АГиТДУ Лекция 3 Линейные операторы

1.

АГиТДУ
Линейная алгебра
Лекция 3 Линейные операторы.
Лектор курса
Поторочина К.С.
Доцент ДИТиА, ИРИТ-РТФ

2.

Линейный оператор (ЛО)
Пусть X и Y – два линейных пространства над числовым полем P .
Определение. Оператором Â , действующим из X в Y называется отображение,
сопоставляющее каждому элементу x X некоторый элемент y Y .
ˆ (скобки иногда опускают).
Обозначение: y Aˆ x или y Ax
Элемент y называют образом элемента x , а x – прообразом элемента y .

3.

Определение ЛО
Определение линейного оператора. Оператор Aˆ : X Y называется линейным, если выполнены
условия:
10. x1, x2 X
ˆ Ax
ˆ (свойство аддитивности);
Aˆ x1 x2 Ax
1
2
20. x X P
ˆ (свойство однородности).
Aˆ x Ax
Условия 10 – 20 в определении называются линейными.
Замечание. Часто будет рассматриваться случай: Aˆ : X X , т.е. оператор Â переводит элементы линейного пространства X в элементы этого же пространства.
Такой оператор еще называется линейным преобразованием пространства X .

4.

Примеры ЛО
1. Если X C 1a ,b – линейное пространство функций, непрерывно дифференцируемых
на a, b , то оператор дифференцирования D̂ отображает X в Y C a ,b .
Пусть f1, f 2 C 1a , b , R .
Тогда
ˆ Df
ˆ ,
1) Dˆ f1 f 2 f1 x f 2 x f1 x f 2 x Df
1
2
2) f C 1a , b R
D f f x f x Df .
2. Тождественный оператор Ê : Ê x x .
3. Aˆ : R 2 R 2 – оператор поворота плоскости вокруг неподвижной точки O (начало координат) на
угол .

5.

Матрица ЛО
Пусть в n-мерном линейном пространстве Ln с Б = e1,
, en задано линейное преобразование Â .
Тогда векторы Aˆ e1 , Aˆ e2 ,..., Aˆ en также являются векторами этого пространства и их можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов:
Aˆ e1 a11e1 a21e2 ... an1en
Aˆ e2 a12e1 a22e2 ... an 2en
..................
ˆ
A en a1ne1 a2 ne2 ... annen
или
n
Aˆ ei a ji e j .
j 1
Располагая коэффициенты разложения по столбцам, получим матрицу линейного оператора в дан-
a11 a12
a
21 a22
ном базисе: A
... ...
an1 an 2
... a1n
... a2n
aij .
... ...
... ann

6.

Координаты образа Y при действии ЛО
Зная матрицу линейного оператора в данном базисе, можно найти координаты образа произвольного вектора x :
x1
x
если в данном базисе вектору x соответствует столбец координат X 2 ,
...
xn
y1
y
а вектору y Aˆ x – столбец Y 2 .
...
yn

7.

Координаты образа Y ЛО
n
Если в пространстве Ln взять вектор x xi ei и подействовать на него оператором Â , получим
i 1
n n
n
n ˆ
ˆ
ˆ
y A x A xi ei xi Aei xi a ji e j .
i 1
i 1
i 1 j 1
Выпишем координаты вектора y Aˆ x :
y1 a11x1 a12 x2 ... a1n xn
y a x a x ... a x
2
21 1
22 2
2n n
...................
yn an1x1 an 2 x2 ... ann xn
или в матричной записи Y AX .

8.

Матрица ЛО
Замечания.
1. Любому линейному преобразованию в данном базисе конечномерного линейного пространства
соответствует квадратная матрица, и наоборот.
базисы e1,
2. Пусть Aˆ : Ln Lm . Зафиксируем в пространствах Ln и Lm
a11 a12
a
a22
21
ветственно. Тогда матрица линейного оператора имеет вид A
am1 am 2
n
где Aˆ ei a ji i .
j 1
, en и 1, , m соотa1n
a2n
aij ,
amn

9.

