Лекция_22

1.

X F (t; X )
Теорема Коши.
X (t0 ) X 0
fi ( x1; ; xn )
(7)
0 n
i i 1
X0 x
(8)
k0
(i )
0 k1
0 k2
0 kn
(9)
a
(
t
t
)
(
x
x
)
(
x
x
)
(
x
x
k1k2 kn 0 1 1 2 2
n
n)
k 0 k1k 2 k n 0
t t0 ; xi xi0 r ;
i 1; ; n;
0; r 0
0
(i )
s
x
(
t
)
x
c
(
t
t
)
⇒ ∃! i
s
i
0
t t0 1 ;
(10)
0 rˆ r ;
M 0
s 1
rˆ
1 ˆ 1 exp
M ˆ (n 1)
0 ˆ ;

2.

k 0 k1 k 2
(1)
x f1 (t ; x; y ) ak0 k1k2 t x y
k 0 k1k 2 0
k 0 k1 k 2
( 2)
y f (t ; x; y )
ak0 k1k2 t x y
2
k 0 k1k 2 0
t ; x r; y r
x(0) y (0) 0
x(t ) c t ;
s 1
(11)
(1) s
s
y (t ) c t
s 1
( 2) s
s
(12)
Свободные члены рядов (12) нулевые в силу нулевых начальных
условий).

3.

sc t
s 1
(1) s 1
s
a
k1
(1) s
( 2) s
t cs t cs t
s 1
s 1
k2
k0
(1)
k 0 k1 k 2
k 0 k1 k 2 0
(13)
sc t
s 1
( 2 ) s 1
s
a
(1) s
( 2) s
t cs t cs t
s 1
s 1
k0
( 2)
k 0 k1 k 2
k 0 k1k 2 0
(1)
1
a ;
c
(1)
000
k1
( 2)
1
c
a ;
( 2)
000
k2

4.

(1)
(1) (1)
(1) ( 2 )
(1)
(1) (1)
(1) ( 2 )
2c2(1) a100
a010
c1 a001
c1 a100
a010
a000 a001
a000;
( 2)
2
2c
a
( 2)
100
a c
( 2 ) (1)
010 1
(1)
s
c
a c
( 2) ( 2)
001 1
Q (a
(1)
s
a
(1)
k 0 k1k 2
( 2)
100
a a
( 2)
k 0 k1k 2
;a
( 2 ) (1)
010 000
a a ;
( 2) ( 2)
001 000
);
(14)
( 2)
s
c
Q (a
( 2)
s
(1)
k 0 k1k 2
( 2)
k 0 k1k 2
;a
k0 k1 k2 s 1
)

5.

X
M
;
t
X Y
1 1 1
rˆ
rˆ
ˆ
(15)
Y
M
t
X Y
1 1 1
rˆ
rˆ
ˆ
X (0) Y (0) 0 ⇒ X (t ) Y (t )
0 ˆ ;
0 rˆ r ;

6.

M
M
k0
k1 k 2
t X Y ;
k 0 ( k1 k 2 )
t
X Y k 0 k1k 2 0 ˆ rˆ
1 1 1
(16)
rˆ
rˆ
ˆ
t ˆ ; x rˆ; y rˆ
M
a
k 0 ( k1 k 2 ) ;
ˆ rˆ
M
( 2)
ak 0 k1k 2 k 0 ( k1 k 2 ) .
ˆ rˆ
(1)
k 0 k1 k 2
(17)

7.

Найдём теперь решение системы (15) с нулевым начальным условием методом
неопределённых коэффициентов, т.е. в виде ряда
X (t ) Y (t ) c s t .
s
(18)
s 1
Для этого подставим ряд (18) в систему (15), учитывая при этом разложение
(16) и то что
sc t
s 1
s
s 1
X (t ) Y (t )
k1
M
k0
s
s
k0 ( k1 k2 ) t cst cst
ˆ rˆ
k0 k1k 2 0
s 1
s 1
k2
(19)

8.

(19)
sc t
s 1
s 1
s
sc t
s 1
(13)
(1) s 1
s
sc t
s 1
k1
k1
k1
M
k0
s
s
k0 ( k1 k2 ) t cst cst
ˆ rˆ
k0 k1k 2 0
s 1
s 1
( 2 ) s 1
s
a
k2
(1) s
( 2) s
t cs t cs t
s 1
s 1
k2
k0
(1)
k 0 k1 k 2
k 0 k1 k 2 0
a
(1) s
( 2) s
t cs t cs t
s 1
s 1
k0
( 2)
k 0 k1 k 2
k 0 k1k 2 0
k2

9.

M
M
M
M
( 2)
cs Q k 0 ( k1 k 2 ) ; k 0 ( k1 k 2 ) Qs k 0 ( k1 k 2 ) ; k 0 ( k1 k 2 )
ˆ rˆ
ˆ rˆ
ˆ rˆ
ˆ rˆ
(20)
(1)
s
(1)
s
Q (a
( 2)
s
Q (a
c
c
(1)
k 0 k1 k 2
a
(1)
s
( 2)
s
(1)
k 0 k1k 2
c
cs
;a
(1)
k 0 k1k 2
M
k 0 ( k1 k 2 ) ;
ˆ rˆ
(1)
s
( 2)
k 0 k1k 2
( 2)
k 0 k1k 2
;a
( 2)
k 0 k1 k 2
a
c
(1)
s
);
cs
(14)
)
M
k 0 ( k1 k 2 ) .
ˆ rˆ
(17)
s 1;2;
(21)

10.

X
(15)
⟺
M
t
X
1 1
rˆ
ˆ
2
(22)
X (0) 0
ˆ
3
M
t
X (t ) rˆ 1 3 1
ln 1
ˆ
ˆ
r