Закон больших чисел

1.

Закон
больших
чисел 11 класс

2.

Теория больших чисел имеет большое
значение для всех наук, а в особенности
для тех, которые используют теорию
вероятности и статистики на постоянной
основе. Создавая выборку из случайных
единиц с учетом действия закона больших
чисел, учитывается важный
статистический метод, основанный на этом
законе.

3.

Представьте,
что вы бросаете
монету и у вас 10
раз подряд выпал
орёл. Какова
вероятность того,
что на 11-й раз
выпадет решка?
Некоторыемоглиподумать,
чтобольшая.
Еслитак,
товыошиблись,
как
и
тысячиигроковдовас.
Вероятностьтого,
1
чтовыпадетрешкаравна .

4.

1
чтовыпадетрешкаравна
2
Вероятностьтого,
и совпадает с
вероятностьютого,
чтовыпадеторёл
11-й
раз.
Нопочемуэтотак? И какэтосвязано с казино, страхованием,
искусственныминтеллектом
и
теориибольшихчисел?
Сейчасвсёобсудим.

5.

Эта история произошла
летом 1913 года в МонтеКарло. В тот день, 18 августа
все играли в рулетку и
ставили на красное или
чёрное. В какой-то момент
чёрное выпало 5 раз подряд.
Все начали ставить на
красное. И ошиблись дальше опять выпало чёрное.

6.

И снова чёрное. Потом
опять чёрное. И так 15 раз.
Все опять ставят на красное,
потому что сильно уверены,
что дальше будет красное - и
проигрывают. Проигрывают
миллионы. В тот день чёрное
выпало 26 раз подряд.
Вероятность такого события 1
из 67 миллионов.

7.

Все это примеры ошибки игрока.
Мы ошибаемся в восприятии вероятности,
когда видим, что одно и тоже событие
повторяется большое количество раз.
Например, если 10 раз подряд мы
выбросили орла, то скорее всего на 11-й раз
будет решка.

8.

Причина в том, что у нас есть память,
а у рулетки или монет памяти нет.
Для монеты неважно, что произошло
в прошлом, поэтому вероятность
следующего раза такая же как и
вероятность первого раза, она не меняется.
Но интуиция нам говорит, что результат
не должен сильно отличаться от среднего.

9.

Но на самом деле интуиция права.
То, что она нам хочет сказать является
основным принципом теории вероятности,
который называется законом больших
чисел.
Что такое закон больших чисел?
Это связь теории и практики,
математики и реальной жизни.

10.

Одно из проявлений закона больших чисел
состоит в том, что при многократном
повторении одного и того же опыта частоты
событий будут близки к их вероятностям.
Закон больших чисел, это обобщенное название
нескольких теорем. К ним относятся теоремы Чебышёва и
Бернулли. Теорема Чебышёва является наиболее общим
законом больших чисел, теорема Бернулли – простейшим.

11.

Одно из проявлений закона больших чисел
состоит в том, что при многократном
повторении одного и того же опыта частоты
событий будут близки к их вероятностям.
Закон больших чисел, это обобщенное название
нескольких теорем. К ним относятся теоремы Чебышёва и
Бернулли. Теорема Чебышёва является наиболее общим
законом больших чисел, теорема Бернулли – простейшим.

12.

Н е р а в е н с т во М а р ков а
Оценку вероятности можно
произвести при помощи неравенства
Маркова.
Неравенство используется, когда
никаких данных о распределении нет.
Стоит отметить, что оценка данным
способом считается грубой, хоть и
даёт некоторую информацию.
Андрей Андреевич Марков
(1856 – 1922) — русский математик,
академик, внёсший большой вклад в
теорию вероятностей, математический
анализ и теорию чисел.

13.

Пусть X — случайная величина, которая
принимает неотрицательные значения; M(X)
— конечное математическое ожидание
случайной величины. Для любых A>0