Случайная величина. Закон распределения, числовые характеристики случайной величины

1. Случайная величина. Закон распределения, числовые характеристики случайной величины

2.

O В каждой естественной науке
заключено столько истины,
сколько в ней есть математики.
O (И. Кант)
O Почему-то все верят в чудеса, а
не в теорию вероятности

3. Случайная величина. Закон распределения, числовые характеристики случайной величины

4.

5. Понятие случайной величины. Дискретная и непрерывная случайная величина

O Случайной называется переменная
величина, которая может принимать те
или иные значения в зависимости от
случая.
O Случайные величины принято
обозначать заглавными буквами
латинского алфавита- X, Y, Z, а их
значения – соответствующими
строчными буквами.

6. Пример 1. В вашей группе 17 человек. Пусть величина Х – число студентов, находящихся в аудитории перед началом занятий. Ее

Пример 1. В вашей группе 17 человек.
Пусть величина Х – число студентов,
находящихся в аудитории перед началом
занятий. Ее возможными значениями
будут числа 0, 1, 2,…,17.
O При каждом испытании (начало занятий)
величина Х обязательно примет одно из своих
возможных значений, т.е. наступит одно из
событий Х = 0, Х = 1, …, Х = 17.

7. Пример 2. Изменение курса валют.

Пример 2. Изменение курса валют.
O Возможные события заключаются в
том, что стоимость валюты примет
некоторое значение в пределах от
57 до 62 рублей.

8. Пример 3. Однократное бросание игральной кости.

Пример 3. Однократное бросание
игральной кости.
O Возможные события
заключаются в том, что на
верхней грани выпадает
Х: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

9. Пример 4. Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия

O Случайная величина (зависит от установки
прицела, силы и направления ветра,
температуры и других факторов), а
возможные значения этой величины
принадлежат некоторому промежутку (a; b).

10.

O Дискретная случайная величина –
случайная величина, которая принимает
отдельные, изолированные возможные
значения с определенными вероятностями.
O Непрерывная случайная величина –
случайная величина, которая может
принимать все значения из некоторого
конечного или бесконечного промежутка.

11. Определить вид случайной величины

O Время безаварийной работы прокатного
стана.
O Расход горючего на единицу расстояния.
O Число студентов в группе.
O Бросаем игральную кость один раз? Два
раза? n раз?
O Количество осадков, выпавших в сутки.
O Выстрел по мишени.
O Измерение температуры больного при
обследовании.

12.

O Сформулируйте
определение случайной
величины.
O Назовите виды случайных
величин.
O В чем состоит отличие
дискретной случайной
величины от непрерывной.

13. Рассмотрим пример с дискретной случайной величиной:

O В денежной лотерее выпущено 100
билетов.
O Разыгрывается один выигрыш в 50
рублей и десять выигрышей по 1
рублю.
O Найти вероятности возможного
выигрыша для владельца одного
лотерейного билета.

14. Физическое описание объекта моделирования:

O владелец одного лотерейного билета
может
O либо выиграть 50 рублей,
O либо выиграть 1 рубль
O остаться вообще без выигрыша.

15. Составим математическое описание объекта моделирования:

O зададим случайную величину Х – стоимость
возможного выигрыша для владельца одного
лотерейного билета.
O Запишем возможные значения случайной
величины X: x1=50, x2=1, x3=0.
O Вычислим вероятность возможных значений
случайной величины Х:
p 1=
p 2=
p3=1-0,01-0,1=0,89
,

16. Выберем метод решения математического описания:

O Можно составить таблицу соответствий
значений случайной величины и их
вероятностей:
X 0
1
50
P 0,89 0,1 0,01
O Графически решение данной задачи будет
иметь вид:

17.

O Соответствие между возможными
значениями дискретной случайной
величины и их вероятностями
называют законом распределения
дискретной случайной величины.

18.

19. Контрольные вопросы.

O 1.Что называют законом
распределения дискретной случайной
величины?
O 2.Какими способами можно задать
закон распределения дискретной
случайной величины?
O 3.Что называют рядом распределения
дискретной случайной величины?

20. Числовые характеристики случайной величины

O Если закон распределения случайной
величины Х имеет вид:
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
O то математическим ожиданием (или
средним значением)дискретной
величины Х называется число:
М (X) = х1р1 + х2р2 + … + xnpn.

21.

O Математическим
ожиданием дискретной
случайной величины
называют сумму
произведений всех ее
возможных значений на их
вероятности

22.

O Отклонением X—М(Х) называют
разность между случайной величиной и
ее математическим ожиданиям.
O Дисперсией (рассеянием) дискретной
случайной величины называют
математическое ожидание квадрата
отклонения случайной величины от ее
математического ожидания:
O D(X) = M[X — M(X)]2

23. Задача.

O В партии из 100 штук изделий
прокатной продукции имеется 90
стандартных изделий. Наудачу
выбирают 3 изделия. Вычислить
вероятности того, что:
O Все изделия стандартные
O Одно изделие бракованное
O Два изделия бракованные
O Все три - бракованные

24.

Решение:
Всевозможные варианты выбора 3 изделий из 100:
1) Все изделия стандартные
Возможные варианты
,
Вероятность события
2) Одно изделие бракованное
Возможные варианты
,
Вероятность события
3) Два изделия - бракованные
Возможные варианты
,
Вероятность события
4) Все три - бракованные
Возможные варианты
Вероятность события
,

25.

На основе найденных данных, составляем ряд распределения случайной
величины. Случайная величина Х - количество стандартных изделий
Решение
Х
0
1
2
3
Сумма
Р
0,00074
0,025
0,248
0,727
1
Математическое ожидание:
М(Х) = 0*0,00074+1*0,025+2*0,248+3*0,727= 2,7 – среднее
количества стандартных изделий из трех выбранных из ста.
значение
Дисперсия:
D(X) = M[X — M(X)]2= (2,7 - 0)2*0,00074 + (2,7 - 1)2*0,025 + (2,7 - 2)2*0,248 +
(2,7 - 3)2*0,727 = 0,0054 + 0,072 + 0,12 + 0,065 = 0,26 – разброс количества
стандартных деталей.

26. Поставить в соответствие элементы левого и правого столбиков

27. Домашнее задание

O Задача 1. Случайная величина X принимает
значения 0; 1; 2; 3. Известно, что вероятности
равны. Написать ряд распределения
дискретной случайной величины X.
O Задача 2. В партии деталей 10%
нестандартных. Наудачу отобраны две детали.
Написать ряд распределения дискретной
случайной величины Z- числа стандартных
деталей среди отобранных, найти
математическое ожидание и дисперсию.