Лекция 1 -26г 3 апреля

1.

Раздел 2
Дифференциальные уравнения и
системы дифференциальных уравнений

2.

Литература
• Высшая математика : Часть II : учебное пособие / В. И. Белоусова, Г. М.
Ермакова, М. М. Михалева, Н. В. Чуксина, И. А. Шестакова ; научный
редактор Б. М. Веретенников ; Министерство образования и науки
Российской Федерации, Уральский федеральный университет имени
первого Президента России Б.Н. Ельцина. — Екатеринбург : Издательство
Уральского университета, 2017. — 300 с.
https://elar.urfu.ru/handle/10995/46983
• Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные
интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. Т.3. М.: Дрофа,
2004. – 512с.
• Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в
упражнениях и задачах. Ч 1. М.: Высшая школа, 1999. – 304 с.
• Краснов М. Л., Киселёв А. И., Макаренко Г. И. Сборник задач по
обыкновенным дифференциальным уравнениям. Едиториал «УРСС», 2002,
– 256 с.
2

3.

• Понтрягин ЛС Обыкновенные ДУ. – М, 1961.
• Филлипов АФ Сборник задач по ДУ. – М, 2008.
• Сборник задач по математике для ВТУЗов: учеб.лит./ Под ред.
Ефимова, Поспелова, Ч.2, 2003.
!!! См. файлы курса
3

4.

Тема 1. Дифференциальные уравнения
Любой процесс, в котором есть движение, описывается ДУ
§1. Основная терминология дифференциальных уравнений
x, y, y ,..., y (n) 0
Уравнение, связывающее неизвестную функцию, её аргументы
и производные, называется дифференциальным уравнением.
Порядок дифференциального уравнения – порядок старшей
производной, входящей в это уравнение.
Пример: y(4) – y + x = 0 - уравнение четвёртого порядка.
4

5.

Классификация ДУ
ДУ
Обыкновенные ДУ, т.е. ДУ,
содержащее искомую функцию
одного аргумента
F y , y
n
n 1
, y
n 2
,
, y , y, x 0
ДУ, разрешимые относительно
старшей производной
n
n 1
n 2
y F y , y , , y , y, x
ДУ, неразрешимые
относительно старшей
производной
y ln y x yx
ДУ в частных производных: ДУ,
содержащее функцию нескольких
аргументов
n
F y xi , , y xi , y x1, , xn , x1, x2 , , xn 0
ДУ первого порядка
y F y , x
ДУ высших порядков y F y , y , y, x
Линейные и нелинейные ДУ
y 3 y y x2 0
2
y y y 3x 0
5

6.

В данном курсе будут рассматриваться только обыкновенные
дифференциальные уравнения, разрешенные относительно
старшей производной, т. е. уравнения вида:
y(n)= f(x, y, y', y",…, y(n-1)).
Решение ДУ
Функция y = φ(x), x (a, b), непрерывная и n раз
дифференцируемая на (a, b), называется решением
дифференциально уравнения n-го порядка на (a, b), если
при подстановке её в уравнение вместо неизвестной
функции и её производных обращает уравнение в тождество
на указанном интервале.
График решения дифференциального уравнения называют
интегральной кривой.
6

7.

Основная задача теории ДУ:
решить ДУ, т. е. найти все его решения и описать их
свойства.
Процедура отыскания решений ДУ
(чаще всего связанная с интегрированием)
называется интегрированием ДУ.
ДУ считается решённым, если его решение сведено к
неопределённому интегралу (к квадратуре).
Универсального метода решения ДУ не существует…
7

8.

Методы решения ДУ:
• Точные (аналитические).
• Приближенные
Численные
Графические
8

9.

Пример. Найти кривую, проходящую через точку (3;1), у
которой отрезок любой ее касательной, заключенный между
осями координат, делится пополам в точке касания.
AB – касательная →
tg tg ABO y x
AOB : tg ABO
AO
BO
2y y
AOB MCB tg ABO
2x x
y
dy
y
y
x
dx
x
dy
dx
ln y ln x C yx C
y
x
Решением ДУ является функция у = 3/х.
9

10.

Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение первого порядка
имеет вид: F(x, y, y')=0,
где x − независимая переменная;
y = y(x) − искомая функция;
y' − её производная.
Иногда уравнение можно разрешить относительно y':
y' = f(x, y).
Последнее уравнение можно записать в
дифференциальной форме, заменив y' на dy/dx:
P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0.
10

11.

Например, уравнение y' = x2/y можно записать в
виде dy/dx = x2/y или x2 dx − y dy = 0.
Дифференциальное уравнение в общем случае
имеет бесконечное множество решений.
Например, решением уравнения y' = cos x является
функция y = sin x, а также функции
y = sin x+3, y = sin x − 1,5
и, в общем случае, y = sin x + С , где С − const.
11

12.

