = a11a 22 a33 + a12 a 23 a31 + a 21a32 a13 − a13 a 22 a31 − a 21a12 a33 − a 23 a32 a11 .
a31
a32
a33
Правая часть формулы получается по правилу треугольников
(правилу Саррюса)
или по правилу
• •
• •
• •
• •
• •
• •
(+)
( −)

11.

Пример 10.
3
Вычислить определитель 5
2 −4
1
6 .
−2 0 −3
3
2 −4
5
1
6 = 3 1 (− 3) + 2 6 (− 2) + 5 0 (− 4) − (− 4) 1 (− 2) − 5 2 (− 3) − 0 6 3 =
−2 0 −3
= −9 − 24 − 8 + 30 = −11.
или
3 2 −4 3 2
5 1 6 5 1 = 3 1 (− 3) + 2 6 (− 2) + 5 0 (− 4) − (− 4) 1 (− 2) − 0 6 3 − 2 5 (− 3) = -11.
−2 0 −3 −2 0

12.

М и н о р о м M i j элемента a i j определителя n -го порядка называется
определитель (n − 1) -го порядка, полученный путем вычеркивания i -ой строки и
j -го столбца данного определителя.
Пример 11. Для определителя
a11
a12
a13
a21 a22
a23
a31 a32
a33
найти миноры элементов a11 и a 23 .
Минором элемента
a11 является M 11 =
a 22
a32
a 23
, а для элемента
a33
a 23
a11 a12
минором будет M 23 =
.
a31 a32
А л г е б р а и ч е с к о е д о п о л н е н и е Ai j элемента a i j определяется
по формуле:
i+ j
Ai j = (− 1) M i j .

13.

Пример 12. Для определителя
a11
a12
a13
a21 a22
a23
a31 a32
a33
найти алгебраические дополнения элементов a11 и a 23 .
Алгебраические дополнения элементов a11 и a 23 соответственно равны
A11 и A23 :
A11 = (− 1)
1+1
A23 = (− 1)
2+3
M 11 = M 11 =
a22
a32
a23
,
a33
a
a12
.
M 23 = −M 23 = − 11
a31 a32
Таким образом, для определителя третьего порядка схема знаков
алгебраических дополнений имеет вид:
+ − +
− + −.
+ − +

14.

Теорема (о разложении определителя по строке или по столбцу).
Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо его
строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Например,
a11
a12 a1n
ai1
ai 2 ain
a n1 a n 2 a nn
= ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + + ain Ain ,
(i = 1, 2, n ).

15. Основные свойства определителей

1)
Значение определителя не меняется после замены всех его строк
соответствующими столбцами, и наоборот
a11
a 21
2)
a12 a11
=
a 22 a12
a 21
.
a 22
Общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) можно
вынести за знак определителя
k a11 k a12
a
a
= k 11 12 .
a21
a22
a21 a22
3)
При перестановке двух строк (столбцов) определителя знак его
меняется на противоположный
a11
a 21
a12
a
= − 12
a 22
a 22
a11
.
a 21

16.

4)
5)
Определитель с двумя одинаковыми или пропорциональными
строками (столбцами) равен нулю
a11
a12
k a11
k a12
Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя равны
нулю, то определитель равен нулю
0
0
a 21 a 22
6)
= 0.
Определитель не изменится, если к элементам одной строки
(столбца) определителя прибавить соответственные элементы
другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число
a11
a12
a21 a22
7)
= 0.
=
a11
a21 + k a11
a21 a22 + k a21
.
Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) на
алгебраические дополнения соответствующих элементов другой
строки (столбца) равна нулю
a11 A21 + a12 A22 = 0 .

17.

Пример 13.
2 −4
3
Вычислить определитель = 5
6 ,
1
−2 0 −3
а) разложив его по элементам первой строки;
3
= 5
2 −4
1
6 = 3
−2 0 −3
1
6
0 −3
− 2
5
6
−2 −3
− 4
5
1
−2 0
= 3 (− 3 − 0) − 2 (− 15 + 12) − 4 (0 + 2) =
= −9 + 6 − 8 = −11 .
б) разложив его по элементам второго столбца.
3
= 5
2 −4
1
6 = −2
−2 0 −3
5
6
−2 −3
+ 1
3
−4
−2 −3
− 0
3 −4
5
6
= − 2 (− 15 + 12) + 1 (− 9 − 8) =
= 6 − 17 = −11 .
Замечание. Можно, используя свойство 6, не изменяя величины
определителя, преобразовать его так, чтобы в выбранной строке (или столбце)
все элементы, кроме одного, обратились в нуль.

18. 3. Обратная матрица

Матрица A −1 называется о б р а т н о й для квадратной матрицы А ,
если
A A−1 = A−1 A = E ,
где E - единичная матрица.
Квадратная матрица А называется
невырожденной
(неособенной), если ее определитель = det A 0 . В противном случае
матрица А называется в ы р о ж д е н н о й (особенной).
Теорема. Всякая невырожденная матрица имеет единственную
обратную матрицу.

19.

Если матрица
a11 a12
a
a
A = 21 22
a
n1 an 2
a1n
a2 n
ann
невырожденная матрица, т.е. det A 0 , то для нее обратную матрицу можно
найти по формуле:
A −1 =
A11
A
~
где A = 12
A
1n
A21
A22
A2 n
1
~
A,
det A
An1
An 2
- присоединенная (союзная) матрица к матрице А .
Ann
Здесь Aij - алгебраические дополнения элементов aij , ( i, j = 1, n ).

