36e57eba48690a4362db17480fcb0315

1. СЕМИНАР №2 (2 часть) ОДУ

2.

Теорема I.
Пусть дано дифференциальное уравнение
y' = f(x, y),
(1)
где функция f(x, у) определена и непрерывна в области D,
содержащей точку (х0, у0), частная производная
f
y
существует и
ограничена в области D. Тогда существует единственное решение
у = (х) уравнения (1), удовлетворяющее условию у0 = (х0) и
определенное на некотором интервале (x0 − h, x0 + h), h > 0.
2

3.

Геометрический смысл теоремы заключается в том, что существует
и притом единственная функция у = (х), интегральная кривая
которой проходит через точку (х0, у0). Если условия теоремы не
выполнены, то могут возникнуть особые решения.
3

4.

Определение 1.
Особым решением дифференциального уравнения (1) называется
такое
решение,
в
каждой
точке
которого
нарушается
единственность.
4

5.

Пример 1.
Найти особые решения дифференциального уравнения y = 3 y .
5

6.

Решение
Так как
f ( x, y) = 3 y ,
f
1
=
.
то
y 3 3 y 2
При у, стремящемся к нулю,
частная производная стремится к бесконечности. Значит, условия
теоремы
не
качестве
области
окрестность
выполнены,
D
любой
Непосредственной
если
в
рассматривать
точки оси Ох.
подстановкой
в
дифференциальное уравнение можно
убедиться, что у = 0
и
2
3
x = y 3 + c,
2
Рис. 1.
с R , являются решениями
дифференциального уравнения. В каждой точке оси Ох нарушается
единственность, следовательно, у = 0 - особое решение (рис. 1).
6

7.

Метод изоклин
Если для дифференциального уравнения (1) выполняются условия
теоремы
I,
то
через
точку
(х0,
у0)
проходит
единственная
интегральная кривая, задаваемая уравнением у = у(х). Так как
производная y (x) = f(x, y(х)), то число f(x0, y0) является тангенсом
угла наклона касательной к интегральной кривой в точке (х0,у0)
(говорят, что задано направление интегральной кривой).
Задание дифференциального уравнения равносильно заданию
поля направлений для интегральных кривых. Поле направлений
помогает найти множество решений данного уравнения.
7

8.

Определение 2.
Изоклиной называется множество точек плоскости с одним и тем же
направлением к интегральной кривой, т.е. множество точек
плоскости, удовлетворяющих уравнению f(х, у) = с, где с −
константа.
Зная
изоклины
дифференциального
уравнения
(1),
можно
начертить эскиз интегральной кривой. Этот метод построения
интегральных кривых называется методом изоклин.
8

9.

Пример 2.
С помощью изоклин построить интегральные кривые уравнения
x
y =− .
y
9

10.

Решение
Так как в заданном случае
x
f ( x, y) = − ,
y
x
то изоклины задаются уравнениям − = c или
y
1
y = − х , и у 0,
c
с R.
Уравнение
на
рис.
2
определяет
прямую с тангенсом угла наклона − 1 .
c
Рис. 2.
10

11.

На
каждой
прямой
−
изоклине
−
отмечаем
направление
интегральных кривых: рисуем отрезки прямых с тангенсом угла
наклона, равным с. Но
1
c − = −1,
c
следовательно, изоклина и касательная к интегральной кривой
перпендикулярны. Соединив плавной линией отрезки на изоклинах,
получим окружности с центром в начале координат (рис. 2). Итак,
интегральные кривые исходного дифференциального уравнения −
окружности с центром в начале координат
х2 + у2 = с2.
11

12.

Пример 3.
Проинтегрировать уравнение у' = (у − l) x методом изоклин.
12

13.

Решение
Изоклины
данного
дифференциального
уравнениями (у − l) x = с или
c
y = + 1,
x
уравнения
задаются
х 0. При с = 1, −1, 2, −2,...
изоклины представляют собой гиперболы
y=
1
+ 1,
x
y=−
1
+ 1,
x
y=
2
+ 1, ...
x
с соответствующими направлениями, которые отмечены на рис. 3
отрезками прямых
13

14.

По направлениям строим интегральные кривые, «похожие» на
параболы. При с = 0 уравнение (у − l) x = 0 разбивается на два у = 1
или x = 0. Подстановкой в исходное дифференциальное уравнение
убеждаемся, что x = 0 является изоклиной, а у = 1 − решением
дифференциального уравнения.
Рис. 3
14

15. СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ

15