https___school.mos.ru_ej_attachments_files_229_732_088_original_%D1%83%D1%80%D0%BE%D0%BA%201%20_11%D0%B0%20%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5%20%D0%BE%D0%B6%D0%B8%

1. Математическое ожидание случайной величины

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
ОЖИДАНИЕ СЛУЧАЙНОЙ
ВЕЛИЧИНЫ

2. Повторение

ПОВТОРЕНИЕ
В таблице
случайной
Найдите ее.
дано распределение вероятностей некоторой
величины. Одна из вероятностей неизвестна.
Значение Х
1
2
3
Вероятность
1/9
1/3
1/6
4
5
6
1/4
1/8

3.

Пример 1
Для проведения лотереи изготовили 100 билетов.
Из них 1 билет с выигрышем в 500 р.,
10 билетов с выигрышем по 100 р.
и остальные 89 билетов без выигрыша.
Какой средний выигрыш соответствует 1 билету?
Выигрыш является случайной величиной Х, которая может принимать значение 0;100; 500, с
вероятностью 0,89; 0,1 и 0,01.
Выигрыш, Х
0
100
500
Вероятность
выигрыша, р
0,89
0,1
0,01
(0·89+10·100+1·500):100 = 0·0,89+100·0,1+500·0,01=15.
15 руб – это среднее значение случайной величины.
Оно и называется математическим ожиданием случайной величины.

4. Математическое ожидание

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ
Рассмотрим случайную величину Х и ее распределение
Значение Х
х1
х2
х3
…
хn
Вероятность
p1
p2
p3
…
pn
Если мы умножим значения случайной величины на их вероятности и сложим эти
произведения, то получим некоторое среднее значение случайной величины.
Это среднее называют математическим ожиданием.
Обозначается математическое ожидание случайной величины Х, как ЕХ или Е(Х).
Математическое ожидание
случайной величины – это сумма
произведений значений этой величины и их вероятностей
ЕХ = х₁·р₁ + х₂·р₂ + х₃·р₃ + … + xₙ·pₙ
Говоря простым языком это «среднее значение» принимаемой
случайной величины

5. ТЕОРЕМА

Среднее арифметическое значений, принимаемых
случайной величиной в
длинной серии опытов, приближенно равно ее
математическому ожиданию.

6. Физический смысл математического ожидания

ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ
Смысл
математического
ожидания
можно
проиллюстрировать с помощью диаграммы распределения
вероятностей случайной величины.
Если представить, что диаграмма вырезана из листа
картона или металла, то математическое ожидание – точка, в
которую проектируется центр масс диаграммы
На рисунке показано распределение некоторой случайной
величины Х. Ее математическое ожидание равно 5,09. Если
«подставить» под точку с абсциссой 5,09 опору, то диаграмма
будет находиться в равновесии.
Математическое ожидание случайной величины –
теоретический аналог среднего арифметического набора
массива данных

7.

СВОЙСТВА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ
Математическое ожидание от постоянной величины равно этой постоянной величине:
ЕC=C, C=const
Математическое ожидание суммы случайных величин Х и У равно сумме математических
ожиданий этих величин: Е(X+Y)=ЕX+ЕY
Постоянную величину можно выносить за знак математического ожидания:
Е(с·X)=с·ЕX, где с=cоnst.
Математическое ожидание произведения независимых случайных величин Х и Y равно
произведению математических ожиданий этих величин: М(XY)=MX MY

8. Пример

ПРИМЕР
Пусть случайная величина Х равна числу очков, выпавших на одной игральной
кости. Вероятности выпадения каждой грани одинаковы и равны 1/6. Найдем
математическое ожидание «количество очков при одном броске»
ЕХ = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 =(1+2+3+4+5+6)/6 = 7/2 = 3,5
Что нам это дает?
То, что кидая кость много (например 100) раз, в среднем каждый раз будет
выпадать 3,5, а в сумме выпадет примерно 100*3,5=350.

9.

Решаем сами:
Лотерея. В лотерее должны быть большие выигрыши для того, чтобы она была
привлекательной, поэтому определим, что 1% билетов с выигрышем в 2000 р.,
Выигрышных билетов должно быть немало. Пусть 10% билетов с выигрышем по 200 р.
Участник лотереи случайным образом выбирает один билет. Найдем математическое
ожидание случайной величины Х «выигрыш участника»

10.

Выигрыш, Х
0
200
200
Вероятность
выигрыша, р
0,89
0,1
0,01
Математическое ожидание выигрыша равно
ЕХ= 0·0,89+200·0,1+2000·0,01 = 40(р.)
Чтобы лотерея приносила доход, цена билета должна быть больше, чем средний выигрыш.
Если назначить цену билета 50 р., то средний доход от продажи одного билета будет равен
50-40=10 (р.)
Так устроены все лотереи: математическое ожидание выигрыша на
один билет меньше цены билета.
Это условие является непременным, оно обеспечивает доход организаторам лотереи.
Человек, который решил сыграть в лотерею, должен это понимать. Никакие стратегии,
которые якобы позволяют выиграть в лотерею, на самом деле не работают- математическое
ожидание выигрыша меньше цены билета.

11. Вывод:

1.
Математическое ожидание приближенно равно среднему
значению , с тем большей точностью, чем больше число
измерений. Поэтому математическое ожидание называют
просто средним значением случайной величины.
2. Математическое ожидание случайной величины всегда
определяется однозначно и уже не является величиной
случайной.
3. Математическое ожидание позволяет определить
валидность кредитов, вкладов, прибыли, т.е. имеет прямое
применение в расчетах, связанными с
экономическими вопросами.

12.

13. Историческая справка

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА
Термин
«математическое ожидание»
введён Пьером Симоном
маркизом де Лапласом (1795)
и произошёл от понятия
« ожидаемого значения выигрыша», впервые
появившегося в 17 веке в теории азартных игр в
трудах Блеза Паскаля и Христиана Гюйгенса.

14. Домашняя работа

ДОМАШНЯЯ РАБОТА
+ составьте свою задачу,
оформите и решите ее