Виды решения ДУ 1 порядка
Общим решением дифференциального уравнения первого
порядка называется функция у = φ(х, С), содержащая одну
произвольную постоянную и удовлетворяющая условиям:
а) функция φ(х, С) есть решение дифференциального уравнения
при любом конкретном значении постоянной С;
б) каково бы ни было допустимое начальное условие, можно
найти такое значение постоянной С=С0, что функция у=φ(х, С0)
удовлетворяет данному начальному условию.
Частным решением дифференциального уравнения первого
порядка называется любая функция у=φ(х, С0), полученная из
общего решения у=φ(х, С) при конкретном значении постоянной
С=С0.
12

13.

С геометрической точки зрения общее решение
дифференциального уравнения есть семейство
интегральных кривых на плоскости Оху;
частное решение – одна интегральная кривая этого
семейства, проходящая через заданную точку.
13

14.

Чтобы получить конкретное решение дифференциального
уравнения, необходимо подчинить его некоторым
дополнительным условиям.
Условие, что функция у(х) должна быть равна
определенному значению у0, при х0, называется начальным
условием (НУ).
Начальное условие записывают в виде:
НУ: у(х0)= у0 или x x , или y
y.
y y
0
x x0
0
0
14

15.

Задача отыскания частного решения
дифференциального уравнения первого
порядка, удовлетворяющего данному
начальному условию, называется задачей
Коши
(Огюстен
Луи
Коши
(1789-1857)французский математик).
15

16.

Замечание 1. В процессе решения дифференциального
уравнения нередко приходят к соотношению вида
Ф(х, у, С) = 0, которое неявно определяет искомую функцию.
Такое равенство называют общим интегралом
дифференциального уравнения, а равенство
Ф(х, у, С0) = 0 называется частным интегралом уравнения.
16

17.

Теорема (существования и единственности
решения задачи Коши).
Если в уравнении y' = f(x, y)
1) функция f(x, y) и
2) её частная производная f 'y (x, y)
непрерывны в
некоторой области,
содержащей точку
(х0, у0),
то в этой области существует единственное решение у = φ(х)
этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию
у(х0) = у0.
Геометрический смысл теоремы состоит в том, что
существует единственная интегральная кривая
дифференциального уравнения, проходящая через точку (х0, у0),
если выполняется условие теоремы.
17

18.

Замечание 2. Решение дифференциального уравнения
называется особым, если в каждой его точке нарушается
единственность решения задачи Коши.
Особое решение нельзя получить из общего решения
дифференциального уравнения ни при каком значении (даже
при С = ∞).
18

19.

Пример: рассмотрим уравнение
dy
dx
1
dy
y
dx y 2 dy dx
y
2 y x C
( x + C )2
– общее решение;
y=
4
2
x
– частное решение;
y=
4
у≡0
– особое решение ДУ.
19

20.

Геометрический метод решения. Метод изоклин.
Уравнение y' = f(x, y) в каждой точке (x, y) области D, в
которой задана функция f(x, y), определяет - угловой
коэффициент касательной к решению, проходящему через
точку (x, y), т.е. направление, в котором проходит решение
через эту точку.
Говорят, что ДУ задаёт в D поле направлений. График
любого решения дифференциального уравнения
(интегральная кривая) в любой своей точке касается этого
поля, т.е. проходит в направлении, определяемом полем.
20

21.

На рис. - поле
направлений,
определяемое
уравнением , и три
интегральные кривые
(три частных
решения) этого
уравнения.
21

22.

Метод изоклин.
Для изображения поля направлений, задаваемого
дифференциальным уравнением, рассматривают
линии уровня функции f(x, y), т.е. геометрические
места точек, в которых касательные к интегральным
кривым сохраняют постоянное направление.
Такие линии называются изоклинами.
С помощью изоклин можно приближённо изобразить
интегральные кривые.
22

23.

x
y
y
Метод изоклин.
Изоклины – линии
с уравнением
x
C
y
23

24.

Ознакомьтесь с методом изоклин (видео по ссылке)
https://rutube.ru/video/c0309c4677faf258417357ada33d1080/?r=plwd
24

25.

Некоторые типы ДУ первого порядка, решаемые
аналитически
1. Уравнения с разделяющимися переменными.
2. Однородные уравнения и уравнения, сводящиеся к
ним.
3. Линейное уравнение.
4. Уравнение Бернулли.
5. Уравнение в полных дифференциалах.
6. Уравнения Рикатти.
7. Уравнения Клеро.
25

26.

I. Уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальные уравнения вида
у' = f(x)·g(y)
или dy/dx = f(x)·g(y)
называют уравнениями с разделяющимися
переменными.
Умножением на dx и делением на g(y) уравнение
приводится к виду dy/g(y) = f(x) dx (g(y)≠0)
в котором переменная y находится в одной части
равенства, а переменная x – в другой, т.е. переменные
разделены.
Интегрируя уравнение, получим
которое задаёт решение в неявном виде.
26

27.