20.

Пример 14.
Для матрицы А найти обратную матрицу A −1 , если
1 2 − 3
А = 2 −1 4 .
3 1 − 1
Решение.
Сначала найдем определитель матрицы А :
1
2
det A = 2 − 1
3
1
−3
4 = 1 + 24 − 6 − 9 + 4 − 4 = 10 .
−1
Так как det A 0 , то матрица А - невырожденная, и, следовательно,
существует обратная ей матрица
A11
1
~
~
A −1 =
A , где A = A12
det A
A
13
A21
A22
A23
A31
A32 .
A33

21.

Вычислим алгебраические дополнения:
A11= (− 1)2
−1
4
= 1 − 4 = −3 ,
1 −1
2 4
A12= (− 1)3
= −(−2 − 12) = 14 ,
3 −1
2 −1
A13= (− 1)4
= 2+3= 5,
3 1
2 −3
= −(−2 + 3) = −1 ,
A21= (− 1)3
1 −1
1 −3
= −1 + 9 = 8 ,
A22= (− 1)4
3 −1
1 2
= −(1 − 6) = 5 ,
A23= (− 1)5
3 1
2 −3
= 8−3 = 5,
A31= (− 1)4
−1 4
1 −3
= −(4 + 6) = −10 ,
A32= (− 1)5
2 4
1 2
= −1 − 4 = −5 .
A33= (− 1)6
2 −1

22.

Тогда получим:
− 3 − 1 5 − 0,3 − 0,1 0,5
1
−1
A = 14 8 − 10 = 1,4
0,8
−1 .
10
5 − 5 0,5
0,5 − 0,5
5
Проверим выполнение условия А А−1 = Е .
1 2 − 3 − 3 − 1 5
10 0 0 1 0 0
1
1
−1
А A = 2 − 1 4 14 8 − 10 = 0 10 0 = 0 1 0 = Е .
10
5
10 0 0 10 0 0 1
3
1
−
1
5
−
5

23. 4. Ранг матрицы

Рассмотрим матрицу
a11
a
A = 21
a
m1
a12
a 22
am2
a1n
a2n
.
a mn
Выберем в матрице А произвольные k строк и k столбцов ( k min (m, n)) .
Определитель порядка k , составленный из элементов, стоящих на
пересечении выделенных k строк и k столбцов, называется м и н о р о м k го порядка этой матрицы.
Р а н г о м матрицы А называется наибольший порядок ее миноров,
отличных от нуля, и обозначается rang ( A) или r ( A) .
Если rang ( A) = rang (В) , то матрицы А и В называются эквивалентными
и обозначаются А ~ В .

24.

Вычисление ранга матрицы можно производить методом окаймляющих
миноров и методом элементарных преобразований.
1. Вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров
Если в матрице А имеется минор k -го порядка неравный нулю, а все ее
миноры (k + 1)-го порядка, окаймляющие этот минор, равны нулю, то ранг
матрицы А равен k . В противном случае среди окаймляющих миноров
найдется ненулевой минор (k + 1)-го порядка, и вся процедура повторяется.
2. Вычисление ранга матрицы методом элементарных преобразований
К э л е м е н т а р н ы м п р е о б р а з о в а н и я м матрицы относятся:
1) перестановка двух параллельных рядов матрицы;
2) умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от нуля;
3) прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих
элементов параллельного ряда, умноженных на некоторое число;
4) вычеркивание строки матрицы, все элементы которой равны нулю.

25.

Ранг матрицы не изменяется от элементарных преобразований.
Используя элементарные преобразования, матрицу приводят к виду, когда все
ее элементы, кроме а11, а22 , ..., аrr (r min( m, n)) равны нулю. Отсюда, ранг матрицы
равен r .
Пример 15.
2 1 4 − 3
Вычислить методом окаймляющих миноров ранг матрицы А = 4 15 8 7 .
2 17 4 13
2
Так как минор второго порядка
1
4 15
= 26 0 , то ранг матрицы А не меньше 2.
Найдем для этого минора окаймляющие миноры третьего порядка.
2
1
4
2
1
4
4 15 8 = I строка (- 2) + II строка = 0 13 0 = 0 ,
2 17 4
1
−3
4 15
7 =
2
2 17 13
2 17 4
I строка (- 2) + II строка
I строка (- 1) + III строка
2
1
−3
= 0 13 13 = 0 .
0 16 16
Итак, все окаймляющие миноры равны нулю. Следовательно, rang ( A) =2.

26.

Пример 16.
Вычислить ранг матрицы В методом элементарных преобразований
2 − 4
0
В = −1 − 4 5 .
3
1
7
Решение.
2 − 4
0
0 2 − 4
1 4 − 5
− 1 − 4 5 ~ II строка (- 1) ~ 1 4 − 5 ~ I строка II строка ~ 0 2 − 4 ~
3
3 1 7
3 1 7
1
7
1 4 − 5
1 4 − 5
~
~ 0 1 − 2 ~ II строка 11 + III строка ~ 0 1 − 2 ~
I строка (- 3) + III строка
0 0 0
0 − 11 22
II строка 12
1 4 − 5
.
~
0
1
−
2
Отсюда rang (В) = 2 , так как
1 4
0 1
=1 0.