Матрицы и определители

1. Высшая математика

Преподаватель: Лучникова Н.И.

2. Матрицы и определители

Тема 1. Матрицы и определители.
п.1.1.Основные понятия и определения
Определение: Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица
чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу,
называются элементами матрицы.
Матрица размера m n:
a11
a21
...
A
m n
ai 1
...
a
m1
a12
...
a1 j
...
a22
...
a2 j
...
...
...
...
...
ai 2
...
aij
...
...
...
...
...
am 2
...
am j
...
a1n
a2 n
...
.
ain
...
am n
Матрицы обозначаются прописными заглавными буквами латинского
алфавита А,В,С,…, а для обозначения элементов матрицы используют
строчные буквы с двойной индексацией: aij , где i – номер строки, j - номер
столбца.

3. Матрицы и определители

Пример:
С помощью матриц удобно записывать некоторые экономические
зависимости. Например, таблица распределения ресурсов по отдельным
отраслям экономики (усл.ед.):
Ресурсы
Отрасли экономики
Промышленность
Сельское хозяйство
Электроэнергия
5,3
4,1
Трудовые ресурсы
2,8
2,1
Водные ресурсы
4,8
5,1
Может быть записана в компактной форме в виде матрицы распределения
ресурсов по отраслям:
А=
5,3
2,8
4,8
4,1
2,1
5,1
В данной записи, например, матричный элемент a11=5,3 показывает, сколько
электроэнергии употребляет промышленность, а элемент a22=2,1 – сколько
трудовых ресурсов потребляет сельское хозяйство.

4. Матрицы и определители

Виды матриц.
Определение: Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей
(вектором)-строкой, а из одного столбца – матрицей (вектором)столбцом.
Пример:
А 2
5
1 ;
6
11
B .
0
3
Определение: Матрица называется квадратной n-го порядка, если число ее
строк равно числу столбцов и равно n.
Пример:
3
A 5
1
2
8
0
1
7 - квадратная матрица третьего порядка.
1
Определение: Элементы матрицы aij, у которых номер столбца равен номеру
строки (i=j), называются диагональными и образуют главную диагональ
матрицы.

5. Матрицы и определители

Определение: Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны
нулю, то матрица называется диагональной.
Пример:
6
А 0
0
0
2
0
0
0 - диагональная матрица третьего порядка.
1
Определение: Если у диагональной матрицы n-го порядка все диагональные
элементы равны единице, то матрица называется единичной матрицей n-го
порядка, она обозначается буквой E.
Пример:
1
E
0
0
- единичная матрица второго порядка;
1
1
E 0
0
0
1
0
0
0 - единичная матрица третьего порядка.
1
Определение: Матрица любого размера называется нулевой, если все
элементы равны нулю.

6. Матрицы и определители

п. 1.2.Операции над матрицами
1.Умножение матрицы на число
Каждый элемент матрицы умножается на это число.
Пример:
8
А
3
2
4
, 0,5 А
1,5
6
1
.
3
2.Сложение матриц
!!! Можно складывать матрицы только одинаковых размеров.
Матрицы складываются поэлементно.
Пример:
2
А 0
1
3
8 ,
6
1
В 8
1
2
5 ,
7
3
С А В 8
0
5
3 .
13
3.Вычитание матриц
!!! Можно вычитать матрицы только одинаковых размеров.
Матрицы вычитаются поэлементно.
Пример:
2
А 0
1
3
8 ,
6
1
В 8
1
2
5 ,
7
1
С А В 8
2
1
13 .
1

7. Матрицы и определители

4.Умножение матриц
!!! Матрицу А можно умножить на матрицу В, если число столбцов матрицы
А равно числу строк матрицы В.
Произведением матрицы A B называется такая матрица C , каждый
m k k n
m n
элемент которой cij равен сумме произведений элементов i-ой строки
матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.
!!! Многие свойства, присущие операциям над числами, справедливы и для
операций над матрицами (что следует из определений этих операций):
А+В=В+А
(А+В)+С= А+(В+С)
λ(А+В)=λА+λВ
А(В+С)=АВ+АС
(А+В)С=АС+ВС
λ(АВ)=(λА)В=А(λВ)
А(ВС)=(АВ)С

8. Матрицы и определители

!!! Однако имеются и специфические свойства матриц. Так, операция умножения матриц
имеет некоторые отличия от умножения чисел:
Если произведение матриц АВ существует, то после перестановки
сомножителей местами произведение матриц ВА может и не
существовать.
Коммутативный закон умножения, вообще говоря, не выполняется, т.е.
АВ≠ВА.
Произведение двух ненулевых матриц может равняться нулевой
матрице.

9. Матрицы и определители

10. Матрицы и определители

5.Возведение в степень
Целой положительной степенью Аm (m>1) квадратной матрицы А называется
произведение m матриц равных А, т.е.
Аm
A
A
...
A.
m
раз
!!! По определению полагают А0=Е, А1=А.
Пример:
1 3
, найти А2.
А
2 1
1 3 1 3 7 0
.
А2
2
1
2
1
0
7

11. Матрицы и определители

6.Транспонирование матрицы
Транспонированная матрица – матрица, в которой строки и столбцы
поменялись местами с сохранением порядка. Обозначается А .
Пример:
2
А
1
3 9
,
0 5
2 1
А 3 0 .
9 5
Свойства операции транспонирования:
(А’)’=A
(λA)’=λA’
(A+B)’=A’+B’
(AB)’=B’A’.

