Lecture_3

1.

Лекция 3. Нелинейно-оптические эффекты
в среде с кубичной нелинейностью
3.1. Фазовая самомодуляция регулярных импульсов
3.2. Оптический компрессор
3.3. Самофокусировка лазерных импульсов

2.

3.1. Фазовая самомодуляция регулярных импульсов
Среда с кубичной нелинейностью.
В разложении нелинейной поляризации среды формируется нелинейный дипольный момент
единицы объема PN, в котором учитывается член, кубичный по полю.
В общем виде
PN(3) ˆ (3) (t1 , t2 t1 , t3 t2 t1 ) E(t t1 ) E(t t1 t2 ) E(t t1 t2 t3 )dt1dt2 dt3
ˆ (t1 , t2 , t3 ) - трехвременная функция нелинейного отклика
(3)
(1)
(2)
Приближение плоской квазимонохроматичной волны
1
E ( z, t ) A(t , z )ei ( t kz )
2
(3)
Уравнение нестационарной нелинейной оптики
2 E 1 2 E 4 2 P L 4 2 P (3)
2 2 2
2
2
2
z
c t
c t
c t 2
(4)
2

3.

Рассмотрим P(3) в виде
1 (3)
P ( , t , z ) p (t )ei ( t kz ) к.с.
2
(3)
(5)
Введем в рассмотрение малый параметр
N
N
0
1
- параметр нелинейного отклика
Тогда функцию отклика можно представить
ˆ (3) (t1 , t2 , t3 ) ˆ (3) ( ) (t1 ) (t2 ) (t3 )
(6)
Приближение мгновенного отклика
p
Тогда
Если μN; μ << 1, то
T
0
(3)
3 (3)
2
( ) A(t ) A(t )
4
- параметр волновой нестационарности
p(3) 2 p(3)
(7)
3

4.

Приближение слабой волновой нестационарности
Вводится в рассмотрение диэлектрическая проницаемость и показатель преломления
n n n0 n2 A 1 4 3
2
2
0
2
(1)
n2 (3 n0 ) (3)
(3)
A
2
(8)
(9)
Из (4) в первом приближении теории дисперсии
dk
k k0
( 0 )
d
(10)
получим уравнение для комплексной амплитуды А
A 1 A
2
i 1 A A 0
z u t
4

5.

Мы начнем с рассмотрения простейшей задачи о квазистатическом самовоздействии плоского
волнового пакета. В первом приближении линейной теории дисперсии этот процесс описывается
уравнением
A 1 A
2
(11)
i 1 A A 0,
z u t
где
1 3 (3)k0 / 2n02 k0n2 / 2n0
(12)
- нелинейный коэффициент. Уравнение (11) является приближенным в отношении учета
нелинейности среды, поскольку при его получении использовано нулевое приближение по волновой
нестационарности. Решение (11) в бегущей системе координат (η = t – z / u)
A( , z ) A0 ( ) exp( i 1 A0 z )
2
(13)
или, для действительной амплитуды ρ (η, z) и фазы φ (η, z)
( , z) A0 ( ), ( , z) 1I0 ( ) z,
где считаем
(14)
0 ( ) 0, 1 k0n2 .
Из (14) видно, что огибающая импульса распространяется с групповой скоростью u и остается
неизменной. Напротив, фаза импульса меняется пропорционально пройденному расстоянию и
интенсивности, возникает фазовая самомодуляция (ФСМ)
5

6.

Форма гауссовского импульса (а), приведенные фаза Ф = / max (б), девиация частоты
(t ) (t ) / 0
(в) и скорость изменения частоты (t , z ) (t , z ) / (0, z )
(г) в зависимости от времени / 0 ; 0 2 max / 0 , (0, z ) 2 max 0
2
6

7.

Изменение частоты импульса за счет самовоздействия
(t ) / t 1z I 0 ( ) /
(15)
Рассмотрим связанное с ФСМ изменение спектра гауссовского импульса. Введем максимальный
фазовый сдвиг
max max 1 I 0 (0) z
t
и нелинейную длину ФСМ - дистанцию, на которой φmax = 1,
Lф ( 1 I 0 ) 1.
С ростом φmax диапазон изменения частоты (t) (15) увеличивается.
7

8.

Вид уширенного спектра гауссовского импульса, рассчитанного для большого значения φmax ,
приведен на рисунке. Полное число максимумов в спектре равно целой части от max /
Спектр гауссовского импульса, испытавшего фазовую самомодуляцию, для φmax >> 1
Если отвлечься от тонкой структуры уширенного спектра, то для его среднеквадратичной ширины
можно получить выражение
1/ 2
2
ск 1 0,88 max
ск 0
8

9.