Уравнение, записанное в виде
M(x) N(y) dx + P(x) Q(y) dy = 0,
также будет уравнением с разделяющимися
переменными.
Перенесём второе слагаемое в правую часть:
M(x) N(y) dx = −P(x) Q(y) dy,
разделим на выражение N(y)·P(x) ≠ 0 и получим
уравнение M(x) dx /P(x) = −Q(y) dy /N(y),
в котором переменные x и y разделены.
27

28.

Пример 1. Решить уравнение
dx
y dy
x
y2 1
y 1 dx xy dy
2
dx
y dy
x y2 1
1
ln x
2
ДУ
x 0 0 0 0,
d y 2 1
1
1
2
2
2
2
y 1 d y 1 y 1 C
2
2
y 1
ln x ln C
Ответ:
нашли решение
y 2 1 ln Cx
ln Cx y 1
x 0
2
y2 1
нашли общее решение
28

29.

Однородные дифференциальные уравнения
Однородное дифференциальное уравнение это
уравнение вида:
Если в функции f(x, y) сделать замену х xt, y yt и
при этом f(xt, yt) = tn f(x, y), то такая функция
называется однородной n –ого порядка.
В уравнении вида у' = f(x, y) однородность функции
f(x, y) можно определить по одинаковым порядкам
всех входящих в нее элементов.
29

30.

Пример 1.
Значит это однородное ДУ, которое преобразуется к
виду
30

31.

Пример 2.
Это не однородное ДУ.
31

32.

Пример 3.
Это неоднородное ДУ, т.к. преобразуя уравнения к
виду
получим
Значит f(x, y) − не однородная функция.
32

33.

Однородное уравнение с помощью замены у/х = t,
где t = t(x), преобразуется в уравнение с
разделяющимися переменными.
Доказательство.
Подставляем в исходное однородное уравнение
у = tх и у' = t'x + t , получим t'x + t = f(t)
или x dt /dx = f(t) − t.
Получили уравнение с разделяющимися переменными.
33

34.

Пример. Решить уравнение
x y x 2 dy y 2 dx 0.
Порядки каждого слагаемого в обеих частях равны 2,
2 dy
т.е. уравнение однородное.
xy x
y 2 0.
dx
2
y
2
2
y
dy
y (*)
x
или
f
dx x y x 2
y
x
1
x
2
2
x
y
x
dx
x x f x (**)
dy
y y2
y2
y
Решим уравнение (*), ДЗ – решить (**), сравнить
ответы.
34

35.

y2
2
y
x
y
f ,
y
x
1
x
2
t x t t
t 1
y
t(x)
x
y t x, y t x t
2
t
t x
t t
t 1
t 1
dt x t t 1 dt dx
dx
t 1
t
x
1 dt dx
1
t
x
t ln tx C
t ln t ln x C
y
ln y C
x
нашли общее решение
y =0 x=0 –
особые
решения!!!
35

36.

Замечание: при решении однородных ДУ в некоторых
случаях удобно использовать замену х/y = t.
Пример. Решить задачу Коши
36

37.

Линейные дифференциальные уравнения
это уравнение вида y'+p(x) y=q(x) (или х'+p(у) х=q(у)).
Методы решения
1. Метод вариации произвольной постоянной
Рассмотрим соответствующее однородное уравнение,
которое так же является уравнением с
разделяющимися переменными:
y'+p(x) y=0.
Его общее решение
(С−const)
Частное решение имеет вид
Подставив уч.р. в исходное уравнение, найдем
неизвестную функцию С(х).
Тогда общее решение линейного уранения: у=уо.р.+у37ч.р.

38.

2. Метод Бернулли
Решение уравнения ищем в виде y=u(x)·v(x).
Тогда y'=u'·v+ u·v'.
Подставим в исходное уравнение и сгруппируем
слагаемые в левой части: u'·v+ u·(v'+ p(x) v)=q(x).
Далее находим неизвестные функции из системы:
38

39.

Пример 1. Решить уравнение
39

40.

Пример 2. Решить задачу Коши
у(0)=0.
40

41.

Уравнение Бернулли это уравнение вида
y' + p(x) y = q(x) yn или х' + p(у) х = q(у) xn (n≠0, n≠1).
При n = 0 получаем линейное ДУ,
а при n = 1 − ДУ с разделяющимися переменными.
Метод решения − метод Бернулли
(подстановка y=u(x)·v(x) или х=u(у)·v(у)).
41

42.

Пример. Решить уравнение
42

43.

Уравнения в полных дифференциалах
имеет вид P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0.
Рассмотрим
z f ( x, y ), dz f x dx f y dy
Если смешанные производные непрерывны, то f xy f yx
Если
f x, y : df P x, y dx Q x, y dy 0 , то
df 0 f x, y C (C const )
причем P'y = Q’x – условие ДУ в полных
дифференциалах.
Тогда f x, y C (C const ) – общий интеграл ДУ.
43

44.

Пример. Решить уравнение
44