12. Матрицы и определители

Пример:

13. Матрицы и определители

14. Матрицы и определители

15. Матрицы и определители

п.1.3.Определители. Основные понятия и определения
Определение. Пусть дана квадратная матрица первого порядка
A а11 .
определителем (или детерминантом) первого порядка, соответствующим
данной матрице, называется элемент а11.
Определение. Пусть дана квадратная матрица второго порядка
a
A 11
a21
a12
.
a22
определителем (или детерминантом) второго порядка, соответствующим
данной матрице, называется число, получаемое по правилу:
det A
a11
a12
a21
a22
a11 a22 a12 a21 .

16. Матрицы и определители

Определение. Пусть дана квадратная матрица третьего порядка
a11
A a21
a
31
a12
a22
a32
a13
a23 .
a33
определителем (или детерминантом) третьего порядка, соответствующим
данной матрице, называют число, получаемое по правилу:
a11
a12
a13
a 21
a 22
a31
a32
a 23 a11 a22 a33 a12 a31 a23 a13 a21 a32
a33
a11 a32 a23 a12 a21 a33 a13 a31 a 22 .
!!! Для того, чтобы запомнить, какие произведения в правой части
соотношения следует брать со знаком “+”, какие – со знаком “–”, полезно
следующее графическое правило, называемое правилом треугольников:
– со знаком “+”;
– со знаком “–”.

17. Матрицы и определители

18. Матрицы и определители

п.1.4.Свойства определителей
1.Величина определителя не
соответствующими столбцами, т.е.
меняется
при
замене
его
строк
det A = det AT .
2.При перестановке двух строк (столбцов) определителя между собой
определитель меняет лишь знак:
a b
c
d
c
d
a b
.
3.Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен
нулю.
2 1 2
2 1 2 0.
3 0 4

19. Матрицы и определители

4.Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя
содержат общий множитель, то его можно вынести за знак определителя:
ka kb
c
d
k
a b
c
d
.
Следствие. Если все элементы какой-либо
определителя равны нулю, то определитель равен нулю.
строки
(столбца)
5.Если элементы некоторой строки (столбца) определителя есть суммы
двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в которых
элементы упомянутой строки (столбца) заменены отдельными слагаемыми:
a p b
c l
d
a b
c
d
p b
l
d
.
6.Величина определителя не изменится, если к элементам любого
его ряда прибавить элементы параллельного ряда, умноженные на одно и то
же число:
a b
c
d
a k b b
c k d
d
.

20. Матрицы и определители

!!! Прежде чем сформулировать свойство 7 введем понятия минора и
алгебраического дополнения.
Определение. Минором Mij некоторого элемента aij определителя
называется определитель, получаемый из данного путем вычеркивания i -ой
строки и j - ого столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.
Определение.
Алгебраическим
дополнением
элемента
aij
i+j
определителя называется минор Mij, взятый со знаком (-1) . Оно
обозначается
Aij = (-1)i+ jMij.
Рассмотрим пример.
det А
M11 =
1
1
2
3
0
1
0
1
2
2
1
2
0
3
1
0
1
0
1
2
1
2
3
1
0
, M23 =
1,
1
1
3
2
2
2
0
3
0
M33 =
12
1
1
3
0
1
1
0
3
0
3
A23 = (-1)2+ 3M23 = 12; A11 = (-1)1+ 1M11 = -1; A33 = (-1)3+ 3M33 = 3.

21. Матрицы и определители

7.Величина определителя равна сумме произведений элементов любой
строки (столбца) определителя на соответствующие элементам этой строки
(столбца) алгебраические дополнения.
Например, разложение по элементам второй строки определителя равно:
a11
a12
a13
a 31
a 32
a 33
= a 21 a 22 a 23 = a21A21 + a22A22 + a23A23.
8.Сумма
произведений
элементов
любой
строки
(столбца)
определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов
другой строки (столбца) равно нулю.
Например, в случае строки:
a11A21 + a12A22 + … + a1nA2n = 0.
!!!!! Т.о используя свойство 7 можно вычислять на практике
определитель любого порядка и формулируется оно как Теорема Лапласа.

22. Матрицы и определители

п.1.5.Теорема Лапласа
!!!

23. Матрицы и определители

24. Матрицы и определители

п. 1.6.Обратная матрица
Определение: Матрица А 1 называется обратной по отношению к квадратной
матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и
слева получается единичная матрица, т.е.
А 1 А А А 1 Е .
!!! Обратная матрица существует и единственна тогда и только тогда, когда
исходная матрица невырожденная (т.е. определитель матрицы отличен от
нуля).

25. Матрицы и определители

Алгоритм вычисления обратной матрицы:
1. Находим определитель матрицы, т.е. А .
2. Находим транспонированную матрицу , т.е. А .
~
3. Находим присоединенную матрицу, т.е А (матрица, состоящая из
алгебраических дополнений к элементам транспонированной
матрицы).
1 ~
4. Вычисляем обратную матрицу по формуле А А .
А
1
5. Проверяем правильность вычисления, исходя из определения обратной
матрицы.

26. Матрицы и определители

!!! Для невырожденных матриц выполняются следующие свойства:
А−1 =
1
А
А−1 −1 = А
А