а
б
Схема мысленного эксперимента, поясняющего образование широкого спектра (а): 1 – источник
света с длиной волны λ0; 2 – система призм; 3 – наблюдатель. Изменение длины волны при
движении одной из призм (б). Призма начинает движение в момент t1, достигает максимального
перемещения в момент t2 и возвращается в первоначальное положение в момент t3;
соответственно, изменяется скорость изменения длины оптического пути и смещения длины
волны света из-за эффекта Доплера. В результате получается спектр с шириной Δλ = λmax – λmin.

10.

б
а
передний
фронт
синий
задний
фронт
красный
Форма импульса (а). Изменение длины волны (б)

11.

3.2. Оптический компрессор
Принцип генерации предельно коротких световых импульсов:
быстрая фазовая модуляция и компрессия
9

12.

Для
получения
импульсов
с
длительностью, сравнимой с периодом
оптических
колебаний,
диапазон
сканирования частоты Δω должен быть
сравним с несущей частотой ω.
Реальным
способом
создания
необходимой частотой модуляции
является фазовая самомодуляция
света в среде с практически
безынерционной
нелинейностью
(электронный эффект Керра).
Безынерционность
нелинейного
отклика, как правило, связана с
малостью нелинейной добавки к
показателю преломления n2 (см. рис.),
поэтому необходимы большие длины
взаимодействия
z.
Подходящими
средами для создания фазовой
самомодуляции оказались волоконные
световоды.
Значения коэффициента n2, характеризующего добавку к действительной части показателя
преломления (n = n0+n2I) на плоскости (n2, τнл), где τнл - время установления нелинейного отклика
10

13.

Практическая схема компрессии световых импульсов, в которой используется фазовая
самомодуляция света в волоконном световоде, показана на рис. В волоконно-оптическом
компрессоре полезную роль играют дисперсионные свойства оптического волокна. Дисперсия
групповой скорости света в оптическом волокне приводит к тому, что различные спектральные
компоненты света оказываются разнесенными во времени, а именно, частота несущей возрастает
от начала к концу импульса (дисперсия волокна предполагается нормальной).
Схема компрессора световых импульсов на основе волоконного световода
11

14.

Иными словами, импульс приобретает линейную частотную модуляцию (см. рис.). Если
теперь пропустить его через устройство, которое высокочастотные компоненты поля
проходят быстрее, чем низкочастотные (аналог среды с аномальной дисперсией), то
можно совместить все спектральные компоненты во времени и получить очень короткий
импульс света.
Частотно модулированный импульс
12

15.

Необходимый элемент, обладающий аномальной дисперсией, строится на основе
дисперсионных призм или дифракционных решеток. Из уравнения дифракционной решетки
d·sinθ = mλ видно, что длинные световые волны отклоняются решеткой на большие углы,
нежели короткие. Это дает возможность при помощи двух решеток построить схему, в которой
длинные световые волны проходят более длинные пути, чем короткие и, следовательно,
приобретают требуемую задержку во времени.
Схема двухпроходного оптического компрессора на дифракционных решетках;
ФТ – фазовый транспарант
13

16.

Управление фазой световых волн в пространстве (а, б) и во времени (б — г). Фокусировка пучка
линзой: а и б (для r) — ход лучей и форма пучка перед линзой (1), непосредственно после линзы (2),
в области перетяжки (3), в фокальной плоскости f линзы (4); штриховые линии — волновой фронт.
Компрессия ЧM импульса в среде с нормальной дисперсией: б (для t) и в — форма импульса и вид
колебаний перед частотным модулятором (1), на входе компрессора (2), в области оптимального
сжатия (3) и в «фокальной» плоскости (4); г — фаза φ (t) (штриховые) и частота ω (t) (сплошные) в
тех же сечениях среды
14

17.

Рассмотрим элементарную теорию оптического компрессора. Действие компрессора основано
на использовании нелинейности показателя преломления оптического волокна. Световой
импульс вида
E A cos t kz
k n c
n n0 n2 I
распространяющийся в среде с нелинейным показателем преломления
испытывает фазовую самомодуляцию. Действительно, полный фазовый набег, приобретаемый
импульсом на дистанции z,
kz
c
n0 z
c
n2 Iz
Поскольку интенсивность света зависит от времени, т. е. I = I(t), возникает зависящая от
времени нелинейная добавка к фазе
t
c
n2 I t z
а следовательно, и зависящая от времени добавка к частоте
c
n2 z
I0
0
где τ0 - длительность импульса, I0 - пиковая интенсивность. Итак, частотный спектр импульса
сильно расширяется. Посылая испытавший фазовую самомодуляцию импульс в
соответствующим образом подобранную диспергирующую среду, можно сжать импульс до
длительности
2
tmin
0
n2 I 0 z
λ -длина световой волны
15

18.

