3сем_11лек_ФНП

1.

Первое высшее техническое учебное заведение России
Санкт-Петербургский горный университет императрицы Екатерины II
Кафедра высшей математики
Функции нескольких переменных (ФНП). Предел и
непрерывность функции нескольких переменных.
Поверхности второго порядка
МАКСИМОВА Т.С., к.п.н., доцент кафедры высшей математики
г. Санкт-Петербург
2024

2.

Цели лекции:
1. Дать основные определения, относящиеся к ФНП.
2. Дать определение предела функции двух переменных,
функции непрерывной в точке и в области, точек разрыва.
Рассмотреть свойства непрерывных функций.
3. Рассмотреть поверхности второго порядка. Исследовать
их форму методом параллельных сечений.

3.

ФНП: область определения, множество значений,
график.
Определение. Функцией 2- х переменных х и у называется
закон, который каждой паре чисел (х;у)∈D на плоскости Оху
ставит в соответствие единственное число z∈E, при условии,
что каждое число z соответствует хотя бы одной паре (х;у).
Функциональная зависимость обозначается: z f ( x, y) или
z f (P) , где P( x; y ) D, D Oxy .
Множество значений зависимой переменной z называют
множеством значений функции и обозначают Е.
Примеры.
3)
V ( R, H ) R 2 H ,
z x 2 y,
D : x 0, y 0.

4.

Графиком функции z f ( x, y ) , заданной в области
D,
называется
множество
точек
P(x;y;z)
трехмерного
пространства, для которых (х; у) D и z f ( x, y ) .
График функции двух переменных –
поверхность в трехмерном пространстве.
Пример. График функции z cos(xy ).
это некоторая

5.

Пример. Найти область определения и множество значений
1
функции z
.
ху
х 0
х 0
D:
или .
y 0
y 0
Все точки, которые расположены в 1 и 3 координатной
четвертях, за исключением точек, лежащих на осях.
Е: z>0.

6.

Предел и непрерывность функции
нескольких переменных
Определение. - окрестностью точки P0 x0 ; y0 называется
множество точек, принадлежащих внутренности круга радиуса
с центром в этой точке.
Любая точка P( x; y ) , принадлежащая
- окрестности точки P0 x0 , y0 ,
находится от этой точки на расстоянии
РР0
x x0 y y0 .
2
2

7.

Определение. Число b называется пределом функции двух
переменных z f ( x, y ) в точке P0 , если для любого числа 0
найдется такая - окрестность точки P0 ( x0 , y0 ) , что для любой
точки P( x, y) из этой окрестности (кроме возможно самой точки
f ( P) b . Предел функции
P0 ) выполняется неравенство
обозначается так:
lim f ( P ) b или lim f ( x, y ) b.
P P0
x x0
y y0
Функция двух переменных называется бесконечно малой в
точке P0 , если ее предел в этой точке равен нулю.
Если число b есть предел функции z f (P) в точке P0 , то
разность f ( P) b является бесконечно малой функцией.

8.

Справедливы утверждения: если функции f (M ) и g (M )
определены в области D и имеют в точке M 0 пределы A и
B , соответственно, то и функции f ( M ) g ( M ) , f (M ) g (M ) ,
f (M )
g (M )
( g ( M ) 0 ) имеют в точке M 0 пределы, которые, соответственно,
A
равны A B, A B, ( B 0) .
B
Пример. Найти
x2 y 2
lim
.
x 1 3 xy 1
y 1
x2 y 2
z
- бесконечно малая функция в точке Р0(1;1).
3xy 1

9.

Определение. Функция нескольких переменных u f (P)
называется непрерывной в точке P0 , если функция f (P)
определена в точке P0 и в некоторой ее окрестности и имеет
f ( P ) f P0 ( lim f 0 ).
место равенство: Plim
P0
х 0
у 0
Функция u f (P) непрерывна в области D , если она
непрерывна в каждой точке этой области.
Если функции нескольких переменных f1 ( P ) и f 2 ( P) непрерывны
в точке P0 , то их сумма, произведение и частное, т.е. функции
f1 ( P) f 2 ( P) , f1 ( P ) f 2 ( P ) и f1 ( P ) / f 2 ( P ) при f 2 ( P0 ) 0 , также непрерывны
в точке P0 .

10.