Связь матриц ЛО при изменении базиса
Теорема.
Б e1 ,
Пусть оператор Aˆ : Ln Ln имеет в базисе Б e1,
, en матрицу A , а в базисе
, en – матрицу A .
Пусть T TБ Б – матрица перехода от базиса Б к базису Б’.
Тогда
A T 1 AT .
Доказательство. Пусть вектору x в базисах Б и Б соответствуют столбцы координат X и X ,
а вектору y Aˆ x – столбцы Y и Y .
(2)

10.

Связь матриц ЛО при изменении базиса
ˆ L имеем:
Тогда для произвольного элемента x Ln и его образа y Ax
n
x e1, , en X , x e1 , , en X ,
y e1, , en Y , y e1 , , en Y .
Воспользуемся формулами преобразования координат вектора при переходе от одного базиса
1
к другому базису: X TБ Б X , Y TБ
Б Y .
Выразим матрицу A через матрицы A и T .
Для этого преобразуем формулу Y T 1Y , учитывая, что Y AX :
Y T 1 AX T 1 ATX .
С другой стороны имеем Y A X .
Сравнивая правые части равенств, получим A T 1 AT .
Теорема доказана.

11.

Связь матриц ЛО при изменении базиса
Следствие 1. Если оператору Â в некотором базисе соответствует невырожденная матрица,
то и в любом другом базисе матрица оператора будет невырожденной.
Следствие 2. Определитель матрицы оператора не зависит от базиса, т.е. инвариантен.
Действительно, det A A T 1 AT T 1 A T
1
A T A.
T
При доказательстве мы воспользовались свойством определителей обратных матриц:
T
1
1
.
T

12.

Некоторые виды линейных преобразований
1. Оператор подобия (гомотетия) действует следующим образом:
 x x ,
т.е. каждый вектор пространства «растягивает» в раз.

13.

Некоторые виды линейных преобразований
2. Оператор проецирования векторов пространства R3 на прямую l .
Из курса аналитической геометрии известно, что любая прямая в пространстве однозначно
определяется некоторой точкой и направляющим вектором l . Спроецируем произвольный вектор
x на прямую l (рис.1), тогда Пˆ x AB пр x l0 ,
x
l
B
П̂ x
A
l
Рис.1
где прl x –алгебраическая проекция вектора x на направление
вектора l , l0 – единичный вектор направления l .

14.

Некоторые виды линейных преобразований
Из векторной алгебры известны следующие формулы:
x, l
l
пр x
, l .
l
l
0
l
Тогда Пˆ x пр x l0
l
x, l l x, l l
.
2
l
l
l
Итак, оператор проецирования векторов пространства R3 на прямую l действует по правилу:
Пˆ x пр x l0
l
x, l l
l
2
.

15.

Некоторые виды линейных преобразований
3. Оператор проецирования векторов пространства R3 на плоскость .
n
C
x
B
A
Из общего уравнения плоскости найдем вектор
n . Спроецируем произвольный вектор x на плоскость
, тогда
П̂ x AB AC CB x CB .
Рис.2
Найдем вектор CB : CB пр x n0 , где n0
n
– единичный вектор направления n . Тогда
Пˆ x x пр n x n0 .
n
n

16.

Пример

17.

Алгебра линейных операторов
Пусть Aˆ : Ln Ln и Bˆ : Ln Ln – линейные операторы, действующие в ЛП Ln ,
x – произвольный вектор из Ln .
1. Равенство операторов
Определение. Aˆ Bˆ
ˆ Bx
ˆ .
x Ln Ax
Замечание. Рассмотрим Б e1,
, en – фиксированный базис в Ln ,
A и B – матрицы линейных операторов в соответствующем базисе,
X – столбец координат произвольного вектора x в базисе Б .
Из
определения
равенства
линейных
операторов
следует,
ˆ Bx
ˆ AX BX . В силу произвольности элемента x имеем A B .
Aˆ Bˆ x Ln Ax
Итак, при фиксированном базисе равным операторам соответствуют равные матрицы.
что