3.3. Самофокусировка лазерных импульсов
Параболическое уравнение. Приближение квазиоптики
Будем описывать распространение света скалярным уравнением
1
E A(r , z )ei ( t kz ) к.с.
2
A aei
a A
1 2 E
E 2 2 0
c t
arg A
2 E
2
2 1
E Aei ( t kz ) к.с.
t
2
2 E 1 2 A
A 2 i ( t kz )
2 2ik k A e
к.с.
2
z
2 z
z
2 A
z 2
A
k
z
A i
A 0
z 2k
2
2
2 2
x y
уравнение для комплексной амплитуды волнового пучка
16

19.

Распространение и дифракция гауссова пучка
A0 (r) A0 exp( r 2 2 02 )
A0 const
I0 (r) I0 exp( r 2 02 )
A0
r2
A(r, z )
exp 2
2
2
(1 z ik 0 )
2
(1
z
ik
0
0 )
Полное электрическое поле
1
0
r2
r2
E (r , z ) A0
exp 2 exp i t kz k
к.с.
2 ( z)
2 R( z )
2 ( z)
Интенсивность излучения
02
r2
I 0 (r , z ) I 0 2 exp 2
( z)
( z)
( z ) 0 1 ( z zд ) 2 ,
zд k 02 , R( z ) z (1 zд2 z 2 ), arctg ( z zд )
17

20.

Комплексная амплитуда волнового пакета в первом приближении линейной теории дисперсии и
нулевом приближении по волновой нестационарности удовлетворяет уравнению
1
k0
2
i
i
n
A
z 2k n
A , r , z 0
0
0
которое записано в бегущей системе координат, t
Стационарная самофокусировка.
В этом случае вместо (1) имеем
(1)
z
u
1
2
z i 2k i 1 A A r , z 0
0
(2)
Обратимся для наглядности к решению, получаемому для коллимированных гауссовских пучков
A0 r A r , z 0 A0 exp r 2 / 2a02
(3)
в так называемом безаберрационном приближении. Полагая, что в нелинейной среде пучок
сохраняет свою форму, решение (2) ищем в виде
g z 2 2
A0
r2
A r , z
exp 2
i
k
r
i
z
0
2
f z
2
f
z
a
2
0
(4)
f 0 1
g 0 0 0 18

21.

Подставляем (4) в (2). В приосевом приближении ( r << f(z)a0 ), когда в нелинейном члене
производится замена
2
r2
2
2
A r , z f z A0 1 2
2
f
z
a
0
приравнивая к нулю коэффициенты перед различными степенями r, получаем
d2 f
2
L диф
lнл 2 f 3 z
2
dz
g z k0 f
1
(5)
d Lдиф 2
2
l
L
нл
диф
dz 2 f 2
df
dz
Здесь Lдиф и lнл — характерные длины:
lнл a0 2n0 / n2 A
Lдиф k a
2
0 0
2 1/ 2
(6)
(7)
Функция f(z) характеризует ширину пучка, a g(z) и (z) — фазовую самомодуляцию в пространстве.
Решением (5) является
f
где
2
z 1 L
2
диф
2
нл
l
z 1 z / L 1 P / P
2
2
диф
0
кр
(8)
P0 1/ 8cn0a02 A02
- полная мощность пучка
Pкр c 2 /16 2n2
- критическая мощность ( — длина волны в вакууме)
19

22.

Видно, что при P0=Pкр дифракция и нелинейная рефракция уравновешиваются и радиус пучка
остается постоянным. Если же P0 Pкр нелинейная рефракция превалирует над дифракцией, в
результате пучок самофокусируется. Фокальную длину распределенной нелинейной линзы (длину
самофокусировки) Lсф можно найти из условия f(Lсф)=0:
Lсф Lдиф P0 / Pкр 1
1/ 2
Самофокусировка импульсного излучения
В безаберрационном приближении
Lсф P0 t Lсф / u P 1
1
кр
1/ 2
Lдиф
Представление о движущихся фокусах впервые было развито Луговым и Прохоровым.
Самофокусируется та часть импульса, для которой мощность P0(t) Pкр. Временная диаграмма
11
12
движения фокусов показана на рисунке. Для времени установления нелинейности нл 10 10 c
модель движущихся ыокусов применима вплоть до субнаносекундных импульсов.
20

23.

40
z, cm
20
b
a
Квазистатическая картина движения фокальной точки самофокусирующегося пучка с относительно
медленной модуляцией амплитуды во времени:
а - временной ход мощности импульса; б – положение фокальной точки
21

24.

Согласно (4), (8) интенсивность импульса в безаберрационном приближении
I , r, z f 2 , z I 0 exp r 2 / f 2 , z a02
где
f
2
, z 1 1 P0 / Pкр z / Lдиф
2
(9)
(10)
Из (9) нетрудно найти, что в предфокальной области (или при слабой фокусировке) длительность
импульса
и 1 1/ 2 P0 0 / Pкр z / Lдиф 1 r 2 / a02 0
2
(11)
Отсюда видна тенденция к сжатию импульса с ростом z и увеличением мощности пучка P0(0).
22