Если функция u f (P) непрерывна
замкнутой области D , то она:
в
ограниченной
- ограничена в этой области f ( P) N ;
- достигает наибольшего M и наименьшего m значений в
этой области;
- принимает хотя бы в одной точке области любое
промежуточное значение между m и M .

11.

Определение. Точка P0 называется точкой разрыва функции
f ( P ) f P0 .
f (P) , если не выполняется равенство Plim
P
0
Пример.
Исследовать
непрерывность.
z определена и непрерывна
во всех точках плоскости
Оху за исключением
начала координат P0 (0; 0) ,
где знаменатель
обращается в нуль.
P0 (0; 0) - точка разрыва.
функцию
z 1 /( x y )
2
2
на

12.

Эллипсоид
Эллипсоид: поверхность в трехмерном пространстве,
каноническое уравнение которой имеет вид:
x2 y 2 z 2
2 2 = 1,
2
a
b
c
a, b, c > 0.
Метод параллельных сечений
2
2
2
x
y
z
2 = 1 2
2
a
b
c
x2 y 2
z 0, 2 2 = 1
a
b
2
z a, b
x
2
z
a 1 2
c
2
y
2
2
z
b 1 2
c
2
=1
2
2
x
y
z c, 2 2 = 0 x 0, y 0
a
b

13.

Z
c
b
a
0
b
Y
a
c
X
2
2
y z
x 0 2 2 =1
b c
При
эллипсоид является сферой
x y z =r .
2
2
x z
y 0 2 2 =1
a c
a b c r,
2
2
2
2

14.

Однополостный гиперболоид
2
2
2
2
x
y
z
2 2 = 1,
2
a
b
c
a, b, c > 0.
2
x
y
z
2 = 1 2
2
a
b
c
x2
Z
z2
a 1 2
c
2
0
a
X
b
Y
2
2
2
y2
z2
b 1 2
c
x
y
z 0, 2 2 = 1
a
b
2
=1
z a, b
y2
z2
x 0 2 2 =1
b
c
2
2
x
z
y 0 2 2 =1
a
c

15.

Двуполостный гиперболоид
2
2
2
x
y
z
2 2 = 1,
2
a
b
c
a, b, c > 0.
x2
z2
a 2 1
c
Z
2
2
z2
b 2 1
c
x
y
z c, 2 2 = 0
a
b
c
Y
0
2
y2
c
2
=1
z a, b
z2
y2
x 0 2 2 =1
c
b
X
z2
x2
y 0 2 2 =1
c
a

16.

Гиперболический параболоид
2
2
x
y 0 2 = z
a
2
y
x 0 2 = z
b
2
2
y
c
x c 2 = ( z 2 )
b
a
2
x
y
2 = z,
2
a
b
a, b > 0.
Z
Y
0
X
2
2
2
2
x
y
z c1 0 2 2 = c1
a
b
y
x
z c2 0 2 2 = c2
b
a

17.

Эллиптический параболоид
x2
2
2
x
y
2 = z,
2
a
b
a, b > 0.
a z
2
y2
(b z ) 2
z 0, z a, b
Z
2
y
x 0, 2 = z
b
2
0
X
1
Y
x
y 0, 2 = z
a

18.

Коническая поверхность
Эллиптический конус
x
2
a2
y
2
b2
z
2
c2
0,
a, b, c > 0.
2
x
2
a
2
y
2
b
2
z
2
c
Z
x
0
X
Y
2
az
c
2
y
2
bz
c
2
=1
2
2
z2
x2
z
y
c
x 0 2 2 =0 z y
b
c
b
cx
y 0
0 z
a
c2 a2

19.

Цилиндрические поверхности.
Эллиптический цилиндр
2
2
x
y
2 =1
2
a
b
Z
Y
0
X

20.

Гиперболический цилиндр
x2
a2
y2
b2
Z
0
Y
=1
X

21.

Параболический цилиндр
2
y = 2 px
Z
0
X
Y

22.

Спасибо за внимание
Доцент, к.п.н.
Максимова Татьяна Сергеевна
Санкт-Петербургский горный
университет
императрицы Екатерины II,
199106, г. Санкт-Петербург,
Малый пр. В.О., д. 83
Тел.: +7(812) 328-82-98;
E-mail: Maksimova_TS@pers.spmi.ru