Similar presentations:
Матрицы и определители
1.
Матрицы и определители2.
Свойства линейных операцийнад матрицами
А,B,C – матрицы,
α,β – действительные числа
1.A+B=B+A
2. (A+B)+C=А+(B+C)
3. α·(A+B)=α·A+α·B
4. (α+β) ·A= α·A+ β ·A
5. (α · β) ·A= α ·(β·A)= β ·(α · A)
6. A+0=A
7. (-A)=(-1)·A и A+(-A)=O
7*. A-B=A+(-B)
3.
Произведение матрицУмножением матрицы A (aij ) m n на матрицу B (bij ) p q
определено, когда число столбцов в первой
матрице равно числу строк во второй матрице,
то есть n=p
Произведением матрицы A (aij ) m k на матрицу B (bij ) k n
называется такая матрица С (сij ) m n, каждый элемент
которой сij равен сумме произведений элементов
i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы
j-ого столбца матрицы В
4.
Произведение матрицA (aij ) m k
B (bij ) k n
А · В=С, где С (сij ) m n и
k
сij ai1 b1 j ai 2 b2 j ... aik bkj ais bsj
s 1
i 1, m 1,2,..., m; j 1, n 1,2,..., n
5.
Произведение матрицА3 3
1 2
2 3 4
1 2 0 ; B3 2 3 4
2 3 1
5 6
А3 3 B3 2 С3 2
31 40
7 10
16 22
6.
Произведение матрицПереместительный закон умножения
матриц не выполняется
A B B A
1.
A3 2 B2 4 C3 4
B2 4 A3 2 - не определено
2.
A3 2 B2 3 C3 3
B2 3 A3 2 D2 2
В частном случае АВ=ВА.
В этом случае матрицы А и В называются
перестановочными
7.
Свойства операцииумножения матриц
А,B,C – матрицы,
α – действительное число
1. А B B A
2. α·(A·B)=(α·A)·B=A(α·B)
3. (A ·B) ·C= A ·(B ·C)
4. (A+B) ·C=A·C+B·C
5. A·(B+C)=A·B+A·C
6. A ·E=E ·A=A
8.
ОпределительЛюбой квадратной матрице порядка n ставится в
соответствие найденное по определенному закону
некоторое число, называемое определителем n-ого
порядка этой матрицы
An n
a11 a12
a21 a22
... ...
a a
n1 n 2
... a1n
a11 a12
... a2 n
a21 a22
det A A
... ...
... ...
... ann
an1 an 2
... a1n
... a2 n
...
...
... ann
9.
ОпределительA1 1 a11
7 7;
A2 2
a11
a21
a12
a22
2
2
2
6
A a11 a11
3 3;
a11
A
a21
5 5
8 8
a12
a11 a22 a12 a21
a22
3 2 1 3 ( 2) 2 6 8
1
1 2 ( 3) ( 1) 6 6 6 0
3
10.
Определительa11
A a21
a31
a12
a22
a32
a11
A3 3 a21
a
31
3
4
8
a13
a23
a33
a13
a23 (a11 a22 a33 a12 a23 a31 a21 a32 a13 )
a33 (a13 a22 a31 a12 a21 a33 a23 a32 a11 )
A
2
A 5
6
a12
a22
a32
7
1 (2 4 9 3 1 6 5 8 7) (7 4 6 3 5 9 1 8 2)
9
72 18 280 168 135 16 51
11.
Минор элемента матрицыМинором M ij элемента aij матрицы А n-ого порядка
называется определитель матрицы (n-1)-ого порядка,
полученный из матрицы А вычеркиванием i строки и
j столбца
- минор элемента
aij
матрицы
An n
a21 a23
a11 a12 a13
M 12
a31 a33
A3 3 a21 a22 a23
a11 a13
a a a
M
22
31 32 33
a31 a33
12.
Алгебраическое дополнение элементаматрицы
Алгебраическим дополнением Аij элемента aij
матрицы n-ого порядка называется его минор,
взятый со знаком ( 1)i j
- алгебраическое дополнение элемента
матрицы An n
A3 3
a11 a12
a21 a22
a
31 a32
a13
a23
a33
А12 M12
А22 M 22
aij
13.
ОпределителиОпределитель любой квадратной матрицы
n-ого порядка равен сумме произведений
элементов любой строки (столбца) на их
алгебраическое дополнение
Разложение определителя по строке
n
det A ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 _____
... ain Ain ais Ais
i 1, n
s 1
Разложение определителя по столбцу
n
det A a1 j A1 j a2 j A2 j _____
... anj Anj asj Asj
j 1, n
s 1
14.
Определитель2
5
6
3
4
8
7
2 1
2 2
1 5 A21 4 A22 1 A23 5( 1) M 21 4( 1) M 22
9
1( 1) 2 3 M 23 5 83
7 42
9
6
4(2 9 7 6) (2 8 3 6) 51
7 1 2
9 6
3 5(3 9 7 8)
8
15.
Свойства определителейЕсли некоторая строка (столбец) в
определителе состоит из нулей, то этот
определитель равен нулю
16.
Свойства определителейЕсли все элементы какой-либо строки
(столбца) матрицы умножить на число λ, то
ее определитель умножится на это число λ
Если в определителе элементы некоторой
строки или столбца содержат общий множитель
λ, то этот общий множитель можно вынести за
знак определителя
17.
Свойства определителейПри перестановке двух строк (столбцов)
матрицы ее определитель меняет знак
на противоположный
18.
Свойства определителейОпределитель матрицы не изменится если
к элементам какой-либо строки (столбца)
матрицы прибавить элементы другой строки
(столбца), предварительно умноженные на
одно и то же число
19.
Свойства определителейЕсли квадратная матрица содержит две
одинаковые строки, то ее определитель
равен нулю
Определитель произведения двух
квадратных матриц равен произведению
их определителей, то есть
det( A В) det A det В
20.
Методы вычисления определителейМетод понижения порядка
Если в определителе все элементы некоторой
строки (столбца) кроме одного равны нулю,
то определитель равен произведению этого
ненулевого элемента на его алгебраическое
дополнение
Метод приведения определителя к треугольному виду
Если в определителе все элементы, стоящие
по одну сторону от главной диагонали равны
нулю, то такой определитель равен
произведению элементов, стоящих на главной
диагонали
21.
Обратная матрицаКвадратная матрица А называется невырожденной,
если определитель этой матрицы отличен от нуля
1
Матрица A называется обратной для матрицы А,если
1
1
A A A A E
1
1. Матрицы А и A перестановочны, при этом
- квадратная матрица того же порядка, что и А
1
A -
2. Из свойств определителя и правила умножения
матриц det( A A 1 ) det E
1
1
det A det A
1
1
det A
det A